幾何原本第Ⅶ卷定義之解讀(下)

牧羊人對著數學家說:『既然你覺得數學無所不能,就用數學將這草原上的羊全關進眼前這小小的
                      柵欄裡。』
數學家悄悄的走進柵欄,趕走裡面僅有的羊後關上柵欄:『定義我站的地方為柵欄外,完畢!』

台灣師大數學系 謝佳叡助教

        常將這段對話說與友人,往往換來莞爾一笑,但更多的是對數學家幾近『無賴』的評語,顯然『定義』之用仍難以被其他人所體會。無可否認的,一個好的定義有助於釐清模糊的問題,甚而能為問題闢出一條明確的解決之道。舉個例子,倘若定義『雞』為『動物界-脊索動物門-鳥綱-雞形目-雉科之禽類』,而定義『雞蛋』為『雞所生的卵』,如此,『先有雞還是先有蛋』這個一直爭論不休的問題哪還需要爭辯?當然了,不同的定義導致討論結果的差異是必然的。例如改將『雞蛋』定義為『能孵出雞的受精卵』,則相同的問題會得到截然不同的推論。

        『雞』和『蛋』的存在並不會因為定義的差別而有任何的改變,因為它確有實物;但定義卻影響了判斷『雞』和『蛋』存在的先後關係等心智活動,數學正是心智活動的典型例子。從另一個角度來看,並不因為有天文學家的觀測,天體才因而運行;但如果沒有數學家的定義,任何地方都不會有正七邊形,甚至不會有質數。希臘哲學家亞里斯多德就認為『定義』告訴我們某物的意義,但並不保證其存在;蘇格拉底的對話錄也說出了數學本質上是研究不存在的東西,但數學能夠找出跟他們有關的所有真理。

        古希臘人將定義區分成真實的定義(real definitions)和名義上的定義(nominal definitions),由此看來,數學處理討論的應屬於後者。而哲學家萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)對數學所研究的定義並不十分放心,他提出:如果不能確定其是否存在而證明了與它相關的定理,其結果可能是愚蠢的。古希臘人顯然也注意到此一問題,在討論數學定義的存在與否,亞里斯多德和歐幾里得便以--是否能『作圖』--來確保它的存在,這也是希臘人把投在數學上的努力大都擺在幾何的原因之一了,因為可作圖才能讓他們的工作看來言之有物。另一方面,亞里斯多德強調,除了一些無法再被分解的原始名詞外,定義必須是用先前已經確定的術語來描述,也就是無定義名詞的需要性及定義的系統性,可惜,爾後的數學家忽略了這種需要,直至十九世紀末Hilbert(1862-1943)才又重新思考這個問題。

        《幾何原本》將數區分成質數和合數。上回我們作了些有關質數定義的探討,在數論上,質數的重要性固然是不可取代的,但相對於質數的『合數』(composite number)亦有其不容忽視的地位。且看定義13:

定義13.合數是能被某數所量盡者(A composite number is that which is measured by some number.)。

   仔細思考,合數就是定義8、9、10中的『偶倍偶數(偶數量得偶數)』、『偶倍奇數(偶數量得奇數)』、『奇倍奇數(奇數量得奇數)』。上次提到這三個定義出現的頻率少之又少,整本書中只出現在第Ⅸ卷32、33、34三個命題,甚至『奇倍奇數』一次都未出現,這種備而不用的定義應是為了系統的週沿性而生,因為在強調完整性的定義中,給這樣的定義一個位置是必須的(當然,沒有必要再定義『奇倍偶數』了)。僅管如此,這三個定義卻並非三分『合數』的天下,套句現代的術語,這三個定義的集合不是合數的一個『分割』,因為前兩個有著密不可分的糾纏關係,例如24既是偶倍偶數(6×4)也是偶倍奇數(8×3)。柏拉圖徒弟Iamblichus(一位經常評判歐氏者)就認為不應該在如此講求嚴謹的著作中出現這種模糊現象,而應將『偶倍偶數』定義為連續取半(直到單元)皆為偶數的數,簡單的說,就是單指二的冪次方數。但由第Ⅸ卷32、33、34三個命題可看出歐幾里得對他的定義是無疑且執著的。暫先跳離來談一談這三個定理吧!

