康熙皇帝與符號代數 

台師大數學系 洪萬生教授

       歐基里得(Euclid)曾說:「學習幾何學沒有王者之路!」。事實上,學習代數學亦然,譬如說吧,在中國數學史上鼎鼎大名的康熙皇帝,就在符號代數的學習過程中,表現了類似今日國中學生茫然不知所措的模樣,這個歷史經驗,實在很值得教學工作者參考與借鏡。 
         這裡所指的符號代數,當然是清初傳教士傳入中國的西方數學知識。當時有兩種西方代數傳入中國,第一種被稱作『借根方比例法』,第二種則叫作『阿爾熱巴拉新法』。所謂『阿爾熱巴拉』,無疑是英文"algebra"的音譯,也曾被稱作『阿爾熱巴達』或『阿爾朱巴爾』(當是法文"algebre"的音譯)。其實,這幾個名稱也都曾指涉第一種,譬如在公元1711年,康熙皇帝與直隸巡撫趙宏燮討論數學時,就指出: 

算法之理,皆出於【易經】,即西洋算法亦善,原係中國算法,彼稱為『阿爾朱巴爾』者,傳自東方之謂也。

隔年梅觳成入宮肄業於暢春園的蒙養齋,負責主編【數理精蘊】等書,康熙皇帝授以傳教士傳入的代數學,並且諭示: 

西洋人名此書為阿爾熱巴達,譯言東來法也。

按此書可能是某傳教士所譯的【借根方算法節要】。至於在該書中不沿襲原名而改稱為『借根方法』,「乃譯書者就其法而質言之也。」換句話說,『借根方(比例)法』是一種『意譯』!後來奉康熙皇帝指示,梅觳成遂將它編入【數理精蘊】(1723)卷三十二 -- 三十六。 

        然則何以"algebra"是一種『東來法』呢?這就必須追溯這個英文字的語源了。原來"algebra"相當於拉丁文的"al-jabr",出自阿拉伯數學家阿爾花拉子模(Al-Khwarizmi, 第九世紀)的一本代數著作的書名 (Hisab al-jabr w'al muqabala),原指『還原』(restoration)之意,例如將 2x+5 = 5-3x 『還原』成 5x+5 = 5。這種代數不但未涉及符號法則(symbolism),當然也不曾引進文字係數;同時,方程式(equation,原意是令相等之後所得到的式子)兩端也像天平平衡一樣而不等於零,譬如二次方程就表示成像x^2+6x=4等等;此外,求解程序也都以文字敘述。後來再由義大利數學家卡丹(G. Cardano, 1501-1576)全盤接收,因此,對西歐人而言才有『東來法』之說。至於『符號代數』(symbolic algebra),則是第二種,亦即『阿爾熱巴拉新法』的主旨,源自法國數學家維達(F. Vieta, 1540-1603)著作【解析方法入門】(Introduction to Analytic Art,1591-95)的發明。它的特徵除了代數方程的係數以文字符號表示、符號可以一如數目演算之外,方程式任何一端可以置零,譬如ax^2+bx+c=0 ;還有,維達也特別強調代數是研究像二次方程這種『形式』(species or forms of things)的學問,而算術則完全訴諸數目(species of numbers)。 

         有趣的是,當時中國人為了安心學習西算,遂將『東來』解釋成來自中國,於是,梅觳成就以【測圓海鏡】(元李冶撰)與【數理精蘊】中例子,來比較『天元術』與『借根方法』,證明它們『名異而實同』。可惜,中土「不知何故遂失其傳,猶幸遠人慕化,復得故物」,『東來之名』正好表示西人不忘本,如此說來,中國人怎麼可以不好好地學習西算呢。這是梅觳成為盛行於明末清初『西學中原說』所下的最佳注腳。 

         如此說來,康熙皇帝不可能對一樣是代數學的『阿爾熱巴拉新法』沒有興趣。問題是:何以由康熙皇帝主編的【數理精蘊】隻字不提『新法』?最主要的原因之一是:康熙皇帝無法了解符號演算的意義。這當然也可能涉及引進者的數學素養及其數學傳統。事實上,【阿爾熱巴拉新法】是法國傳教士傅聖澤(Jean Francios Foucquet, 1665-1741)為了教導康熙皇帝學習『新代數』而寫的。一七一一年之後,傅聖澤應召入宮伴讀西方天算。有一天,康熙想知道傅聖澤對代數的看法,於是,傅聖澤遂趁機介紹『新代數』,並強調它比『舊』代數更簡單而且更具有一般性。其實,在【阿爾熱巴拉新法】卷一第一節中,傅聖澤即強調了『新法與舊法之所以異』: 

或問:阿爾熱巴拉舊法,乃最深遠之法也,何為又有新法,意必舊法猶有未善者與? 答曰:舊法未嘗不善,但於通融之處,有所不及也,故又有新法濟之。

既然如此,那麼二法何以區別呢?傅聖澤指出:「所以異者,因舊法所用之記號,乃數目字樣,新法所用之記號,乃可以通融之記號。」所謂『通融記號』,即是指代數符號,「在中華可以用天干地支二十二字以代之」。為了說明它的便利與巧妙,傅聖澤「試以一式明之。假如有一題,凡兩個數目字之平方,必包涵四件,乃每字之平方,與兩字相乘之兩長方,今將十二之兩數目字以發明其理。」請參閱我們從該書所複製下來的插圖及說明,即可發現傅聖澤試圖利用幾何意義從(10+2)(10+2)=100+2(10)(2)+4來『類推』(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,此二項式被翻譯成(甲+乙)(甲+乙)= 甲甲+二甲乙+乙乙(請注意該書『加號』與『等號』與現行不同)。從教學觀點來看,傅聖澤的解釋可以說是盡心盡力了,不過,對西算造詣頗深的康熙皇帝還是作出如下的反應: 

諭王道化:朕自起身起身以來,每日同阿哥等察【阿而熱巴拉新法】,最難明白,他說比舊法易,看來比舊法愈難,錯處易甚多,騖突處也不少 ...... 還有言者:甲乘甲、乙乘乙,總無數目,即乘出來亦不知多少,看起來想是此人算法平平耳。(參考【掌故叢編】二輯【清聖組諭旨二】)

    在西方數學史上,符號代數在十六世紀末被發明之後,大約花了將近一世紀的時間才逐漸被數學家廣泛接受。究其原因,這些西方數學家應該跟康熙皇帝一樣,無法了解符號演算的意義。由此一歷史教訓,我們或可推論:符號代數的學習需要比較成熟的數學心智,因為即使天縱英明如康熙也表現得束手無策。所以,我們希望國中教師在講解一元一次方程的解法時,千萬多一點耐心與包容,因為從數目演算到符號演算這個『認知跳躍』,對貴賤賢愚顯然一視同仁,都是必須努力才能跨越的門檻! 

參考文獻
洪萬生,『清初西方代數之輸入』,收入洪萬生著【孔子與數學】,台北明文書局,1991。 
洪萬生,『【代數學】:中國近代第一本西方代數學譯本(上)』,【科學月刊】第二十四卷第十二
        期(1993年12月),頁938-945。 
洪萬生,『【代數學】』:中國近代第一本西方代數學譯本(下),【科學月刊】  第二十五卷第一期
        (1994年1月),頁59-65。 
洪萬生,『數學史與代數學習』,【科學月刊】第二十七卷第七期(1996年7月), 頁560-567。