有感覺的數學課  

西松高中 黃振順老師

        每常在與同學論及數學時,不是看他們唉聲嘆氣,就是聽他們抱怨連連,其內容不外乎聽不懂、抓不到重點、不明白為什麼會這樣,為什麼會那樣。因此,如何讓學生在課堂上感受得到老師所要傳遞的訊息,掌握重點,並進而用自己的語言表達出來,一直是個人多年來努力的目標。
         去年,在教數學歸納法時,因為老是有一些同學說他們聽不懂,於是就不斷地找例題反覆說明。以下是在這嘗試的過程中,讓較多數同學們覺得易於了解的一例。筆者不惴淺陋,斗膽在此提出,實係希望大家不吝指正,廣為討論,庶免誤人子弟。如能藉此拋磚引玉,引來大家多作一些教學經驗分享,那就更不在話下了。 
      茲將過程簡述如下: 
一開始,老師就先拋出問題,供大家討論 

問題:設n為自然數, 試比較 3 與 n! 之大小

接著,由同學們分組發表其看法及結論

n

  3n

  n!

  由左表比較

  似可得以下之結論

 

   n6 ,  3n> n! 

   n7 ,  3n< n!

    

但是,  會不會在某數之後又來個大逆轉呢?

逐一檢驗? 勢不可為, ….了吧?

1

    3

    1

2

    9

    2

3

   27

    6

4

   81

   24

5

  243

  120

6

  729

  720

7

 2187

 5040

 

 

老師再質疑,(=100時怎樣保證不反轉?)以迫使同學們去做組織化、系統化的整理。 38 = 3×37< 3× 7!< 8× 7!= 8!

接著,要求同學們依樣畫葫蘆,至少寫五次推論

39 = 3×38< 3× 8!< 9× 8!= 9!

310= 3×39< 3× 9!<10× 9!=10!

311= 3×310< 3×10!<11×10!=11!

312= 3×311< 3×11!<12×11!=12!

313= 3×312< 3×12!<13×12!=13!

 老師又質疑,(n=100?)要求以更精簡的語彙做更完整的表達。在歷經將近一節課的奮鬥之後,我們終於得到一個比較能被大家接受的寫法。

(1)     n=7, 37=2187 < 5040 = 7!

         這個事實是大家都一致同意的。

(2) 如果 n=k 7,   3k< k!   是正確的 的話

    那麼當n=k+1, 3(k+1)<(k+1)! 顯然也會是正確的。

       因為  k7 而且 3(k+1)=3×3k< 3×k! < (k+1) ×k! = (k+1)!

所以,對所有自然數n而言,如果 n 7, 3n< n!一定會成立。

 

 

回顧一下上面的式子, 你體會到數學歸納法的威力了嗎?