幾何原本第Ⅶ卷定義之解讀（上） 

何謂質數？教科書上說：大於1的整數，除了1和本身以外再沒有其他因數 
                    幾何原本說：只能被一個單元所量盡者 
                    同乎？異乎？ 

台師大數學系 謝佳叡助教

          歐幾里得《幾何原本》稱的上是世界名著，在各國流傳之廣，影響之大，大概 僅次於基督教的《聖經》。其偉大的歷史意義，在於它是以公理法建立起演繹體系的 最早典範，將零碎、片段的數學知識，如同磚瓦般的建構起一棟巍峨的大廈，演繹方 法扮演的是這棟大樓的鋼架，而歐幾里得就是建築師。建築師並無創造這些材料，但 將現有的材料建成大廈亦是不平凡的創造，公理的選擇、定義的給出、內容的編排豈 能沒有高度的智慧。當然，這些絕非個人的功勞，在歐幾里得之前已有許多數學家參 與此項工作，但歷史證明只有歐幾里得的《幾何原本》得以經起時間的考驗。 

        數學是一門累積的學科，它的過去將永遠融會於它的現在以至未來當中。一個已被證 明為真的定理，絕不會因為時代的演進或文化的遷移而變成偽的，這是數學的特性， 也使的學習它的發展史更富有意義及價值。倘若如此，兩個誠然有別的敘述卻意指同 一件事實時，這兩個敘述必須被要求是等價的。如果這麼樣的兩個敘述等價條件又是 如此地難以察覺，是否必須具備一些內在的知識或是認知？這將是本篇主要的論述內 容。然而，要將這一部偉大的著作有系統的作一個全面性的介紹，既非篇幅所容許， 更非筆者能力所及。在此只抽取其中之一小部份，獻上個人的一絲心得，望能拋磚引 玉，引起更深入的討論。 

        《幾何原本》共有13卷，其中第Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ三卷寫的是數論。古希臘人談『數論』不 用數，當真難言其妙處，更絕的是，定義了數卻整整三卷都不用數字。你或許會問， 『數論』出現在《幾何原本》內是不是有些不符其名？古希臘人重視幾何是個不爭的 事實，而幾何也是他們獲致嚴密性的不二法則，未透過演繹所得結果，雖真亦假。更 重要的是，幾何給人的強烈直觀印象難以取代，以此觀之，數論出現在《幾何原本》 裡是得以理解的。再者Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ三卷的確也都以幾何形式呈現，以線段表數，以面 積表數的乘積，說是幾何亦無不可。再要往前說，歐幾里得此書原名為elements 譯為《原本》似乎更為恰當，「幾何」二字乃明朝徐光啟（562~163）與利瑪竇 （1552~1610）合譯時所加，『幾何』在中文原指多少、若干之意，不啻指點、線、 面、體構成的圖形之學，故《原本》內包含數論亦無不妥。

         以『幾何』處理『數論』問題（如線段代表數、面積代表數的乘積）存在一個本質上 的差異。『幾何』基本上是處理連續量的問題，而數論處理的卻是離散量，這有什麼 差別？舉個例來說，『幾何』裡一個原長度為2的線段我們可將之分成四段（每段 1/2），每一小段當作1單位，則原線段就成了4單位長，合理;但2個繩結就是2個繩 結，分都分不得。那麼，以『線』代表『數』有何好處？筆者認為至少有底下兩點： 
（一） 讓數論得以接受幾何尊貴的洗禮（燙個金身），且搭上這一班專為幾何設計 的嚴謹列車更有品質保證之意味。 
（二） 線段可講求相對大小（如1：2的線段可代表1和2，也可以是2和4）在討論數 時可『一以貫之，一通百通』。這對數論記號（或代數符號）尚未成熟的當時，不正 是一把將數論推向演繹之門的利器。 除此之外，『幾何』在此三卷的作用是極為有限的，幾乎見不到幾何方式的討論，命 題和證明的敘述也幾是一般用語詞，所謂的圖示也令人覺得可有可無，幫助不大。 

        此三卷有關比例的問題幾乎都複製於第Ⅴ冊，但歐氏並未引用其結果，而不厭其 煩的重新證明，顯是有意將數（numbers）與量（magnitudes）做一個區分，也可能 歐氏認為數論可以建立在較簡單的基礎上，因此單獨加以討論。如此，之前的22個定 義就更顯得不可或缺了。 定義1一開始就道出何謂『單元（或稱么元）』： 

定義1.An unit is that by virtue of which each of the things that exist is called one. 

        『單元』就是所謂的『1』，每個存在的事物都是憑藉它而存在的，它是諸類種的起 源、共通部份和最小單位。希臘原文所使用的「 」指的是monad(單子)，畢氏學派將 之解釋為「limit quality(極限量)」或「limit of fewness(不能再少的少)」；亞 里斯多德則將之定義為「不可再分的數量（the indivisible in the quantity）」，可見此概念遍行於當時。這種不可再割單子觀念，區分了數的不連續 性，道盡了『數』『量』有別。歐氏在此用了事物（things）一詞，說明萬物起於 『1』，『1』又構成數，顯然有意呼應畢氏學派的『萬物皆數也』。那麼『1』是不 是數呢？我們先看定義2： 

