幾何原本第Ⅶ卷定義之解讀(上) 

何謂質數?教科書上說:大於1的整數,除了1和本身以外再沒有其他因數 
                    幾何原本說:只能被一個單元所量盡者 
                    同乎?異乎? 

台師大數學系 謝佳叡助教

          歐幾里得《幾何原本》稱的上是世界名著,在各國流傳之廣,影響之大,大概 僅次於基督教的《聖經》。其偉大的歷史意義,在於它是以公理法建立起演繹體系的 最早典範,將零碎、片段的數學知識,如同磚瓦般的建構起一棟巍峨的大廈,演繹方 法扮演的是這棟大樓的鋼架,而歐幾里得就是建築師。建築師並無創造這些材料,但 將現有的材料建成大廈亦是不平凡的創造,公理的選擇、定義的給出、內容的編排豈 能沒有高度的智慧。當然,這些絕非個人的功勞,在歐幾里得之前已有許多數學家參 與此項工作,但歷史證明只有歐幾里得的《幾何原本》得以經起時間的考驗。 

        數學是一門累積的學科,它的過去將永遠融會於它的現在以至未來當中。一個已被證 明為真的定理,絕不會因為時代的演進或文化的遷移而變成偽的,這是數學的特性, 也使的學習它的發展史更富有意義及價值。倘若如此,兩個誠然有別的敘述卻意指同 一件事實時,這兩個敘述必須被要求是等價的。如果這麼樣的兩個敘述等價條件又是 如此地難以察覺,是否必須具備一些內在的知識或是認知?這將是本篇主要的論述內 容。然而,要將這一部偉大的著作有系統的作一個全面性的介紹,既非篇幅所容許, 更非筆者能力所及。在此只抽取其中之一小部份,獻上個人的一絲心得,望能拋磚引 玉,引起更深入的討論。 

        《幾何原本》共有13卷,其中第Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ三卷寫的是數論。古希臘人談『數論』不 用數,當真難言其妙處,更絕的是,定義了數卻整整三卷都不用數字。你或許會問, 『數論』出現在《幾何原本》內是不是有些不符其名?古希臘人重視幾何是個不爭的 事實,而幾何也是他們獲致嚴密性的不二法則,未透過演繹所得結果,雖真亦假。更 重要的是,幾何給人的強烈直觀印象難以取代,以此觀之,數論出現在《幾何原本》 裡是得以理解的。再者Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ三卷的確也都以幾何形式呈現,以線段表數,以面 積表數的乘積,說是幾何亦無不可。再要往前說,歐幾里得此書原名為elements 譯為《原本》似乎更為恰當,「幾何」二字乃明朝徐光啟(562~163)與利瑪竇 (1552~1610)合譯時所加,『幾何』在中文原指多少、若干之意,不啻指點、線、 面、體構成的圖形之學,故《原本》內包含數論亦無不妥。

         以『幾何』處理『數論』問題(如線段代表數、面積代表數的乘積)存在一個本質上 的差異。『幾何』基本上是處理連續量的問題,而數論處理的卻是離散量,這有什麼 差別?舉個例來說,『幾何』裡一個原長度為2的線段我們可將之分成四段(每段 1/2),每一小段當作1單位,則原線段就成了4單位長,合理;但2個繩結就是2個繩 結,分都分不得。那麼,以『線』代表『數』有何好處?筆者認為至少有底下兩點: 
(一) 讓數論得以接受幾何尊貴的洗禮(燙個金身),且搭上這一班專為幾何設計 的嚴謹列車更有品質保證之意味。 
(二) 線段可講求相對大小(如1:2的線段可代表1和2,也可以是2和4)在討論數 時可『一以貫之,一通百通』。這對數論記號(或代數符號)尚未成熟的當時,不正 是一把將數論推向演繹之門的利器。 除此之外,『幾何』在此三卷的作用是極為有限的,幾乎見不到幾何方式的討論,命 題和證明的敘述也幾是一般用語詞,所謂的圖示也令人覺得可有可無,幫助不大。 

        此三卷有關比例的問題幾乎都複製於第Ⅴ冊,但歐氏並未引用其結果,而不厭其 煩的重新證明,顯是有意將數(numbers)與量(magnitudes)做一個區分,也可能 歐氏認為數論可以建立在較簡單的基礎上,因此單獨加以討論。如此,之前的22個定 義就更顯得不可或缺了。 定義1一開始就道出何謂『單元(或稱么元)』: 

定義1.An unit is that by virtue of which each of the things that exist is called one. 

        『單元』就是所謂的『1』,每個存在的事物都是憑藉它而存在的,它是諸類種的起 源、共通部份和最小單位。希臘原文所使用的「 」指的是monad(單子),畢氏學派將 之解釋為「limit quality(極限量)」或「limit of fewness(不能再少的少)」;亞 里斯多德則將之定義為「不可再分的數量(the indivisible in the quantity)」,可見此概念遍行於當時。這種不可再割單子觀念,區分了數的不連續 性,道盡了『數』『量』有別。歐氏在此用了事物(things)一詞,說明萬物起於 『1』,『1』又構成數,顯然有意呼應畢氏學派的『萬物皆數也』。那麼『1』是不 是數呢?我們先看定義2: 

定義2. 數是許多單元的合成。(A number is a multitude composed of units)

