生活上，如果有人告訴你某件事是不可能的，
意味著這件事很難完成，或是其結果很難被接受。
數學上，如果有人告訴你某件事是不可能的，
意味著可以不用再浪費時間了，除非你另有目的。
一個古老的遊戲，如果可以抗拒時間的考驗而歷久不衰，一定有它獨特的吸引力，而無論從何角度來看，『幾何作圖』都稱的上是其中的佼佼者。這個遊戲不但歷經了兩千多年的時光，也橫越了區域的限制到達世界各個角落，參與者從頂尖的數學家到一般的中學生，探討的面向也由學術論文到學校的教科書。不少數學創作的靈感來自這個遊戲，更有企圖解決這個遊戲規則所產生的『bug』，而無意中闖入另一個新的領域，最深刻的例子，就是孟納赫莫斯（Menaechmus）為了解決倍立方體問題而發現圓錐曲線。最難能可貴的是，這個遊戲規則一直沒有被更動過，儘管其間不少人做了些『品種改良』，但這些改良並沒能將原始的規則取而代之。
提起作圖，便不能忽略古代中國的製圖技術，而規、矩的使用更早早出現在文獻記載上。《孟子》離婁章句中有云：『離婁之明，公輸子之巧，不以規、矩，不能成方、圓。』《墨子》裡也有：『輪匠執其規、矩，以度天下之方、圓。』《淮南子》中有：『非規矩，不能定方圓；非準繩，不能定平直。』尸佼《尸子》卷下亦有云：『古者倕（古代相傳巧人名）為規、矩、準、繩，使天下倣焉。』甚至山東漢武梁祠石室留有「伏羲氏手執矩，女媧氏手執規」的造像，在在顯示中國早有以規、矩製圖的事實，而且是最主要、基本的工具，甚至『規矩』一詞已被當為標準、典範之意。
然而，就此認定中國古代即具備『幾何作圖』的概念，倒又言之過甚。綜觀這些古代文獻，不難發現這些規、矩的使用乃基於實用價值，這與古希臘柏拉圖所創『尺規』的使用規則與意義並不相符。『矩』俗稱曲尺，是兩條不一樣長的尺互相垂直併合而成，能直接畫出垂直線；『準』即水平儀，而『繩』就是墨斗。就『幾何作圖』中，『尺』只能用來畫連接兩點的直線，且不能有刻畫的限制來看，『幾何作圖』更像是利用「規」與「繩」的作圖，也就是說，對古希臘人而言，成方、圓不必靠規、矩，『規』『繩』足矣！
古希臘人將邏輯演繹證明引入數學，連帶地影響幾何學的發展。古希臘人也有畫直角的工具，但他們卻寧可用更單純、更原始、幾近理想化的工具代替，對數學公理化的精神展露無遺，事實也證明「直尺」並不辜負所託，有別於其他幾個古文明如巴比倫、埃及和中國把幾何當成實際技藝，「尺規作圖」脫離了實用的價值而進入了邏輯演繹體系。不可否認的，古希臘人的數學深受哲學影響，這從那些遺留下來的關於數學的文獻便可看出端倪。無論巴比倫的泥板有關數學部分的記載、埃及的紙草文獻或是中國的《九章算術》，都採用『問題--解法』的形式，反觀古希臘『極獨特』的公理化方法，倒成了不折不扣的『民族數學』，不過也應了一句古話：有『理』走遍天下。
『幾何作圖』限用直尺、圓規，且規定使用的方法簡直到了吹毛求疵的地步。但若就此認為諸多限制必定妨礙『幾何作圖』的發展，則又輕忽邏輯演繹的威力。柏拉圖規定：
1.直尺只能用來畫通過已知兩點的直線。
2.圓規只能用來畫已知圓心且通過另一點的圓。（註一）
除了以上兩個規定之外，不能移作他用。有幾點必須提醒的是：
在（一）中，一些現在常用的動作如『以某點為圓心，任意長為半徑畫圓』、『過一點畫一線…』都不被直接允許的，一定要有已知兩點（頗像GSP作圖）。而且這些點是不能任意取的（如在圓上任取兩點A、B），必須經由『合法』程序得到這些點。所謂的『合法』包含：
一、『起點集（starter
set）』：包含了給定的『已知點』和『交點』，這裡的『交
點』是指已知的線
與線、線與圓、圓與圓交點。
二、『作圖點（constructed point）』：經由作圖程序所得到之新的線與線、線與圓、圓與圓交點。
經由這些點方能使用尺規。
不能無限次與合併使用尺規，這個規定倒容易被接受，本身也有執行上的困難。而（三）中有一些特別的意義，在圓規的使用規定中，圓規是不能離開紙面的，也就是不能用圓規來量長度，這樣的圓規又稱作『歐氏圓規（Euclidian compass）』。這也是為何《幾何原本》第I卷第二個命題：『以一已知點為端點作一線段等於已知線段』裡，現在看來兩個步驟就可完成的事，歐幾里得要如此大費周章。但只要經由這個命題後，歐氏圓規就與現代使用的圓規無異了，即所謂的延伸。所以對於上一段所提『不被直接允許』的動作，經由演繹後也都保障了可行性。
