HPM隨筆（二）： 數學史與數學的教與學 

台師大數學系 洪萬生教授

        誠如大家所熟悉，HPM作為國際數學教育委員會（ICMI）的一個研究群，它的組成動 機完全出自對於數學的教與學之強烈關懷，因此，它的主要目的在於將數學「教好」 或「學好」，而不是讓教師或學生去直接去教或學「數學史」，除非課堂中的「數學 史」活動，可以切實地提升數學教育的成效。當然，如果因此導致教師或學生對「數 學史」如醉如痴，那麼，她（他）們最終一定可以體會「數學史」乃是數學有機體不 可分割的一部份，從而為數學的教與學賦予更深刻的意義。 

        無論教師與學生如何對待「數學史」，要想在以專業技術知識（technical knowlledge）講授為主的數學教室中，為它尋找一個具有正當性的「位置」，則數學 史如何「融入」數學課程（包括教材）及其教學活動之中，顯然是HPM成立二十幾年 來所面臨的最重大課題了。 

        為此，ICMI特別支持贊助HPM編撰ICMI Study Book一書（預定明年出版），以便推 動整合HPM的相關學術與教育資源，深化HPM在國際數學教育界中的意義與重要性。 （請參考拙文『HPM馬賽行』，見本刊第一卷第二期）現在，謹就我所參與的兩個相 關的小組WGA2及WGB2之報告初稿，摘錄一些針對數學史「融入」數學教室的 know-how，願與國內數學教育專家及數學教師分享，尤盼大家集思廣益，提出具有本 土自主意識的批判觀點與意見。 

        上述WGA2的主題是『數學史融入數學教室之方式的解析性綜述』（Analytical Survey of Ways of Integrating History of Mathematics in the Classroom）， 初稿由以色列的Abraham Arcavi與希臘的Costas Tzanakis負責，將我們小組在馬賽 討論過的觀點與材料綜合成編，再分送小組成員審定。目前全篇大致底定，其論述基 礎是我們共同討論出來的一個架構，底下就針對它，做一些必要的說明。 

      首先，請特別注意此一架構的主體是最底層的「教室中的教與學」（Classroom Teaching / Learning），也就是它的其他支架或成分都是為這主體服務。至於(a)、 (b)項所分布的支架，可以說是數學史學範圍的工作（Primary and Secondary Source Materials），而(c)項這個支架，則是我們平常所熟悉的教學材料 （Didactic Source Materials），只不過它已經受到數學史的啟發而被「滲透」了 （Presentation inspired by History）。這兩個支架的實質內容以及它們的結合， 一起匯入底層，共同撐起「教與學」的主體。事實上，教與學的實施結果，也一定反 過來回餽(a)與(b)的數學史學支架以及(c)項教學材料支架。譬如，我們常常可以發 現孩童的學習特色或困擾，對數學史家的問題意識極具啟發性（請參考拙文「康熙皇 帝學符號代數」，載本刊第二卷第一期）。另一方面，教師的實務經驗，當然也一定 會敦促教師對教材選擇及教學方式進行反省，蓋「教學相長」故也。 

        現在，讓我們介紹數學史「融入」數學教室的一些 know-how，供有心採用的教師 參考：
1) 歷史「花絮」（snippets），譬如數學家的遺聞軼事、數學問題的起源以及古今 方法的簡單對比等等； 
2) 學生以歷史文獻為本的研究專案（project work），譬如下列專題『一次方程 式：歷史的回顧』、『任意角三等分』、『何謂代數學？』以及『歐幾里得 vs. 劉 徽』等等，都可以讓學生組成小組，寫出專案研究報告； 
3) 數學史的原始文獻（primary sources），譬如【幾何原本】與【九章算術】的研 讀與討論等等；
4) 練習題（worksheets），其設計通常圍繞著簡短的歷史選粹（historical extracts），伴隨著歷史背景的說明，再輔以了解數學知識內容的問題、所涉數學議 題的討論、今昔解法或處理的比較，以及這些選粹中的題解（solving problems）或 它們所引發的類似題解； 
5) 可立即供2-3堂課使用的「歷史套裝」（historical packages），譬如『古代數 碼與數系』，『古埃及算術』，『 與圓周長』，『巴比倫的二次方程解法』以及 『九章算術的分數計算』等等； 
6) 恰當地使用歷史上出現的謬誤（errors）、另類概念（alternative conceptions）、觀點的改變（change of perspective）、隱含假設的修訂 （revision of implicit assumptions）以及直觀論證（intuitive arguments）等 等； 
7) 歷史上的問題，譬如古希臘三大作圖題，Goldbach 猜測，不同文明所提供的畢氏 定理證明，以及引出解析數論的質數定理等等； 
8) 歷史上曾經出現的畫圖工具（mechanical instruments）； 
9) 回到過去的數學實驗活動，譬如使用古代的記號、方法及論證，來學習數學； 
10) 編劇本，譬如『柏拉圖 vs. 孔子』、『歐幾里得 vs. 劉徽』及『伽羅瓦的悲劇 一生』等等； 
11) 電影及其它視覺工具，譬如英國空中大學（Open University）所發行的數學史 教學影片等等； 
12) 戶外數學古蹟的教學活動； 
13) WWW網路的使用。 

        以上這些 know-how 的例證無法在此細說，不過，我們會陸續利用本刊做比較詳盡 的介紹。我們也希望發展更多的例證，來豐富或增添上述 know-how的內容。有志之 士，盍興乎來！