台灣師大數學系 洪萬生教授
誠如HPM所主張，數學史的確值得引進數學課堂之中，儘管它『如何』有助於教師教學與學生學習，仍然眾說紛紜，見仁見智。所謂HPM是指數學史與數學教學的關聯之國際研究群（International
Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics），它隸屬於國際數學教育委員會（ICMI,
International Commission on Mathematics Education），專門推動數學史在數學教育上的應用工作。正因為如此，在數學課堂上運用數學史，就成了HPM成員十分關注的目標了。
根據多年來在很多場合 --
包括台灣師大數學系所『數學史』課程、數學教師暑期進修班、數學教師短期講習班，以及應邀為初、高中數學教師演講
-- 討論HPM課題時，筆者總是再三強調在課堂上，教師運用數學史至少可以分成三個層次：
1) 說故事，對學生的人格成長會有啟發作用；
2)
在歷史的脈絡中比較數學家所提供的不同方法，拓寬學生的視野，培養全方位的認知能力與思考彈性；
3)
從歷史的角度注入數學知識活動的文化意義，在數學教育過程中實踐多元文化關懷的理想。
至於運用之妙，當然存乎教師個人的慧心了。不過，筆者也一直被要求針對這些HPM課題，提供範本或手冊。本文之作，用在拋磚引玉，讀者萬勿照本宣科才是。
關於第一層次，很多人直覺地認為『數學史』就等於數學故事。不錯，教師說說故事提振學生的上課情緒，尤其是在夏日午後正好眠時，數學家或數學界的遺聞軼事，大概都可以達到提神醒腦的作用。在台灣師大就讀時曾修過『數學史』課程的教師，都一再向筆者表示她
/
他們的學生實在太愛聽故事了，簡直叫人窮於應付。事實上，數學家故事對學生的人格鼓舞與啟發尤其值得我們重視。譬如說吧，十八世紀法國女數學家蘇菲
姬曼（Sophie Germain, 1776-1831），就是受到阿基米德（Archimedes）故事的『煽動』，迷上數學而終生無怨無悔。她童年時正值法國大革命發生，為了排遣難耐的孤獨與寂寞，遂被數學史家莫度西亞（J.
E. Montucia）的【數學史】所記載的阿基米德傳奇所吸引。相傳阿基米德正沈醉在一道幾何問題時，對已經陷城的羅馬士兵渾然未覺，就莫名其妙被殺死了。這個悲劇讓百無聊賴的蘇菲神醉心痴，她想幾何學若真有這種魅力，那真地值得探索一番了。於是，她終於走上數學研究的不歸路了。
讓我們再提供另一個女數學家的故事。十九世紀俄國女數學家桑雅
卡巴列夫斯基（Sonya Kovalevsky, 1850-1891），多才多藝、文理兼美，在數學上她固然成就非凡，而在十九世紀俄國文壇杜斯妥也夫司基、普希金等大師輩出的年代裡，在文學方面她也著作甚豐，頗富盛名，真是讓我們見識到數學家甚少為人所知的一面。同時，她雙方面的成就也告訴我們：原來數學研究與文學想像力並不相悖，而是正好可以相輔相成。事實上，正如桑雅的偉大師傅卡爾
外爾斯特拉斯（Karl Weierstrass, 1815-1897
）的洞見：「傑出的數學家不可能不是心靈上的詩人」，數學與文學一樣，它是一門需要大量想像力的學問。針對她自己在數學與文學之間的隨意轉換，桑雅的自白是很值得轉述的：
對我來說，詩人只是感知了一般人所沒有感知到的東西，他們看得也比一般人深。其實數學家所作的不也是同樣的事嗎？就我自己來說吧! 我這一輩子始終無 法決定到底哪個偏好較大些，是數學呢？還是文學？只要我的心智逐漸為純抽象的玄思所苦，我的大腦就會立即偏向人生經驗的省察，偏向一些美好的文藝作品；反之，當生活中的每一樣事開始令我感到無聊且提不起勁來時，只有科學上那些永恆不朽的律則才能吸引的興緻。
至於這個故事應該如何『改編』，有請各自隨意斟酌。無論如何，這是一個具有多方面啟發性的數學家故事（哪幾個方面？），值得喜歡說故事的教師善加利用。
就『說故事』的實施來說，教師有沒有一點從容的心情或『雅興』，絕對是主要關鍵。也就是說，教師只要平時喜歡閱讀數學家傳記，然後在課堂上多加練習，久而久之大概就可以出口成章了。這種『雅興』嚴格說來無關數學或數學史『素養』!
然而，如果我們希望教師在課堂上運用數學史時可以提升到第二層次，那麼，她
/ 他們擁有一點數學史的專業修養，就變得不可或缺了。
筆者身為專業數學史家，為了強調上述這種HPM的特殊關懷不是所謂的『老王賣瓜』，在很多場合演講時，筆者總喜歡以畢氏定理的三個證法為例，來說明數學原典（或文本
text）上的記載，對學生的人格薰陶、認知啟發以及（多元）文化關懷，如何可以帶來深刻的影響。按照歷史順序，第一個方法當然必須是古希臘歐基里得（Euclid）【幾何原本】（The
Elements）第一冊命題47，這即是所謂的『面積證法』，至於筆者所選擇的版本，則是徐光啟、利瑪竇（Matteo
Ricci）所翻譯、出版的明刊本（1607年）。第二個是古中國三國時代趙爽註解【周髀算經】所提供的『弦圖證法』。第三個證法也出自【幾何原本】，是該書第六冊命題31。根據Proclus的說法，這才是歐基里得的原創性貢獻，由於它是關於相似形的定理（事實上，第六冊討論的題材都是相似形），它的的證法也因此運用了相似三角形的比例性質，於是被稱為『比例證法』。我們提供的圖形也是出自前述的明刊本。
在簡介了這三種證法之後，筆者通常會要求聽眾（教師或學生）表態，請她
/
他們挑選一個最愛。結果，聽眾大都會表示最喜歡第二個證法，因為它比較直觀
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事實的確如此，但也可能是由於文化的親和力使然。接著，筆者會說明『數學證明』（mathematical
proof）的功能，及其在教學、學習上應該扮演的角色。在這個前提下，筆者進一步督促聽眾『對比』這三個證法之間的異同，並強調它們在認知啟發上的重要性。
我們相信如果教師善用這種教學策略，學生一定有機會培養全方位的認識能力與思考彈性。至於真正的成效如何，當然還有待教育研究。不過，教師要想進行實驗，則起碼的數學文本解讀以及比較史學的初步修養，都是必要的數學史功夫，千萬馬虎不得。
另一方面，在第二個層次時，筆者已經刻意地鼓勵學生針對數學知識進行反省。一旦她
/他們認為數學除了可以而且必須『做（或學著『做』）』之外，原來也可以『鑑賞』!
如此一來，教師或學生或有可能逐漸體會：數學是某脈絡中的一種知識活動（mathematics
in context），亦即它也擁有豐富的歷史文化向度（或維度 dimension）。所以，學會了數學，不僅我們的生活經驗得以強化，同時，我們的文明品味也得以提升
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尤其，我們也可以在這樣的教學設計中，分享世紀末最令人矚目的『多元文化關懷』。如果教師有機會與學生分享數學的文化意義，那麼，HPM的最終關懷乃至於數學教育的理想，也一定可以實現。這也正是我們上文所說的數學史運用的第三層次。有關這一方面的課題，我們可以論述得更深入一點，不過，這立刻會涉及更專門的數學文化史（cultural
history of mathematics）或數學社會史（social history of mathematics），且讓我們以後再一一深入說明。
參考文獻
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