台北市百齡國中 唐書志
如果抽掉國中課本裡的負數，老師們將會同意今天看來漂亮完整的公式都會顯得支離破碎；不論是討論數學裡的一元二次方程式還是物理學的運動方程式，沒有了負數便左支右絀，無以為繼。也正因為負數大量出現在教材的各個角落，教師往往注意的是負數的運算性質，對於負數的認知卻著墨無多。什麼數字竟然會比0還小呢？為什麼要說一個遞減的等差數列有負公差呢？甚至於這個恆等式（a－b）（c－d）＝ac－ad－bc＋bd又是怎麼算出來的呢？對於這一類問題，以往的觀點是認為一個「會教的」數學老師「必定」可以講得讓學生明白，而「會教」的定義往往取決於脈絡是否簡明、合乎數學的內在架構。
兩百年的困惑
18世紀法國作家Stendhal(1783-1843)對於老師「負負得正」的解釋顯然並不滿意。他回想從前學習負數的情況：
數學是不會矯柔造作的。在我的青春歲月裡，我相信那些使用數學做為工具的科學也必然同樣真確；別人這麼告訴我。但是當我發現沒有人能解釋負負得正(－×－＝＋)的原因時，你能想像我的感受嗎！（而這還是所謂「代數」的一項基本規則哩。）對我來說，這個沒有解釋的難題真是夠糟的了（它既然能導致正確的結果，無疑地也應該可以解釋）。而更糟的是，有人用那些顯然對自己都不清不楚的理由來對我講解。
他的老師顯然不能理解學生對於「負負得正」的抗拒，無論如何解釋，總是不能讓Stendhal信服；最後，只好搬出數學權威Euler(1707-1783)與Lagrange(1736-1813)：他們知道的也不比你多多少呀，可是都用得理所當然，你又何必鑽牛角尖呢？
我花了好長一段時間才知道：M. Chabert根本不曾聽進我對於負負得正的抗拒，M. Dupuy則老用縹緲的微笑回應，而那些我所請教的數學專家們總是報以嘲諷。我最後告訴自己：本來就必須負負得正嘛；畢竟，這個規則已經用了這麼久，而且導出的結果看來都無懈可擊。
或許是後來很多場合都用得到吧！Stendhal被這個問題（負負得正）困擾許久，最後只好接受它；然而這個學習經驗卻使他感受深刻，一度還動搖了對於數學與數學教師的信心。
我摯愛的數學難道是個黑盒子嗎？我不知道該怎麼做才能到達真理；噢！那時是多麼熱切地想在邏輯或文藝上面吸收各種接近真理的方法啊！最終我以我可憐的、卑微的智力做出結論：M. Dupuy可能在說謊；而M. Chabert則是一個自我欺騙的可憐蟲，完全不能理解旁人的抗拒心理。……我就教於d'Alembert在百科全書(Encyclopedia)中的數學文章，但他們自大的語氣以及對真理的傲慢卻令我排斥厭惡；而且，我對它們一點也不能瞭解。
從這段描述可以想見當時的Stendhal是多麼渴望求得心中疑惑的解答啊。時至今日，筆者猶記得班上同學拿著「（－5）＋3」四處問人，甚至放學跑來問老師的可憐眼神；雖然做是會做了，但仍然可以感受到她的彆扭與不安。時隔二百年，古今中外仍同樣有孩子為了讓自己接受負數的運算規則而困擾。
對於Stendhal，數學這個黑盒子確實隱藏了太多，連大數學家d'Alembert(1717-1783)都不得不拐彎抹角地陳述自己所認知的「負」概念哩 ：
負量與正量對合(The negative magnitudes are the counterpart of the positive ones)。負量始於正量所止之處。參見「正」條。
人們必須承認，要正確地勾畫負數(negative number)的想法並不容易；有的學者只是將他們不嚴密的說法加諸紛亂之上；說負數小於一無所有(negative numbers are below nothing)就如同在講一件無法想像的事情。……
