台師大學數學系 洪萬生教授
問題及其求解（problem-solving）是數學的靈魂，大概是數學家與數學史家對『何謂數學』的一個最根本共識。譬如『費瑪最後定理』的證明追求，就大大地主導了數學界主流的知識活動。在數學教育過程中，如何設計（或選擇）恰當的『問題』作為課堂練習或課後作業，當然也是數學教師必須嚴肅面對的工作之一。誠然，恰當的問題，不僅可以提醒學生隨時綜合整理所學，引發進一步學習的興趣，在另一方面，它也可以幫助教師掌握學生的學習評量狀況，調整教學的內容與策略。
不過，問題設計得適『才』適『性』，實在不是一件容易的事。很多教師（包括明星學校的名師）設計題目難如登天，根本起不了『問題』在數學發展（或學習）過程中所扮演的積極角色。其實，對於擁有一點數學的專業訓練的教師而言，難題儘可順手拈來，天下畢竟沒有考不倒的學生！然而，要想將題目設計得恰當而深刻，教師就需要對數學專業多一點洞識與練達了。
當然，在某些脈絡中，某一數學問題的恰當與否，大概不容易有一致的判準。譬如試證明『圓面積等於半周半徑相乘』（出自【九章算術】）、『兩圓形的比等於其各自直徑所張拓的正方形之比』（出自【幾何原本】）與『圓面積等於其半徑與圓周長為兩股的直角三角形面積』（出自阿基米德【圓之度量】）等三個『圓面積』公式，哪一個比較『恰當』，恐怕就取決於『被使用』的脈絡了。
既然如此，我們不妨將充實問題的『庫藏』視為第一優先。而這正是HPM的推動者可以大力挹注之處。無論如何，如何將古代數學問題『融入』課堂之中，並進而提昇學生的學習興趣與效果，或許也正是HPM無法迴避的『正當性』了。有鑑於此，法國的HPM成員由Evelyne Barbin領導，在1980年代初期組成『數學認識論與數學史』跨校IREM委員會（The “Epistemology and History of Mathematics” inter-IREM Commission），結合中學教師、師資培育教授、數學教授、哲學教授、歷史教授、物理教授以及科學史家，共同來探討HPM的相關議題。其中IREM是指法國教育部設於25所大學的數學教育機構（英譯為Institutes of Research into Mathematics Education），其目標近似我們的教師研習中心，但功能看起來則更為積極，尤其值得注意的，是它們經常將數學教師在職進修或講習『暴露』在國際性、跨學門的研討會活動之中。
在此，我們打算與讀者分享的法國經驗，就是由Evelyne Barbin所主編的History of Mathematics / Histories of Problems (Paris: ellipses, 1997)。本書（總共429頁）收集了十五篇論文，作者大約有30位，都是各地IREM的工作伙伴。此一研究計畫最早由里昂IREM的Gilles Bonnefoy所提議，目的當然是將數學問題融入數學教學之中。不過，其策略則是將『偉大的問題』（great problems）視為數學知識成長的中心主題（themes）。於是，在本書十五篇論文中，作者（們）都努力出入文本，鋪陳各種相關數學問題的誕生與發展，以及這些究竟又如何引導了提供解答的數學工具之創造與轉化。誠如Barbin指出，這十五篇論文正好是十五個『偉大的問題』的故事，因此，它們所涵蓋的也正好是這十五個問題的歷史。
然則，本書的進路究竟凸顯了何種特色？或許我們可以先考察古代數學問題（或其等價形式）在數學與數學史書籍中所出現的樣貌。一般而言，在數學書籍中安排『穿了時裝』的古代數學問題，無疑是數學家寄物抒情的一種風雅，然而，它所表現卻常常是『去蕪存精』 --『去了脈絡』（de-contextualized）的知識面向。另一方面，在數學史通史類撰述中安排『在脈絡』（in context）的問題，譬如Carl Boyer的A History of Mathematics (1968) 以及Lucas N.H. Bunt等人的The Historical Roots of Elementary Mathematics (1988)等書所列的『習作』（exercises），目的則偏重『純』數學史的考量，至於讀者是否因此引發數學認知的反省，則有賴於數學史的教學互動了。第三種比較『另類』的著述，則是Hugh Neill所主編的The History of Mathematics (1994)，由於此書是為英國中學選修『數學史課程』而寫，所以，課堂練習與課後作業的設計雖然取自相關的數學文本，但是，數學知識結構的連貫性倒是充分地照顧到了。儘管如此，此書專意在『數學史素養』而非數學本身，殆無疑問，除非讀者願意相信『數學史』是『數學』不可分割的一部份。
現在，讓我們回到Barbin所編輯的這本書上。在本書中，每一篇論文的論述主軸都是取自數學文本的問題。譬如第一篇”En Route for Infinity”由Michel Guillemot 與Denis Daumas共同執筆，就包括了23個習作，題題相扣，前後一貫，從古埃及的記數符號出發，經戴德金與康托爾的對話，終於連續統假設。其中內容涉及數學、無限哲學（譬如畢氏學派、亞里斯多德與波爾札諾（Bolzano）的論述）以及數學史，可貴的是，每一個成分都融成一體，充分再現數學知識的『在脈絡』風格。這樣的題材對一般的中學生而言，負擔當然沈重。不過，Barbin也特別指出，本書的訴求對象是現任或未來的數學教師（尤其是學程的最後一年），如此說來，數學教師需要何等的數學史素養，就不言可喻了。總之，本書不僅值得採用，而且對我們自己亟待建立的HPM傳統，也有很大的啟發！
參考文獻
洪萬生 (1994) :『數學史上三個公式積圓面』，【科學月刊】二十五卷七期，頁539-544。
洪萬生（未刊搞）:『數學家書寫歷史：兼評John Stillwell的【數學與它的歷史】』。