首先，今年入學的高中新生，開始全面使用根據84年高中數學課程標準編寫的數學課本做為數學科主要學習內容，其中「邏輯」的教材地位被大大突顯出來，「反證法」這個主題被視為學習的主體，也是學習「邏輯概念」時的一項學習焦點。使得數學教師更有必要瞭解反證法的教學。

        其次，林福來與鄭英豪在論文中既簡介「反證法的原理與其時代意義」，也對中學學生（包括國中學生與高中學生）「反證法的學習情況與學習問題」進行描述，這些內容對欲瞭解更多相關數學脈絡背景或學生學習概況的數學教師而言，不啻是較為精鍊與實際的整理和入門。

        例如文中提到：林福來（1994, 1995）曾調查國內高二學生對於反證法的瞭解，發現學生們的瞭解顯示兩種層面，一種展現的是「否定敘述」的能力，一種則是展現對於反證法程序的瞭解，兩種層面又各有發展的層次。在否定敘述的層面上，層次發展順序為

層次1：能否定無量詞與量詞為『存在』的敘述。

層次2：能否定量詞為「所有」的敘述。

層次3：能否定量詞為「唯一存在」的敘述。

在反證法程序的層面上，各層次發展順序則是

層次1：能否定無量詞與量詞為「存在」的敘述。

層次2：瞭解反證法的證明格式（否定結論，推得矛盾）。

層次3：能辨識對偶命題。

這些層次的發展都是以高層次包含低層次的方式表現。藉由這些結果，我們不但看到學生否定語句的能力獨立發展，而且發現學生在養成直接填否定詞的能力後，便可學習反證法的格式。但學生瞭解反證法的格式並不代表他們瞭解反證法的論證原理，而是待能「辨識對偶命題」，能「瞭解對偶命題等價」後才有機會明白箇中道理。這些研究成果，可以做為數學教師們極佳的教學參考。

        最後，這篇論文還特別將反證法的邏輯形式同「生活中的論證」、「生活情境裡的命題」比較，並且分析生活命題的思維特質，詮釋學生用來思考生活命題的思維常會產生異於邏輯規則的情況；進一步還提出克服思維障礙、發展邏輯思維的教學假設，同時據以發展教案進行探究性教學。本來，如何將傳授給學生的數學知識，和學習者的既有生活經驗、固有思維模式連繫起來，一直是中學數學教師想要達成卻又不容易做好的事，多數參考書籍只能提供數學範例與習題，或者僅僅建議理想中（或教學經驗中較佳）的教材和教法，教師對學生學習特性及教材內容的許多觀察判斷又往往欠缺同其他人交流印證的機會，尤其不易找到學理上的依據和最新的相關學術討論（「討論」一詞強調的是交流和辯證）。透過這篇論文，教師一方面可以較為深入、細膩地看到學生學習反證法時展現的若干學習特性，思考教材內容（反證法）在生活與數學架構裡的地位，另一方面也應該能激勵自己釐清教案安排的來龍去脈，進一步反思數學教師可以做與必須做的要務。

        舉例來說，Anna Sfard（一位以研究代數思維著稱的以色列女性數學教育專家）曾說過許多數學概念的起源是「運算性」的，經過許多運算經驗，使得運算的概念可以累積壓縮成某種看似靜態的結構。像是奇數的概念，在剛開始時也許只是無法平分的操作或除以2有餘數的計算，然後才發展成可以表徵為偶數加1的數（或可以表徵為2的倍數加1的數），於是奇數成為一個能獨立運作的主體「物件」（object），而非依附於其他用途的運算過程。恰好在數學證明的問題中，被關注的主體常常是較為抽象的數值關係，證明者須將某些「數值關係」看成「物件」才能進行證明，學生也要先對這些數值關係有結構性的瞭解，同時配以具結構的思維操作。根據文獻，數學教師最好能適時提供運算性的觀察或操作經驗，以幫助學生順利地將運算性思維轉換為結構性思維，而這些事情常是我們在「反證法」教學（甚至是一般「證明」教學）中輕忽或思之不得其法的。

        「探究性教學」時，著重觀察當下學生的學習反應，主要是根據教師在教學中的觀察紀錄來進行。研究對象為五專商科一年級學生47人與五專工科一年級學生23人，研究中的教學活動共約三節課（150分鐘）。最後佐以教學後一個月的延後測，對照具代表性的高二學生對反證法的瞭解狀況，評估研究對象的學習成果。

