台師大數學系 洪萬生教授
北縣福和國中 陳昭蓉老師譯
柏拉圖的數學哲學論述，主要發表在他的著作【米諾】(The Meno) 之中。在本書中，對話的人物共有四位，即蘇格拉底、米諾、Anytus 與米諾家的一位（奴隸）男孩 (slave boy)。不過，Anytus 並未介入數學哲學對話。至於對話一開始，則是米諾向蘇格拉底請教下列有關「德性」(virtue) 之問題：
德性是否被教育而能？或者它是自行修練得來？或者它既不是被教育而能也不是修練得來，而是與生俱來的稟賦？
按米諾是一位年輕的貴族，曾向辯者
(Sophist) 兼修辭家 (rhetorician) Gorgias 學習，頗有知識思辨的品味。針對此一問題，蘇格拉底回答說：我對德行完全一無所知！當我根本不知道某事物究竟是什麼時，我如何可以知道它的性質呢？
於是，在一連串攻防對壘之後，蘇格拉底歸結到『靈魂』
(soul) 的不朽與轉世之主張上，從而斷言『追尋與學習不過是重新收集而已』(seeking and learning are in fact nothing but recollection)。為了強化他的論證，蘇格拉底就舉『數學學習』作為例子，而這正是【米諾】第二部份對話的主要內容。這一段對話是由陳昭蓉老師翻譯，她根據了
John Fauvel and Jeremy Gray eds. History of Mathematics: A Reader 一書所收入的摘錄。這是數學教育史上的一段『經點』對話，值得閱讀。有關數學教育研究者對它的反思，本刊會繼續推介。M：你說人們並不學習，我們所謂的學習其實是一種記憶的追溯。這是什麼意思呢？你能教教我嗎？
S：才剛說你是個壞蛋呢！我說了，教學並不存在，只有記憶的追溯；而你卻要求我教你。很顯然的，這不是要讓我落入自相矛盾的境地嗎？
M：不不不！說真的，我可沒有這個意思。「教」這個說法已經成了習慣了，我只希望你說清你的意思，並展現它的真實性。
S：這倒是不容易。不過既然你這麼要求，我就盡量試試看。你這兒似乎有不少侍從，請任選一名到這兒。我將藉此來闡述這個道理。
M：沒問題。(M召喚一個僕人B過來)
S：他是希臘人，說我們的語言嗎？
M：沒錯，生在這裡，長在這裡。
S：仔細聽好，看看接下來的過程中，我是在教他，或只是在提醒他。
M：好的。
(S在腳邊的沙地上畫了一個正方形ABCD，並對僕人B問話)
S：孩子，你知道正方形是這樣的形狀嗎？
B：我知道。
S：四個邊是否都等長？
B：沒錯。
S：對邊中點的連線EF和GH是否也等長？
B：是的。
S：這樣的圖形大小可以改變的，對嗎？
B：對。
S：如果這個正方形的邊長是2英尺，整個的面積會是多少？這麼說吧，如果是一邊長2英尺，另一邊長只有1英尺，面積是不是2平方英尺？
B：是。
S：既然現在是兩邊都長2英尺，面積就會是2平方英尺的2倍囉？
B：對的。
S：算算2平方英尺的2倍是多少，告訴我。
B：四平方英尺。
S：那麼你能畫一個相似的圖形，四個邊等長，但面積卻是ABCD面積的兩倍嗎？
B：可以。
S：這個圖形的面積會是多少？
B：八平方英尺。
S：告訴我它的邊長應該是多少。原來的圖形邊長是2英尺，面積變成2倍的新圖形邊長是多少？
B：很明顯啊，是原圖形邊長的兩倍。
(S轉向M發問)
S：看到了嗎？我沒有教他什麼，只是發問。他認為他知道面積8平方英尺的正方形邊長是多少。
M：沒錯。
S：但是他知道嗎？
M：當然不知道。
S：他認為是原來邊長的兩倍。
M：是的。
S：現在看看他如何正確的循序漸進，追溯回憶。
(他再度轉向僕人發問)
S：你說把邊長成為原來的兩倍，面積就會是原面積的兩倍。我所謂的形狀相似是說各邊等長，而非邊長有長有短。心的圖形必須各邊等長，而且面積是8平方英尺。再想一下，是不是仍選擇讓邊長是原來的兩倍？
B：是的。
S：那好，現在我們沿著AB再加上與AB等長的BJ，可以得到AJ是原線段的兩倍長嗎？
B：可以的。
S：照你的說法，只要取四個這麼長的邊，就可以得到面積是8平方英尺的正方形了，對嗎？
B：對。
S：那我們按照AJ的長度，做出線段JK、KL、LA，並以AJ為底。是否可以得到你說的8平方英尺的正方形？
B：當然可以。
S：(畫上線段CM、CN)
這個新圖形是否包含四個與原圖形一般大小的正方形？
B：是的。
S：那麼新圖形會多大？是不是原圖形的4倍大？
B：那當然。
S：4倍大和2倍大一樣大嗎？
B：當然不一樣。
S：所以邊長如果是原來的2倍，得到的新面積不是原面積的2倍而是4倍囉？
B：沒錯。
S：4乘以4得到16，對嗎？
B：是的。
S：那麼面積是8平方英尺的圖形又是多大？現在畫的這個面積是16平方英尺，對嗎？
B：對。
S：以新圖形邊長的一半做出的正方形面積則是4平方英尺，對嗎？
B：對。
S：所以我們要的圖形邊長會比原圖形ABCD的邊長大，但比新圖形AJKL的邊長小，對嗎？
B：我想應該是吧。
">：是的。S：那麼面積是8平方英尺的圖形又是多大？現在畫的這個面積是16平方英尺，對嗎？
B：對。
S：以新圖形邊長的一半做出的正方形面積則是4平方英尺，對嗎？
B：對。
S：所以我們要的圖形邊長會比原圖形ABCD的邊長大，但比新圖形AJKL的邊長小，對嗎？
B：我想應該是吧。
S：很好，你怎麼想，就怎麼說。原來邊長是2英尺，新邊長是4英尺，是不是？
B：是的。
S：所以面積8平方英尺的正方形邊長必定介於2和4英尺之間？
B：想必是的。
S：試著說說看你覺得應該多長。
B：3英尺長。
S：假如是這樣，我們加上BJ中點O，那AO就是3英尺？AB是2英尺，BO是1英尺。在另一邊我們如法炮製，也可以得到3英尺長。那麼AOPQ就是你要的正方形。
B：沒錯。
S：如果長是3英尺寬是3英尺，面積是不是3乘以3呢？
B：看來似乎如此。
S：那麼面積是多少？
B：9平方英尺。
S：然而我們要的原面積的兩倍卻是多少？
B：8平方英尺。
S：但是從3英尺見方的圖形有得到8平方英尺的圖形嗎？
B：沒有。
S：那麼邊長究竟是多少？準確的說出來。如果你不想算出大小，就在圖上畫出來。
B：沒用的，蘇格拉底，我真的不知道。