為了使牽涉負量(negative magnitude)的代數運算能夠嚴謹與簡潔，人們傾向於相信與負量有關的正確想法必須簡單而且並非人造。假使人們想要展現此一真確概念，則須注意那被稱做負的、被誤認為在零的那一邊的量，常常是用真實量(real magnitude)表徵。這裡有個幾何學的例子，負直線與正直線的差異在於它們相對於某共同點上已知直線的位置。參見「曲線」條。由此可見計算(calculus)中所遇到的負數量(negative quantities)確是真實量(real magnitude)無誤。但是這些真實量必須賦予一種想法以有別於被接受者，例如：我們想找一個數字x的值，使之加100等於50。根據代數規則，可以列x+100=50，得到x= －50。這表示x的量(magnitude)是50，不過對100來說是減而不是加。也就是這個問題可以重新考慮如下：找某量x使100減之剩餘50。如果問題真這麼寫，則可列式100－x=50，x=50，x的負形式將不存在。因此，負量確實表示假設置錯情境之正量。加諸量前之"－"號乃是做為消去運算以及修正假設中錯誤之提醒，一如前述例題。參見「方程式」條。
請注意此處所提及的只是諸如-a或a－b(b大於a)之孤立負量(isolated negative magnitude)。如果a－b是正的，換句話說，b小於a，則符號無論如何不會產生困難。
換言之，孤立負量並不存在於真實與絕對感覺(real and absolute sense)之中；抽象來說，-3對於心靈沒有意義；當我說某人給另一個人-3馬克(thaler)時，才意味著他從另一個人身上拿走了3馬克。……就現在的情況看來，要進一步發展這個想法是不可能的，不過這卻是一個簡潔得無可取代的方式；我相信，我能保證它對於所有牽涉到負量的可解問題都不會出錯。……
請注意d'Alembert提到「負數」與「負量」的不同態度。對他們而言，負數是一個「莫名其妙」的數，早在Pascal(1623-1662)與Descartes(1596-1650)的時代就這麼覺得了；Descartes認為負根是方程式中錯誤的根，而Pascal則認為要從「一無所有」當中減去東西，更是門兒都沒有！所以d'Alembert必須賦予已經展現許多用處的「負量」一些額外意義；如同他所說的，「我相信，我能保證它對於所有牽涉到負量的可解問題都不會出錯」，但他也同樣認為「就現在的情況看來，要進一步發展這個想法是不可能的」。倘使一直堅持從現實量的角度去理解，Stendhal終究要遇到這個不可解的困境：
M. Chabert[被Stendhal問到]沒有辦法的時候，曾經不太恰當地強調，要我們將負數量看成某人的欠債。可是這個人該怎麼把10000法朗的債與500法朗的債乘在一起，好得到5000000─也就是五百萬法朗─的收入呢？
這，不合宜或不顯明的比喻(metaphor)，或許也是我們老覺得課本上（不論哪一種版本）「負負相乘」的例題奇怪的原因吧。
另類觀點
除非觀點有所轉變，否則似乎難有更進一步的想法出現。果然，19世紀的數學家們經由形式上的探討，對於負數有了新的看法。以往來自量的束縛不再存在，當時H.
Hankel 這麼寫道：
要建構普適性算術的環境，必須脫離直覺，將數學當做純粹智慧與形式的產物。它並非量與數的合成，而是具有思維特性的實體(intellectual object)；存在於現實的東西與關係對應得到，但並非必要。
從此以後，似乎再也沒有必要去為數系找尋自然界的實例和比喻了；新數字不再被視為「發現」，而是被看成「發明」。這並非表示Hankel等人不關心數系與真實世界的連結，他們仍舊規定形式運算不能導致矛盾；一個免於矛盾的定義才是邏輯上可行(logically
possible)的；同時，單只有邏輯上一致的規則還不夠，如果不將系統內容的詮釋與應用考慮在內，這些系統放在一起也是毫無意義的。透過「不變原則(principles
of permanence)」
，保持一些特定的規則不變，賦予適當的定義，得以建構出負數的「形式化」面貌。例如：一開始先「定義」負數－n是從方程式x＋n＝0的解而來，其中n為自然數；同時假定加法與乘法的結合律、交換律成立，分配律也成立（根據「不變原則」），於是可以進行論證。
(－3)＋3＝0
(－4)＋4＝0
∴[(－3)＋(－4)]＋[3＋4]＝0（前兩式相加的結果）
∴(－3)＋(－4)＝－7（因為3＋4＝7，再套用負數的「定義」）
那麼乘法是否也可以如此定義呢？從0×x＝x×0（成立）開始，
