反證法教學感想

建國中學 黃哲男老師

        民國八十四年教育部公布了高級中學課程標準,其特色之一是過去一直遲至高二下學期才出現的邏輯與集合,被「拔擢」至高一第一冊第一章。此舉就教學而言有其方便性,因為大多數的老師講解高一教材時,總會騰出一些時間補充介紹邏輯與集合的概念。然而,由於每個老師所介紹的深度與廣度不同,加上課本沒有這部分的內容而且考試可能會考以及補習競爭文化的結果,往往造成高中新鮮人不少的困擾。

        如今,妾身未明的邏輯如今終於被重新定位,不論是教師教學或學生學習都更有方向可循,目標也更為明確,照理說教師教授將更順手,學生學習將感到更容易才是。可是根據筆者的觀察,情況似乎不是如此,許多學生(事實上是「很多學生」)搞不清楚「命題」、「敘述」、「充分條件」、「必要條件」、「真值表」等等衍生的問題。另外,還有一些證題法,尤其是「反證法」最容易造成學生學習困擾。

        關於「反證法」,英國數學家Hardy譬喻得好:「棋手犧牲的就是一兵一卒,頂多是一支主棋,但數學家犧牲的卻是整盤棋局。」關鍵問題之一就在於整盤棋局都放棄了,如何才能找到對手的致命傷並給予致命一擊呢?對一個受過專業數學訓練的人來講,這有時也是件難事,畢竟茫茫棋海中,目標難以尋得,更何況其中還隱藏另一個重大的問題,而這問題得追溯至亞里斯多德。

        為了確保數學推論正確,古希臘人曾做了不少努力,但直到亞里斯多德加以系統歸類與整理之後,邏輯科學的基礎才算完成,從此「形式邏輯」也因而建立。亞里斯多德認為不是每件事都可以證明的,否則證明將會如同一條無止境的鐵鍊一直延伸下去,因此亞里斯多德便開始尋找邏輯的根基:亦即無需證明的明顯真理。而這就是邏輯公理:矛盾律(Law of Contradiction)以及排中律(Law of Excluded Middle);其中矛盾律的意思是一個命題不能同時又真又假,而排中律指的是命題必為真或假,後來兩者成為了數學「間接證法」的憑藉!

        所謂「間接證法」乃是相對於「直接證法」而言,一般說來「直接證法」指的是在假設的基礎上,根據公理或已證過的定理,藉由合理的邏輯推導出結論的方法。「間接證法」大致可分為三種:反證法(歸謬證法)、轉換法、同一法;一般接將反證法與歸謬證法視為同一種方法,不過龍騰版教師手冊卻將之分開討論,摘錄如下:

所謂“歸謬證法”,英文稱為“proof by contradiction”,顧名思義,就是利用“矛盾”來達到證明目的的方法。也就是說,先假定求證的結論為假,然後逐步推演,而獲致與原假設或其他事實相抵觸的結論,從而論斷求證的結論不可能為假,也就間接證明了其必須成立。……至於“反證法”,英文稱為“proof in contrapositive form”,也就是以證明“對偶命題”來達到證明目的的方法。一個形如“若P為真,則Q亦為真”的命題,其對偶命題為“若Q為假,則P亦為假”。假若我們能夠證明“若Q不成立,則P亦不成立”的話,則Q就必須成立,否則將導致P不成立的矛盾。因此,要證“若P則Q”,不妨改證“若Q′則P′”。

細分之下的確有不同,就數學邏輯的嚴謹性而言,確有必要將之分辨清楚,不過依筆者看法,在實際教學過程中並不需要拘泥於兩者的不同。

        另一個關鍵的問題就在於「為什麼只有矛盾律與排中律是對的?」曾經不只一位學生問過筆者類似的問題:假設結論不成立,然後推得和前提矛盾,原命題就一定會成立嗎?筆者當下真是百感交集,不知道該如何回答,畢竟就是這種挑戰亞里斯多德的二值邏輯才導致模糊邏輯(Fuzzy Logic)的出現啊!

        日常生活中,「好人」與「壞人」、「對」與「錯」都不是絕對的,亞里斯多德也承認這一點,他在《形上學》這本著作裡提到:「事物的本質仍存在著多於或少於的特性。」因此,筆者相信學生對於「反證法」的懷疑,除了數學上的問題之外,應該還存有更深層的心理結構問題。關於此點筆者無法提出證據,但從歷史上來看,除了古希臘之外,其他的文明並沒有提出反證法的概念,因此這兩者之間應有些關連吧!

        在實際教學中,基於課程的完整性以及提供部分同學一項有力的工具,筆者認為還是需要介紹反證法。但不可將之視為課程目標的全部,命題時更不可以刁鑽的題目來評量學生「反證法」的概念,僅需介紹幾個例題(如:質數無限多個、(sqrt2)為無理數等等經典「古」題)即可。其實,教師也可以嘗試藉由「反證法」這個證題法與一些例題,介紹古希臘人發展「反證法」的文化背景,並藉著比較幾個文明(如:中國)的數學發展,來說明「反證法」對後世數學文化的可能影響。