對於〝純粹的數學知識是否存在？〞這個問題，作者Katz肯定純粹數學知識的存在性，例如在希臘的畢氏定理與中國的勾股定理指的是同一件事；對於n個物體中取出k個的排列數的計算法則，十四世紀的拉比•班格森（Levi ben Gerson）、十七世紀的梅聖尼（Marin Mersenne）都與我們相同。不過，不同的是發現這些數學的方法與「證明」，而這正關係到不同的歷史或文化脈絡。

        數學教學是一件困難的事，教師也總是面臨何種教法才是讓學生獲得、了解概念的最好方式。使用數學史不見得會使教學變得比較容易，但是，我們的目標在於尋求何種方式對學習較有幫助，也就是需要且值得以更細緻的方式來使用數學史。Katz強調，在課堂中使用數學史除了需要了解學生如何學習數學知識外，仍需要不斷地試驗及心得分享，更重要的一點：從較大的範圍來考量及設計一系列數學史的使用，這時就需要思考如何將一系列的概念甚至整個課程，結合到某個歷史或文化脈絡之中。Katz提供以下三個例子來說明這樣的使用方式。（註二）

        以畢氏定理來說，我們並不知道它是如何被發現的，但它在許多的文明中都出現了，因此，我們可以藉由想像力來重新「發現」。比方說，以教室地板的磁磚為媒介，先從等腰直角三角形「發現」起，再去「發現」各種的直角三角形；接著，就需要「證明」了，劉徽或趙君卿的論述或方法算不算是證明？一個定理的證明又是什麼呢？證明在數學發展中所扮演的角色，甚至是對文明發展的影響等等問題，這些都是不容錯過的，教師可以把握機會與學生好好地分享討論。一般而言，學生在學習證明時都是從很顯然的結論證起，Katz指出若從歐幾里德對畢氏定理的證明講起，然後再回溯證明之中所需的先決條件，直到必須建立公設為止，如此一來，學生就可以體認證明的必要了！「證明」完了之後，還可以繼續討論畢氏三數組，許多老師報告了他們利用Plimpton 322（記載巴比倫畢氏三數組的泥板）獲得了很大的成功；此外，也可以介紹印度人利用畢氏三數組來建造他們的祭壇，這樣一來，學生還可以接觸到截然不同的文化。

        三角學的發展也是一個相當好的題材，（在西方）這門學問的發展並不是為地表上的測量，而是為了天體的測量。Katz認為利用今日正弦函數的概念，將能夠成功地透過托勒密（Ptolemy）來幫助學生了解三角學的內涵。額外地，這還提供了一個絕佳的機會與學生討論初等天文學（日動說），該門知識作為科學的基礎長達數世紀之久，所以絕對值得我們去介紹它。Katz提到他很喜歡讓學生利用古代的資料、證據來辯論究竟是地動還是日動，我想這是很有趣的一點。當然了，天文學的知識是關於球面三角學的，但是若只要用在討論太陽的運動，這並不會太難。若學生欲罷不能，還想繼續探索球面三角學的話，〝回教徒如何找到麥加的方向〞這個帶有文化及宗教背景的問題，則是一個非常不錯的選擇。

        在古代的基督教和回教傳統世界中，他們都對排列數相當地感興趣，導因於他們深信神創造了世界萬事萬物，而每一件事物的名稱都由字母所組成，因此，可以透過對字母排列數的研究，來窺知神可能創造了多少事物。由基督教和回教傳統世界出發，幫助學生去發現巴斯卡三角形，去探索巴斯卡三角形之中的奧祕，還可以利用阿拉伯數學家ibn Munim和ibn al-Banna的方法幫助學生發現組合的乘法法則、利用巴斯卡及拉比班格森的方式來證明組合公式；更重要的，我們可以讓學生體會到數學家的用心良苦─用最簡單的方式來呈現全體，如此只要透過代公式就可得知正確的數字，人們再也不用辛苦地一個一個數了。

        教師必定要充分地熟悉數學史，才能與教學做一成功地結合，除了課堂上的使用，習題的選擇也扮演舉足輕重的角色，例如歷史上重要的問題，或限定只能運用當時的數學工具來解決，在在都能夠幫助學生抓住、發展數學概念。從數學史中我們可以看到，純粹的數學知識確實存在，但是它往往埋在文化的脈絡之中，而我們可以將文化的脈絡真實地呈現給學生，如此學生不但學到了數學，還體會到了不同的文化精神，而這也正是我們的教育目標之一。

        最後，作者再次強調了分享心得的重要性。我想本刊(HPM通訊)正好提供了這樣的管道，對這方面有興趣的老師，歡迎一起來經營這片園地；對於數學史有任何疑問，可以透過網路留下您的問題，編輯小組會竭力為您解答。

註一：舉例來說，希臘人的不可公度量與我們的無理數不盡相同。

註二：Katz在這個例子中詳盡地提供了教師們可能的發展方向，考量實際狀況使用，至於教師是否要全部
            介紹，他並不堅持。