[(－3)＋3]×4＝0×4＝0，i.e. (－3)×4＋3×4＝0
[(－4)＋4]×(－3)＝0×(－3)＝0，i.e. (－3)×(－4)＋(－3)×4＝0
根據定義，可以得到(－3)×4＝－12，(－3)×(－4)＝12（似乎有負正得到負、負負得到正的影子）。當然，這些只是大概罷了，嚴密的論證還需要一些充份的準備。（這個時候，有沒有嗅到本世紀中「新數學」運動的一點味道了呢？）
中國的負數概念又是一條不同的路。根據李繼閔的說法，負數之所以很早為中算家所引進，乃是由於古代傳統數學中，「算法」高度發達和籌算「機械化」的成果。劉徽在《九章算術》的注文中提到：「今兩算得失相反，要令正負以明之」，所以負數在中國古代是一種與西方截然不同的概念，人們可以透過算籌的「正負術」推演解題；李繼閔指出，有些題目（例如方程章第三問）要不是因為籌算的緣故，用今天的眼光看，根本不必引入「負數」就可以解出答案。
單從這些例子，我們就看到完全不同於先前具體取向的兩種負數經驗：一個是西方的形式主義，一個是東方的籌算文化。漸漸地，西方部份數學家還瞭解到，負數的「相對」意義不見得非丟開不可；幾何的坐標化、向量的引介，以及負的電量、負的速度、負力……等等，往往因負數而使人類開展更廣闊的思考空間。人們不再將擴充數系的「正當性」訴諸現實，而是反過來，利用數去描繪現實情境與各種量。使用負數讓我們可以更有效率地解題：當代數學史家Wagenschein便說：「負數的運算法則是一種發明，但是卻是一種很好用的發明」。
非結論
不管以哪一種方式看待負數，今天都會運用它做很多事。然而令人好奇的是，學習者在學習過程中究竟是採取什麼樣的觀點面對負數呢？會像Stendhal一樣凡事去生活中找對應意義嗎？還是像d'Alembert一樣賦予「運算」額外的解釋呢？是像劉徽一樣把焦點放在「算法」上？還是像Hankel一樣任由心智去建構一個理想圖像呢？
對於部份數學教師而言，教完整數的加減法後，(－5)＋3這樣的題目便幾乎不大可能再單獨出現了；負負得正的規則往往也只是一句口訣。但是對於學習者而言，一切真有那麼簡單嗎？也許他們的內心也正如Stendhal一樣正在天人交戰哩！教師是否曾經停駐自己的腳步，傾聽一下學生的聲音呢？當然，也許孩子們只需要一個簡單有趣的「遊戲規則」哩！誰知道？又是怎麼知道？
無論如何，我們大可以放膽試著從歷史實例中「考察認知特徵」，與學生身上所「觀察」到的相互「對照」；畢竟歷史不應該只是供我們做為新課程的話引或課餘的閒聊話題而已。德國數學家與教育家Felix
Klein在1908年語重心長地告訴大家：
如果我們現在帶著批判的眼光去看中學裡負數的教法，常常可以發現一個錯誤，就是像老一代數學家如上指出的那樣，努力地去證明記號法則的邏輯必要性。……我反對這種做法，我請求你們別把不可能的證明講得似乎成立。大家應該用簡單的例子來使學生相信，或有可能的話，讓他們自己弄清楚。
即使是近一世紀後的今天，無論是努力為學生「證明」記號法則還是努力教同學去「背」記號法則的老師，這些話都仍然受用。「會教」的老師讓自己和同學們聽得明白，也會讓自己和同學們想得明白、滿心歡喜。
參考文獻
1. 李繼閔(1992)：九章算術及其劉徽注研究。台北：九章出版社。
2. 郭書春匯校(1990)：九章算術。瀋陽：遼寧教育出版社。
3. 趙文敏: 數學史第一卷。
4. Klein, Felix (1996):
高觀點下的初等數學第一卷（舒湘芹、陳義章、楊欽樑譯）。台北：九章出版社。
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數學史上冊、下冊（林炎全、洪萬生、楊康景松譯）。台
北：久章出版社。
6. Boyer, Carl B. (1985): A History of Mathematics. New Jersey: Princeton University
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