本刊曾多次刊出「看圖說話」，贏得不少的注意與好評。今年十月二十三日，我應邀到台北市西松高中演講（由西松高中教師會舉辦）時，順便介紹了幾張「看圖說話」，沒想到與會的台北市、縣數學教師，竟然立即發現了它們的「力」與「美」，真是令人高興。最近黃哲男老師在北市建中教學實習，曾利用圖形來講解平方項的求和公式（參見圖一），學生的反應是：『從小到大第一次感受到數學的美與神奇。』
那些圖形大部分都從「美國數學協會」
(The Mathematical Association of America，簡稱MAA) 所出版的 Mathematics Magazine 所摘錄出來的。MAA與AMS、NCTM並列為美國三大數學社團，它們關心數學教育的方式，則側重面大有不同。譬如說吧，AMS即「美國數學學會」 (American Mathematical Society) 的簡稱，它的組成份子都是專業數學家，因此，學會出版品中的 American Mathematical Monthly 與 Notices of the American Mathematical Society，雖然不乏教育方面的論述，但是，前者偏向大學層次的解題活動，後者則提供論壇，讓數學家抒發他們對數學教育的熱情關懷與高韜理想。另一方面，NCTM則處在另一個極端，它是「全國數學教師協會」(National Council of Teachers of Mathematics) 的簡稱，出版品中有針對中小學數學教師為訴求對象的 The Mathematics Teacher 與 The Arithmetic Teacher，內容主要涉及具體的教學策略與方法，可見NCTM是數學教育專家 (mathematics educator) 與中小學數學教師的自主團體。至於
MAA則在體制上比較符合中庸之道。譬如，它的組成份子就容納了專業數學家、大學與中、小學數學教師等各個層面，尤其難得的是，像George Polya 這樣的偉大數學家，就曾經是MAA的忠誠會員。再者，MAA的刊物 Mathematics Magazine 雖然內容稍偏大學數學層次，但是，教育與人文關懷相當濃厚，所以，它比起 American Mathematical Monthly 來，顯得「世俗」(secular) 一些，然而，就觸及數學知識活動來說，它相較於 The Mathematics Teacher 與The Arithmetic Teacher，則無疑「深刻」(deep) 多了。正因為如此，所以，
Mathematics Magazine 於1975年提出此一「看圖說話」專欄構想，原先只是用以「補白」(use as end-of-article fillers)，沒想到後來主編 J. Arthur Seebach 與 Lynn Arthur Steen 竟然進一步強調：利用一個令人歡喜的圖示，來提出一個重要的數學觀點，這比起原先目的，恐怕再也不能更好的吧？顯然由於此一專欄的大受歡迎，因此，MAA 的另一份刊物 The College Mathematics Journal 在八十年代的稿約中，就不斷地聲明：本刊除了歡迎側重解釋性的論文之外，「也邀請其他類型的撰稿，尤其是不用文字的證明 (Proofs without words) (Proofs without words)，數學詩篇，遺聞軼事引述，......」不過，誠如
Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking (MAA出版，1993) 的編者 Roger B. Nelsen 所指出，這種「看圖說話」卻早已不乏先例。事實上，Martin Gardner 就曾在1973年十月號的【科學的美國人】(Scientific American) 討論這種「不用文字的證明」。他將這種圖形視為「一瞥就懂」的圖形 ("look-see" diagrams)，這是因為在很多時候一個蠢笨的證明，若能輔以一個幾何的類比圖形 (geometric analogue)，則後者的簡潔與美妙，讓讀者幾乎可以一瞥即對定理的真實性瞭然於胸 (the truth of a theorem is almost seen at a glance)。此外，
Nelsen 還特別指出：在數學史上，這種圖形也常常出現。誠然，中國趙爽、劉徽（三世紀）與印度巴斯卡拉（十一世紀）對畢氏定理所提供的「弦圖證明」（圖二）
，就是十分著名的例子。可見，它們也曾經在數學史上扮演相當有意義的角色。針對此一例子，古典希臘的歐幾里得所提供的證法之附圖（圖三），
大概就少了一目瞭然的特性。究其原因，圖形只被他們認為具有輔助思考的功能而已。對歐幾里得影響深遠的柏拉圖，在他的【理想國】(The
Republic) 中甚至強調吾人在心靈 (mind) 思考數學客體（即形式 (forms) 或理念 (ideas)）時，千萬不可被圖形所迷惑或左右。在這種情況下，圖形作為認識或核證數學知識的一種憑藉，希臘數學家對它的『正當性』一定相當保留，於是，他們對文字論述的方式，當然更加全力以赴了。
在數學史上，數學家言說或論述方式總是受限於符號的使用
-- 當然，這也常常關聯到他（她）們對於某些關鍵概念的透明清晰度之掌握，因此，利用圖形的「自我解說」(self-explanation) 能力，往往是他（她）們呈現數學知識的一個重要策略。譬如說吧，十四世紀巴黎學派的 Oresme 就使用了下列圖四，發現 / 證明了下列級數和:
至於他所根據的理由則是：『一個有限面積的平面區域，可以照我們所喜歡的程度去拉長或變高它的延展性，而不改變它的尺寸大小。』可見，無窮級數如何求和對他來說，數學符號與術語大概都不足以『講明白，說清楚』，因此，想辦法去建構一個圖示，或許是最具說服力了。
所以，偶而在課堂上利用這種圖形，應該可以帶來意想不到的學習結果，至少我們可以利用這種難得的機會，拉近學生與古代數學文本的距離。尤其，當代數符號演算對初學者極為抽象時，幾何圖示
(geometric demonstration / illustration) 往往可以發揮相當大的澄清或說服功能，譬如【幾何原本】中的平方和公式之圖示（圖五），
以及阿爾花拉子摩
(Al-Khwarizmi) 利用配方法 (completing the square) 來圖示二次方程
（圖六），
都是非常值得參考借鏡的文本，值得我們珍視與利用。
附註：阿爾花拉子摩的原題敘述成『平方加上10根等於39，問平方是多少？』，至於解法則寫成：『取根的係數10的一半，即5，自乘得25，加上39等於64，其平方根是8，在減去根的係數10之半，餘3。這就是根，它的平方根是9。』
參考文獻
李文林主編 (1998) 【數學珍寶】，北京科學出版社。
洪萬生 (1999) 【孔子與數學】，台北明文書局。
Neil, Hugh (1994): The History of Mathematics. Essex: Longman Group Limited.
Stillwell, John (1989): Mathematics and Its History. Springer-Verlag.