         『許多』,當然至少得2個以上,亞里斯多德對數的定義用的詞也是 「multitude」、「combination」、「of units」、「several ones」。『數』得由 多個基本單元構成,由此觀之,不但『1』這個事物憑藉存在的『單元』不能稱為 數,就連現在說的有理數都不列入數的範疇。畢氏學派認為:『單元』是數和部份 (parts)的界線。可見數、單元、部份在當時被區分的很清楚,這裡的『部份』類 似現在的因數,更像未滿『1』的分數,我們且看定義3、4: 

定義3. 當一個數能量盡一個較大的數,則稱此小數為大數的一部份(a part)。

定義4. 若不能量盡則為幾部份(parts)。 

        所謂一部份就是只若干分之一,幾部份就是若干分之幾,如1、2、3是6的一部 份,而4是6的幾部份。這兩個定義看似平常卻富有深意。定義4是依定義3而存在的 (在原文裡,定義4還是用小寫連接詞起頭,絕無僅有),為何不將之合併成一個定 義呢?第Ⅴ卷裡有個幾乎和定義3相同的定義:『當一個量能量盡一個較大的量,則稱 此小量為大量的一部份。』但第Ⅴ卷裡卻找不到像定義4的敘述,這說明了歐氏並不 將數看成普通的量。第Ⅴ卷中量討論的範圍包括可公度和不可公度,而數只需在更單 純的條件下討論。舉例來說:第Ⅴ卷可討論1和√2的比,第Ⅶ卷就不行;又√2和2√ 2在第Ⅴ卷可以是兩個存在的量,在第Ⅶ卷裡就只能視成1比2的數來討論了(如將√2 看成一個單元)。 定義5則是定義3的逆敘述: 

定義5.若大數能被小數量盡(measured),則它為小數的倍數(multiple)。 

        『部份』、『倍數』都是描述兩數之間的關係詞,相仿的定義也出現在第Ⅴ卷。全書 並沒有『因數』的定義,但如果你想將『部分』視為『因數』,則必須弄清楚一些時 空背景,包含:當時的『倍數』、『一部份』、『幾部份』以及現在的『倍數』和 『因數』之間的隸屬關係以及逆關係、是否含『1』與本身,掌握這些差異對古今比 較必更能體會。 

        定義6,7是定義何謂『偶數』與『奇數』,定義法十分耐人尋味: 

定義6.偶數是能被分成兩個相等部份的數。 

定義7.奇數是不能被分成兩個相等部份的數,或者它和一個偶數相差一個單元。 

        在幾何裡,將一個線段分成兩相等部份何難之有?(且看第一卷命題10)。這個定 義硬是說明,當它代表數時,要能等分就必須是偶數。Nicomachus說的更貼切,一個 數在分的過程沒有單元被從中拆開者就是偶數。歐氏為何不用『2的倍數』或『可被2 量盡的數』定義呢?為何奇數的定義要有兩段敘述?根據這樣的定義最小的奇數是多 少? 

        定義8,9,10介紹『偶倍偶數』、『偶倍奇數』、『奇倍奇數』,這不僅現今少 用,既使此三卷中亦不多見。《幾何原本》竟然出現重疊的定義也真令人稱奇,我們 將在下一次做更詳細的探討。定義11可就重要了,可說是古希臘『數論』精神之所 在: 

定義11.質數是只能為一個單元所量盡者(A prime number is that which is measured by an unit alone) 

        亞里斯多德說:不能被其他的『數』量盡者為質數,而『1』不是數(表示與歐氏的 定義並無矛盾);也說質數乃數之源,所有的數皆可由質數生成。從這個角度來看質 數也有元素之意,故有些書本稱之為『素數』。Nicomachus認為所謂質數,除了被分 成與自身同名的份數外別無分法,如3只能分成3份,5只能分成5份,故3和5是質數, 是否暗示了自身可除自身的概念便不得而知了。但Nicomachus認為質數必須是奇數, 所以2不是質數,3才是最小的質數;畢氏學派也認為2不算質數,而是偶數之源。然而 根據《幾何原本》,2亦滿足質數之定義(Iamblichus)。亞里斯多德也認為2是唯一 的偶數質數。 

        至於『1』算不算質數?古今的答案倒是契合。現在的說法是:為了描述定理和公式 的「方便」,我們不把1當質數(教師手冊第一冊),例如破壞了算數基本定理的唯 一性;而在古希臘這可是有憑有據的:『1』連數都不是,遑論質數。 

        《幾何原本》與現在教科書對質數定義不同之處,除了『因數』一詞外,用自己 來量自己顯然是被認為是沒有意義的,那是全等所討論的範圍。 

定義12.:互質的數,是指那些只能為『一個公度單元』所量盡的數。 (Numbers prime to one another are those which are measured by number as a common measure.) 

        筆者認為這是一個值得欣賞的定義。不難看出這個定義用的方法是集合的概念,但講 的不只是『兩個數』之間的關係,這與一般直接定義兩數互質的方法並不相同,由此 定義來看是可以討論同時三個數以上的互質關係,例如第Ⅶ卷命題3就是找尋『三個 不互質』的數的最大公度數,因此「Numbers prime to one another」是否指的是兩 兩互質便可看出端倪。此外這個定義將數之間對相對關係說的很清楚,當一個數被確 定後,他的『單元』同時也被確定。在一個情況下『單元』是唯一的,如此互質才能 被討論,這也是以『幾何』代替『數』必需被要求的。質數與互質並沒有絕對的關 係,但保有的原則是相同的。現在喜歡把兩數的最大公因數為1視為互質,這其實與 當時的定義並未完全一樣,例如:1和7是否互質?再者6,10,15三數算不算互質? (未完續待)