台師大數學系博士班研究生 成功高中 蘇意雯老師
希臘是哲學影響數學發展最顯著之年代，其中柏拉圖、亞里斯多德師徒尤其扮演極重要的角色。本文將介紹哲學家的數學哲學。
一.柏拉圖的數學哲學
柏拉圖(427~347B.C)並不是數學家，但他相當熱衷數學，因為他認為數學對哲學非常重要，對於宇宙之探討也有很大的助益。這種見解鼓舞了數學家們的研究工作，值得一提的是，幾乎所有第四世紀重要的數學成就，都是柏拉圖的朋友或學生的傑作，柏拉圖本身對於這些作品的潤飾曾下了許多功夫。柏拉圖的五種多面體：四面體、六面體、八面體、十二面體、二十面體也於後來歐幾里得的『幾何原本』第十三冊中出現。柏拉圖想在所有變化無常的事物中找出永恆與不變之物，所以他把世界分為理型世界和物質世界。在後者各種關係都不斷地在變動，所以不能呈現出最後的真理。但在理型世界中，各種關係都是永恆不變的，是絕對的真理，這才是哲學家真正關心的事。而數學觀念正是哲學觀念的基礎，是認識理型世界的必備條件。
第一位在雅典誕生的偉大哲學家蘇格拉底（470~399B.C）從未留下任何文字，主要是靠學生柏拉圖的幾本『對話錄』讓世人得以得知蘇格拉底的哲學思想和生平。柏拉圖在『共和國』一書中，描述了蘇格拉底對Glaucon的談話，藉由這份對談我們可更清楚的了解柏拉圖學派的數學見解。
『肉體的訓練是有關於多變的世界及身體，通識教育則是著重道德的陶冶。但有一種知識是我們不可或缺的。我們所追求的這種知識有兩種用途，一種是軍事上的，另一種是哲學上的。因為打仗的人必須研究數目，否則便無法整頓隊伍。哲學家們亦然，他們需要在浩瀚多變的知識領域中尋出真理並緊握它們，所以他必須同時是一個算術家。......我們必須盡力勸勉城邦未來的領袖學習算術，不僅僅是業餘學習，要不停的學習，直到能用心靈來體會數目的存在為止。......領袖們必須為軍事用途和自己的靈性研讀數學，也因為這是使他們能辨別真理和存在的捷徑。』
簡而言之，柏拉圖對數學發展的主要貢獻可歸結為下述三點：
1.他釐清了數學是針對概念而不是處理在紙上畫的線或寫的數字。
2.他鼓舞了很多人「為數學而數學」。
3.他要求以數學的研讀作為成為一名哲學家的預備條件。
由於柏拉圖學派對數學如此推崇，他們贊成數學真理不依賴於人的思維而是客觀存在的，也就是說，數學真理是被發現的。這個論點是其學派的重要主張。
二.亞里斯多德的數學哲學
亞里斯多德（384~322B.C）是希臘最後一位大哲學家。他的父親是一位醫生，在亞里斯多德十七歲時將他送往柏拉圖學院，亞里斯多德在那兒度過二十年的時間。西元前342年，亞里斯多德回到Macedonia擔任亞歷山大大帝的家庭教師達兩三年之久。
數學，形上學，以及物理學是亞里斯多德的三種理論科學。亞里斯多德擅於利用數學描述科學方法，他不是一個專業的數學家，但亞里斯多德擁有當時的基本數學知識。雖然亞里斯多德深知尤多薩斯在比例論上的重要貢獻，也熟習窮舉法（此法可對面積和體積的計算作精密的處理），但這並不表示亞里斯多德關注到較高等的數學。在「形上學」的第一章中，亞里斯多德提及『凡人都有生而求知的慾望』，『我們必須視物理及數學科學為智慧的一部份』。亞里斯多德認為當我們考慮數學物件時，雖然事實上無法從物質抽離，但我們卻可想像其已分開。
雖然亞里斯多德曾師事柏拉圖達二十年之久，但兩人對數學的看法並不一致。柏拉圖認為有一個獨立且永久存在的理型世界，是宇宙真面目的顯現，數學概念是屬於這個世界的一部份。但亞里斯多德對眼前存在的事物較為關注，柏拉圖認為在物質世界中看到的一切事物純粹只是更高層次的理型世界中那些事物的影子，亞里斯多德則認為人類靈魂中存在的事物純粹只是自然事物的影子，自然就是真實的世界。他認為數目和幾何形狀也是物體的屬性，雖然人們經由抽象化才能了解，但它們仍屬於物體，所以數學研究的對象是從物理實體上面所引出來的抽象觀念。如前所述，依照柏拉圖的說法，在物質世界和理型世界中，數學是屬於理型的世界中；那麼亞里斯多德則是認為，數學仍然必須附著在物質裡面，數學知識是物質世界通往理型世界的橋樑，在理型與物質之間居於中介的地位。
三.保障數學知識之客觀性
柏拉圖關心永恆不變的事物與流動事物之間的關係，在他的「理念世界」中包含了存在於自然界各種現象背後，永恆不變的模式。柏拉圖認為數學觀念是哲學的基礎，數學的狀態永遠不會改變，也是人可以真正瞭解的狀態，是認識「理念世界」的必備條件。在柏拉圖描述蘇格拉底與小男孩的對話錄中，蘇格拉底認為「人生而有數學知識」，因為相信靈魂不朽，所以「learning is recollection」。柏拉圖引用輪迴理論說，主張在我們的前一輩子，對於真理已經有了直接經驗，我們只需要重新喚醒這些經驗去瞭解數學真理。既然數學是永恆的存在，只是等待人們去喚醒，如此人們所獲得的數學知識應該都是客觀的。
至於亞里斯多德則對眼前存在的事物較為關切，他認為我們所有的每一種想意念都是透過我們看到、聽到的事物而進入我們的意識。但其最後獲致的也是對觀念的強調，這些觀念就是物質的屬性。我們看到的數學物件雖然沒有辦法與物質分離，但是我們可以獲得抽象性的觀念，這些觀念是從實體上萃取出來的，因此，數學知識的客觀性就得以保障。
參考文獻
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