每常在與同學論及數學時,不是看他們唉聲嘆氣,就是聽他們抱怨連連,其內容不外乎聽不懂、抓不到重點、不明白為什麼會這樣,為什麼會那樣。因此,如何讓學生在課堂上感受得到老師所要傳遞的訊息,掌握重點,並進而用自己的語言表達出來,一直是個人多年來努力的目標。
去年,在教數學歸納法時,因為老是有一些同學說他們聽不懂,於是就不斷地找例題反覆說明。以下是在這嘗試的過程中,讓較多數同學們覺得易於了解的一例。筆者不惴淺陋,斗膽在此提出,實係希望大家不吝指正,廣為討論,庶免誤人子弟。如能藉此拋磚引玉,引來大家多作一些教學經驗分享,那就更不在話下了。
茲將過程簡述如下:
一開始,老師就先拋出問題,供大家討論
問題:設n為自然數, 試比較 3 與 n! 之大小
接著,由同學們分組發表其看法及結論
n |
3n |
n! |
由左表比較 似可得以下之結論 即 n≦6 時, 3n> n! n≧7 時, 3n< n!
但是, 會不會在某數之後又來個大逆轉呢? 逐一檢驗? 勢不可為, 太….了吧? |
1 |
3 |
1 |
|
2 |
9 |
2 |
|
3 |
27 |
6 |
|
4 |
81 |
24 |
|
5 |
243 |
120 |
|
6 |
729 |
720 |
|
7 |
2187 |
5040 |
老師再質疑,(n=100時怎樣保證不反轉?)以迫使同學們去做組織化、系統化的整理。 如38 = 3×37< 3× 7!< 8× 7!= 8!
接著,要求同學們依樣畫葫蘆,至少寫五次推論
即39 = 3×38< 3× 8!< 9× 8!= 9!
310= 3×39< 3× 9!<10× 9!=10!
311= 3×310< 3×10!<11×10!=11!
312= 3×311< 3×11!<12×11!=12!
313= 3×312< 3×12!<13×12!=13!
老師又質疑,(n=100呢?)要求以更精簡的語彙做更完整的表達。在歷經將近一節課的奮鬥之後,我們終於得到一個比較能被大家接受的寫法。
即
(1) 當n=7時, 37=2187 < 5040 = 7!
這個事實是大家都一致同意的。
(2) 如果 n=k ≧ 7時, 3k< k! 是正確的 的話
那麼當n=k+1時,
3(k+1)<(k+1)! 顯然也會是正確的。
因為 k ≧7 而且 3(k+1)=3×3k< 3×k! < (k+1) ×k! = (k+1)!
所以,對所有自然數n而言,如果 n ≧ 7, 3n< n!一定會成立。
回顧一下上面的式子, 你體會到數學歸納法的威力了嗎?