定義2. 數是許多單元的合成。（A number is a multitude composed of units）

         『許多』，當然至少得2個以上，亞里斯多德對數的定義用的詞也是 「multitude」、「combination」、「of units」、「several ones」。『數』得由 多個基本單元構成，由此觀之，不但『1』這個事物憑藉存在的『單元』不能稱為 數，就連現在說的有理數都不列入數的範疇。畢氏學派認為：『單元』是數和部份 （parts）的界線。可見數、單元、部份在當時被區分的很清楚，這裡的『部份』類 似現在的因數，更像未滿『1』的分數，我們且看定義3、4： 

定義3. 當一個數能量盡一個較大的數，則稱此小數為大數的一部份（a part）。

定義4. 若不能量盡則為幾部份（parts）。 

        所謂一部份就是只若干分之一，幾部份就是若干分之幾，如1、2、3是6的一部 份，而4是6的幾部份。這兩個定義看似平常卻富有深意。定義4是依定義3而存在的 （在原文裡，定義4還是用小寫連接詞起頭，絕無僅有），為何不將之合併成一個定 義呢？第Ⅴ卷裡有個幾乎和定義3相同的定義:『當一個量能量盡一個較大的量，則稱 此小量為大量的一部份。』但第Ⅴ卷裡卻找不到像定義4的敘述，這說明了歐氏並不 將數看成普通的量。第Ⅴ卷中量討論的範圍包括可公度和不可公度，而數只需在更單 純的條件下討論。舉例來說：第Ⅴ卷可討論1和√2的比，第Ⅶ卷就不行；又√2和2√ 2在第Ⅴ卷可以是兩個存在的量，在第Ⅶ卷裡就只能視成1比2的數來討論了（如將√2 看成一個單元）。 定義5則是定義3的逆敘述： 

定義5.若大數能被小數量盡(measured)，則它為小數的倍數（multiple）。 

        『部份』、『倍數』都是描述兩數之間的關係詞，相仿的定義也出現在第Ⅴ卷。全書 並沒有『因數』的定義，但如果你想將『部分』視為『因數』，則必須弄清楚一些時 空背景，包含：當時的『倍數』、『一部份』、『幾部份』以及現在的『倍數』和 『因數』之間的隸屬關係以及逆關係、是否含『1』與本身，掌握這些差異對古今比 較必更能體會。 

        定義6，7是定義何謂『偶數』與『奇數』，定義法十分耐人尋味： 

定義6.偶數是能被分成兩個相等部份的數。 

定義7.奇數是不能被分成兩個相等部份的數，或者它和一個偶數相差一個單元。 

        在幾何裡，將一個線段分成兩相等部份何難之有？(且看第一卷命題10)。這個定 義硬是說明，當它代表數時，要能等分就必須是偶數。Nicomachus說的更貼切，一個 數在分的過程沒有單元被從中拆開者就是偶數。歐氏為何不用『2的倍數』或『可被2 量盡的數』定義呢？為何奇數的定義要有兩段敘述？根據這樣的定義最小的奇數是多 少？ 

        定義8，9，10介紹『偶倍偶數』、『偶倍奇數』、『奇倍奇數』，這不僅現今少 用，既使此三卷中亦不多見。《幾何原本》竟然出現重疊的定義也真令人稱奇，我們 將在下一次做更詳細的探討。定義11可就重要了，可說是古希臘『數論』精神之所 在： 

定義11.質數是只能為一個單元所量盡者(A prime number is that which is measured by an unit alone) 

        亞里斯多德說：不能被其他的『數』量盡者為質數，而『1』不是數（表示與歐氏的 定義並無矛盾）；也說質數乃數之源，所有的數皆可由質數生成。從這個角度來看質 數也有元素之意，故有些書本稱之為『素數』。Nicomachus認為所謂質數，除了被分 成與自身同名的份數外別無分法，如3只能分成3份，5只能分成5份，故3和5是質數， 是否暗示了自身可除自身的概念便不得而知了。但Nicomachus認為質數必須是奇數， 所以2不是質數，3才是最小的質數;畢氏學派也認為2不算質數，而是偶數之源。然而 根據《幾何原本》，2亦滿足質數之定義（Iamblichus）。亞里斯多德也認為2是唯一 的偶數質數。 

        至於『1』算不算質數？古今的答案倒是契合。現在的說法是：為了描述定理和公式 的「方便」，我們不把1當質數（教師手冊第一冊），例如破壞了算數基本定理的唯 一性;而在古希臘這可是有憑有據的：『1』連數都不是，遑論質數。 

        《幾何原本》與現在教科書對質數定義不同之處，除了『因數』一詞外，用自己 來量自己顯然是被認為是沒有意義的，那是全等所討論的範圍。 

定義12.：互質的數，是指那些只能為『一個公度單元』所量盡的數。 (Numbers prime to one another are those which are measured by number as a common measure.) 

        筆者認為這是一個值得欣賞的定義。不難看出這個定義用的方法是集合的概念，但講 的不只是『兩個數』之間的關係，這與一般直接定義兩數互質的方法並不相同，由此 定義來看是可以討論同時三個數以上的互質關係，例如第Ⅶ卷命題3就是找尋『三個 不互質』的數的最大公度數，因此「Numbers prime to one another」是否指的是兩 兩互質便可看出端倪。此外這個定義將數之間對相對關係說的很清楚，當一個數被確 定後，他的『單元』同時也被確定。在一個情況下『單元』是唯一的，如此互質才能 被討論，這也是以『幾何』代替『數』必需被要求的。質數與互質並沒有絕對的關 係，但保有的原則是相同的。現在喜歡把兩數的最大公因數為1視為互質，這其實與 當時的定義並未完全一樣，例如：1和7是否互質？再者6，10，15三數算不算互質？ （未完續待）