另一個耐人尋味的地方，在柏拉圖的直尺使用規則中，並未同意直接延長一個線段，但《幾何原本》一開始的第二個設準（postulate，註二）就同意了這件事。細心的歐幾里得當然不會忽視這個問題，在前面的定義３中就指出『線的兩端是點(The extremities of a line are points.)』，因此就將設準二合法化了。這除了可以從另一個角度思考為何歐氏會在定義中加入這個的定義３外，更為歐氏與柏拉圖彼此交心的說法，提出另一個例證。《幾何原本》對作圖的規定（公設）顯然遵循了柏拉圖的作圖規定，而尺規作圖也因本書的影響，成了幾何學的金科玉律。
事實上，對作圖工具的限制並沒有實際的意義，卻表明了古希臘人對數學的態度。只須稍稍的放寬限制，所謂的『幾何難題』就可被輕易地做出，然而正是這種不能妥協的嚴謹態度，與不可抑止的挑戰激情，才會引出現代數學的光輝燦爛。數學家甚至不滿足尺、規的使用限制，提出了更多嚴厲的限制來做到相同的事。1547年，義大利人費拉里（Ferrari, Ludovico 1522-1565）證明了：『限定圓規張開的角度是固定的，也可完成所有的幾何作圖題』。這樣的圓規有一個特別的名稱--『鏽蝕圓規（rusty compass）』，有人相信這個名稱來自十世紀的阿拉伯數學家Abul-Wefa（940-998），他留下不少關於這方面的研究。
1672年，丹麥人莫爾（Mohr, George1640-1697）發表了《丹麥的歐幾里得》一書，書中證明了：如果已知與求作的幾何要素都是點，則所有的幾何作圖都可以只用一支圓規完成。大約隔一百年後，義大利人馬歇羅尼（大約隔一百年後，義大利人馬歇羅尼（Mascheroni, Lorenzo 1750-1800）重新且獨立地解決了這個問題，如今我們都稱為『莫爾─馬歇羅尼定理』。現在我們要問：如果只用直尺而不用圓規，是否可以完成所有的作圖呢？很多人會有一個直接的印象，認為大概沒有一個作圖可被完成，因為連最根本的『求中點』都做不到，也無法複製線段。然而，目前已被證出至少可以複製角或平分某些特定角，也可以探討射影幾何的許多性質。
儘管，單用直尺無法完成所有的幾何作圖，但離完成卻只一線之差。1822年，法國數學家彭色列（Poncelet, Jean-Victor 1788-1867）從馬歇羅尼的結果得到靈感，提示了：所有的幾何作圖，都可以只用一支直尺與平面上一個已給定的圓完成。1833年，德國數學家史坦納（Steiner, Jacob 1796-1863）給出了詳細的證明，這就是著名的『史坦納直尺問題』。這個問題可類推為：所有的幾何作圖，都可以只用一支直尺與一個已給定的正方形完成。而這個定理也可推出：如果給的尺是兩邊皆可畫線的『平行尺』，而這個定理也可推出：如果給的尺是兩邊皆可畫線的『平行尺』，那麼只要這支尺，亦能完成所有的幾何作圖。
如果用的是每次都只能畫出固定長的尺（想像成排列牙籤），則所有的幾何作圖亦能被完成；更令人訝異的是，如果單用直尺，卻能在直尺上作記號，則不但所有的幾何作圖能被完成，連尺規無法做到的事也能做到，如三等分角問題、正多邊形作圖問題等。在此也提供一個思考問題：如果只用一支直尺與一個倍角器，能做到什麼呢？（註三）
最後，不能免俗的談談『幾何三大難題』。之前說過，這三大難題來自尺、規使用限制所生的『bug』。這些問題在轉換成代數問題後才被徹底解決，而這已經是兩千年後十九世紀的事了，因為以古希臘當時的數學發展是無法解決的。他們留下未解的問題而不去修改遊戲規則，一則從幾何本身要去證明『一個作圖不能被完成』是困難的，他們也無法確信是否真不能解決，再則修改限制來達到目的並非數學的精神。在『三大難題不能被完成』的嚴密證明被提出後，仍然有人想獨步古今中外，日以繼夜的想解決其中一個問題，甚至不少人也宣稱他們已然解決了其中一個問題，這與前些日子鼓躁一時的『圓週率為有理數的提出』倒有些契合與令人啼笑皆非，或許具備一些基本的數學素養才是我們所應該努力的，你們認為呢？
（註一）：參考George E.Martin(1998):Geometric constructions,p30.
（註二）：設準二是說：可以持續延長一條直線
[It is possible] to extend a finite straight line continuously in a straight line.
（註三）：由於直尺本身就能達到複製角的功能，所以多了倍角器並無提供更多的幫助。
參考資料
Martin, G. E. (1998): Geometric constructions, New York.
Eves, H.: A Survey of Geometry
Heath, T. L. (1956): The Thirteen Books of The Elements, New York.
梁宗巨（
1995）：《數學歷史典故》，台北：九章出版社.