北縣錦和中學 洪秀敏老師
圓錐截痕與二次曲線：一個數學老師的無聊之舉
鄭英豪 作
民88年9月 數學傳播第23卷第3期pp.21-33
一、前言
圓錐截痕在中學數學的課程中佔有很重要的地位。古希臘人研究它們曲線是經由圓錐截痕的觀點而加以研究的，統稱圓錐曲線，屬於空間幾何的問題。不過，根據筆者過往學習的經驗，筆者卻以為圓錐曲線在中學階段被視為一種代數題材來教授的成分還遠高於幾何題材。
因為就高中基礎數學第三冊第四章的教材而言，不管單元名稱是拋物線、橢圓抑或是雙曲線，內容無非就是：如何從圓錐曲線在平面軌跡的路徑，來定義曲線的標準方程式；如何利用圓錐曲線焦點、頂點、準線等各資料間的關係，由其中的已知求其他的未知等等。
結果，在中學數學課程中難得安排一章可能與幾何單元有關的專題教材，卻在變數x、y的詮釋之下，失去了它原蘊有富含啟發性的內容與意義。對學生而言，圓錐曲線無非就是x、y兩變數的二次方程式。充其量也不過是，不同的二次方程式代表不同的圓錐截痕：與圓錐底面平行的平面截圓錐面成一圓；若平面稍微傾斜，截痕就變成橢圓；若平面與圓錐的母線相平行，則截痕為拋物線；再傾斜，就變成雙曲線，僅此而已。原本可以是很富人文素養、啟發性的圓錐曲線，最後留存在學生腦海的，卻僅剩一些不具任何意義的名詞、定義。弔詭地是，不僅學生對於圓錐曲線的內容，感到畏懼、恐慌，就連授課的老師，本身對於教材也不見得有多深刻的認識，更談不上有感覺、或是覺得有用。
面臨二十一世紀，許多的教育改革正如火如荼地展開，其中「主題式」統整課程的凸顯，堪稱是本世紀末台灣教育史上的一大突破。幸運的是，數學教師不用擔心「協同教學」、「合科教學」在實際教學上的可行性。但假如在這世紀末的教改中，數學教師也期望在數學課堂中多一點的互動，多增加一點有意義的學習，尤其在這樣一個令多數中學生感到畏懼、卻步的學習主題下，那麼去思考「如何讓數學教學活動多一點人文的關懷、少一點機械式的運算；多一點趣味盎然的教學主題、少一點制式的定義、名詞」將是絕不可避免的﹗
然一般基層數學教師，縱使不滿意教科書作者的取材、教科書內容的編排，但受制於學校人、事、物等各方條件無法充分配合，數學教師常常是有心卻無法針對某一特定數學主題，做深入的研究、細膩的討論，更遑論進一步反思、釐清數學教材中「可以教」與「必須教」的要務。基於以上的理由，筆者以為類似鄭英豪先生這篇論文的文章，相當值得引界給數學教師作參考。
二、論文摘要
在這篇論文中，作者一開始就針對中學階段圓錐曲線的「教與學」這主題，統整出幾項涵蓋數學、數學教育、數學哲學、數學史等各領域之重要議題。例如：到底我們視圓錐截痕這專題為「幾何」還是「代數」？身為數學教師的我們，對圓錐截痕這專題的感覺是什麼？在這一章節裡，我們到底教了什麼？為什麼圓錐曲線必須按照拋物線、橢圓、雙曲線這順序來談？有沒有特殊的意義？談了那麼多的圓錐曲線，圓錐截痕到底又在那裡？最後，基於什麼樣的理由，我（他）們要去探究圓錐截痕？
對於數學教師而言，作者所整理、分析出來的這些問題，問得不僅中肯而且深刻、實在。當然，對於這些問題，我們可以有許多不同角度的詮釋與看法。然每一種的說法，背後其實都有他可能代表的哲學思維。而作者在這裡顯然是想從歷史的角度，深入思考、探究這些面向的歷史脈絡，從中獲取靈感與啟發。
根據作者的這篇論文，我們得悉古希臘數學家之所以對圓錐曲線感興趣，起因於「倍立方」的問題：亦即要用尺規作圖，作出
的長度。比例中項是希臘人所熟知的。因此，他們想到要用
這二重比例中項求解。用現代的座標幾何來看，這就等於求兩拋物線
及
的交點。
這問題開啟了希臘人研究圓錐曲線的風氣。雖然沒有實用價值，但希臘人本著求知的精神，拼命鑽研圓錐曲線的性質，到阿波羅尼斯（Apollonius）綜合前人成果，加上自己的創見，寫成《Conic
Sections》一書，圓錐截痕這門知識大體已完成，後人已沒有太多可以突破的空間。直到今天我們所學的都還是當年的那些東西。
阿波羅尼斯研究得太完美了，使得後人無以為繼。直到文藝復興以後，這情形才有轉機。一方面，射影幾何的萌芽，豐富了圓錐曲線的內容。一方面，克卜勒（Kepler）、伽力略（Galilei）在自然界中（行星運行的軌道、拋體的運動路徑）發現圓錐截痕的律則。這漸漸為人所淡忘的作品才再度地受到數學家的重視。然值得注意的是，對圓錐曲線這歷史悠久的數學知識而言，這次的甦醒同時還揭示著另一個新紀元的開始--圓錐截痕完全被視為平面二次曲線，也就是今日我們所熟知的圓錐曲線。然有關焦點、準線等名詞，則是十九世紀數學家Dandelin的作品。
三、結語
談及數學史，尋找圓錐截痕的發展史，免不了得包含一些「嚴謹」的證明，雖然「數學」不應該等同於「證明」。但考慮到數學知識求真、求善的本質，觸及一些數學證明是有其必要的。因此建議：讀者若有時間可從容閱讀這篇論文，那麼不妨用心地對待論文中所提及的證明。若時間不允許，則筆者以為略過這些證明，事實上，倒也無傷大雅。重要的是，讀者在閱讀這篇論文的同時，是否能在圓錐曲線發展的漫漫長路中，獲得啟發？是否能洞悉作者在幾個不同的東西這一小節中，所分析的事實—我們在課堂裡再三強調的焦點、準線、長軸、短軸原本都不是直接長在那裡，軌跡更不是最先出現的﹗--是每一位數學教育工作者必須深入思考的議題！因為我們的中學生是被迫將一個跨過2000年的數學創作，在一夕間以代數運算形成。
最後，作者這篇文章名為〈圓錐截痕與二次曲線：一個數學老師的無聊之舉〉。筆者好奇的是，這無聊之舉意指為何？筆者以為，若是作者欲指稱自己的這篇論文乃成於無聊之舉，那麼，筆者相信，這無聊之舉將是數學教師豐富自己教學思維的一個起點。數學教師若能好好把握這樣的一個起點，開始嘗試針對教了數年或數十年的教材內容，作細膩地討論、研究，那麼多元化的數學教學是指日可待的！倘若作者的無聊之舉有更深一層的含意，譬如：影射編寫教科書的諸公們。則讀者在莞爾一笑之後，可能更要有自覺提醒自己去思考一些深沈的問題。