        教學過程的觀察紀錄顯示：在教師導引與學生的小組討論中，學生確可發現對偶命題等價並加以符號化，而在求等價命題方面，將原命題符號化再輔以符號規則是成功的關鍵步驟，教學假設獲得支持。延後測結果又顯示：實驗班學生有19﹪的學生能辨識對偶命題等價，相對於參照組裡已學過反證法高二學生之4.5﹪高。

        或許有人會問：上述教學假設的驗證結果是否真地符合所有數學教師的教學實況？背景互異的學生在同一數學主題上的學習究竟有何差異？為何有所差異？這些差異對於不同學習階段的數學教師又有什麼意義與啟示呢？的確，教育學者大都認為「教育既是兼容認知意義、價值意涵，以及行動實踐的複合概念，同時也是意指教人成人的實踐活動」，「兼具理論與實際雙重特性」，如此設問無可厚非。我們在教學時，所面對與思維，的正是數學教育裡的主體，無論是腦海裡浮現的想法（例如看待數學、數學教育與學生學習心理的哲學觀），還是自己在教學和評量歷程中所採取的方法策略、對於教材和學生的第一手觀察，其實均為數學教育研究要探索的對象。

        這篇論文所做的研究準備以及研究設計，恰為數學教師有能力進行，而且有助於教學和評量進行的工作，倘使教師們信賴或質疑這些研究成果，應該嘗試直接投入現場觀察與實地研究工作，結合研究精神與教學實務，一來有機會改善教學品質，二來也可以利用這段歷程擴展自己的心靈與視野，同時有能力對其他研究者的成果進行更深入的篩選和品評。

2.交流資訊與加以辯證是豐富數學教學的一項重要方法。

        作者探討生活命題及相關思維，還有反證法原理意義、學生的學習情況與學習問題，是文中設計探究性教學教案的重要前奏；教師們若希望自己的教學設計能蘊含更豐富的想法，則多樣化的資訊來源顯然是不可或缺的因素。同樣的，不同的資訊和信念可以造就不同的教學假設──細心的讀者會發現這項研究中的教學假設決定了教案的設計方向。因此教師在讀取他人報告的同時，也應該努力判讀研究背後的哲學思維以及各種研究發現背後所可能隱藏的涵義，盡可能思索所得現象的正反面意義（就像是「反證法」一詞本身所暗示的一樣）；這些功課既豐富教師的想法和教學，也從多方面考驗和鍛鍊教師的專業素養。

        許多時候，交流與討論各種和教學有關的學術資訊，並不是我們這些中學數學教師單槍匹馬可以輕易做好的工作；冀盼校內的有志教師相互結合，不但可進一步依各校特色發展適合的觀察與探究，也可共同促進數學教師專業的充份體現。

3.學校應成為教師教學研究的重要後援。

        儘管許多教師對於教材內容和學生學習狀況有著濃厚的興趣，也不疑餘力地想要蒐集各種教學研究資訊，但如果學校裡的行政措施不能以教學為本位，而是以方便管理或任務取向為依歸，則教師勢必為教學之外的雜務疲於奔命。在這篇論文所設計的探究性教學教案裡，學生之間的小組討論是實踐該教案的重要手段，這種方法是不是最好的設計呢？或者這種設計有沒有須要特別注意的地方？如果學校能在軟硬體方面提供更多的行政支援，讓數學教師們有機會充份討論和設計各類教學法的特質和細節（就像是各個研究小組裡所做的），相信對於教師的教學工作將大有助益。

        當然，倘若大家將教學或研究心得報告出來，互相交換自己的看法和思維脈絡，並以盡可能嚴謹的態度審視，筆者認為，這將是數學教師們最好的智庫材料。這些報告、交流與審視工作的地位並不亞於實際教學，雖然學校行政系統的支援配合（例如排課）可能有許多亟待改進的空間，但教師率先努力將更利於後續措施的推動。

        另據筆者所知，本刊仍將陸續引介和數學教育有關而又有益於教師豐富教學思維的文章，同時也歡迎各位實際從事數學教學工作的教師投來您的推薦或相關報告。筆者相信，「讓數學教師有更多可看可想的東西」和「讓數學教師想得更多、看得更多」是同等重要的；而HPM理念：數學史與數學教育（History and Pedagogy of Mathematics）的充份結合，亦須仰賴數學教師們對於學習者數學認知歷程（history and process）的觀察和數學知識本身發展脈絡（context）的認識。這篇容易上手的論文，可以當作我輩數學教師開始嘗試結合數學教學、數學史（包含數學哲學）和數學教育研究時的參考，也希望能藉之激發出我們所想所看的無窮空間，以及與同業分享自己實務和研究心得的行動。