中東古文明數學巡禮

中原大學數研所碩士班 英家銘

前言

    筆者曾於國中任教兩年,有機會以教師身分深刻地體會到許多人中學時代共同的噩夢:學數學好累,上數學課真無聊!這種感覺,並不能單純地看成不愛唸書的學生的藉口。其實,一些頗為優秀的同學也會有這種感覺。我想,在台灣任何人要從自己朋友中,找出十來個討厭數學(不是數學不好)的人,是相當容易的事。對數學的排斥,似乎是我們台灣社會的共同記憶。這種記憶,當然與過去我們強調演算與反覆練習的教學有關。筆者在這裡並非要探討教改在數學這一科目上應有的作為,我想說的是,作為數學教師,我們可以嘗試使數學課更「引人入勝」。

    一代科學史家George Sarton曾在《數學史的研究》中提到:

     數學史家的主要任務,……就是詮釋數學的人文成份,顯示數學的偉大、優美

與尊嚴,……也使我們每個人對它嘆為奇觀,感到謙遜而謝天。學習數學史倒

不一定產生更出色的數學家,但它產生更溫雅的數學家。學習數學史能豐富

他們的思想,撫慰他們的心靈,並且培養他們的高雅品質。

同樣地,講述古代數學的故事,不一定使學生的數學成績更出色,但它可以作為學生與數學之間的潤滑劑,以及使學生更容易自發學習的催化劑。加入數學故事,也許會讓原本乏味的數學課,吸引較多學生的注意,也可能增加他們學習數學的機會。

    至於本文為何要說近東、中東古文明的故事呢?在國、高中任教的教師們,只要願意說故事,大概都會提到Newton, Gauss, 甚至於Galois的經歷,再往前走,可能也會講述古希臘PythagorasArchimedes等人的故事。以《幾何原本》出發的歐洲中心典範,當然可以作為很好的數學教材,但也可能會讓學生誤會數學只是歐洲人才有的玩意兒。現在國中教材已經出現埃及金字塔(不過,那是Thales用陽光量金字塔高度的故事),但筆者覺得我們還可以適時加入其他文明的題材。中國古代留下豐富的數學題材,在學者們努力研究之下,已有許多中學教師可發揮之處,而筆者則想從台灣學生不熟悉的埃及人和巴比倫人開始,找一些到今天仍然影響著我們的成就,或是中學生能懂又帶有歷史背景的題目,希望為中學師生帶來一點趣味。

系列之一:巴比倫歷史、考古及圓周360等分

在中東或西亞稱為「肥沃月彎」的底格里斯河和幼發拉底河兩岸,從約公元前3000年開始一直到公元前600年左右,有許多不同的民族在此創造出光輝燦爛的西亞文明。這些民族包括蘇美人、阿卡丹人、迦勒底人、亞述人,以及最為大家所知的巴比倫人。我們今天所說的巴比倫人(Babylonians)及巴比倫古文明,其實是包含上述這些民族及他們共同在兩河流域所創造的文明。巴比倫人使用泥板來書寫文字,而這些泥板因為不會隨時間而腐化,以致於今天我們能從這些被考古學者挖掘出土的泥板中,了解巴比倫古文明的偉大成就。

    在我們的語言中,有著「他的態度出現了180度的轉變」這樣的說法,來表示「完全相反」的意思,可見圓周360度的概念,是我們習慣使用的。在中學的歷史或數學課上,教師們可能會提到巴比倫人使用六十進位法,也可能會告訴學生圓周360度是由巴比倫人最先使用的,所以,有人也許會認為這是六十進位的當然結果。但這似乎又不完全說得通,因為我們都知道: , 360並非60的整數次方。筆者在未來的系列文章中,會討論六十進位法及它的影響,但我們先來看看這個從小學開始,就一直使用的圓周角度。

    關於圓周360等分的概念,學者提出了許多不同的解釋,其中由科學史家Otto Neugebauer所提出的說法最為可信。在早期蘇美文化的時代,約公元前3000年至前2100年左右,他們使用一種很長的距離單位,一種「巴比倫哩」,大約等於今天的11公里長。既然巴比倫哩是用來測量較長的距離,它很自然地也可以作為一個時間的單位,即行走一個巴比倫哩所需的時間。在公元前1000年到公元元年之間,巴比倫人的天文學進展到相當高的階段,使他們能夠有系統的紀錄天體運動。而這個時候,巴比倫哩這個長度單位也被用來計算時間。因為他們發現一個完整的日子,大約等於走12個巴比倫哩的時間,而每天天空中的星體剛好會旋轉一圈,所以一個圓周就被分為12等分。但為了方便起見,原來的一個巴比倫哩早已被分成30等分。所以,我們得到一個圓周被分為1230=360等分。

    原來,我們跟巴比倫人共用的圓周360度,有個這麼有意思的起源。

參考資料

蘇意雯 (1994).從歷史學家的觀點看數學:MHEEMH!〉,《數學傳播》181: 62-63.

Eves, Howard (1975). An Introduction to the History of Mathematics (4th ed). New York: Holt, Rinehart and Winston.

Joseph, G. C. (1992). The Crest of the Peacock. New York: Penguin Books.