Ⅸ.32 每一個由二開始連續倍增的數,僅是偶倍偶數。

Ⅸ.33 若一個數的一半是奇數,則它僅是偶倍奇數。

Ⅸ.34 若一個數既不是由二開始連續倍增的數,它的一半也不是奇數,那麼它既是偶倍偶數也
      是偶倍奇數。

 

        Ⅸ.32指的即是Iamblichus的『偶倍偶數』定義,而歐幾里得的定義範圍更為廣泛。這三個定理也提供了一個判別的技巧--『取半』,可惜,他並未進一步探究這種同時滿足兩個相異定義的數的特性。

        越仔細琢磨這三個定理越覺得有趣,Ⅸ.34的第一句是Ⅸ. 32的逆敘述,第二句是Ⅸ. 33的逆敘述,但它們的逆敘述結果並非將『僅是』改成『僅非』,而將『僅是』改為『不僅是』,用個易懂的例子:『只吃肉(only)』的反義是『只有不吃肉(only not)』,還是『不只吃肉(not only)』呢?

        你或許會問:『奇倍奇數』不是也沒滿足Ⅸ.32、33。細細推敲,其實歐幾里得很有技巧地避開了奇倍奇數,Ⅸ.34中那句『它的一半也不是奇數』已經暗示了他只討論『可以一半』的數。高招!

定義14.互為合數的數,是指那些能為『某公度數』所量盡的數。

        這個定義相對於定義12的互質,甚至只是一詞之差(an unit改成some number)。互為合數的重要議題在就是在找其最大公度數,這至今仍是重要課題。質數、合數、互質和互為合數幾乎是這三卷的組成架構因子,一些精彩的定理至今亦仍被使用著,如算術基本定理(Ⅸ.14)、輾轉相除法(Ⅶ.1),質數無窮多證明(Ⅸ.20)等,或許敘述方式及用語與現今不同,但精神卻一樣,甚至於可看出命題的敘述方式裡已提供了解題的策略。

        《幾何原本》在數的範疇中並無『不可公度的數』,因為不互為合數者必互質,這是『數』與『量』最大的差別,關於『不可公度量』的討論可複雜多了,那就是佔了最多篇幅的第Ⅹ卷的主要內容了。

        定義15是定義『乘(multiply)』:

定義15.所謂一個數乘一個數,就是被乘數自身相加幾次而得出的某數,而『數次』是另一數中單元的個數。

簡單的說,乘就是累加,這與現今並無不同,但必須注意一點,這裡兩個數的意義已經不同了。第一個數(即被乘數)就是定義2中由許多單元合成的數,是一個實的物。但第二個數是『數次』,是第二個數中單元組成的個數,這已脫離實的物而進入抽象的意義。『一個7』和『1數七次』不盡相同,就像『七隻羊』與羊的個數『7』是不同意義的(前者可吃,後者連看都看不到)。其實定義8、9、10中已隱含了這個意思,而在此更明確的描述出來。

        『一個實物』乘『一個實物』是沒有意義的,而『一數』乘『一數』依照定義15可以轉換成『一數』的累加而仍是一個數,所以是可存在的,也就是藉由定義15使得『乘』這個運算視為有效的,這是本定義最重要的意義了。

        接下來的定義16將告訴我們,兩數相乘後所得的數也不同於一般數的定義,而產生了第三個意義。

定義16.兩數相乘所得的數稱為面(plane),其兩邊(sides)就是相乘的兩數。

所以,如果仍將乘後的數視為定義2中的數,此定義就沒有意義了。這三個數的意義可如下表示:

數 × 數
(許多單位合成;邊)(單位組成次數;邊)

= 數(第一個數累加;面)

歐氏在《幾何原本》內討論圖形面積之間的關係,如同底等高之三角形、平行四邊形面積相同(第Ⅰ卷命題36-37);等高兩三角形面積比等於底的比(第Ⅵ卷命題1),但歐氏卻無給出單一三角形、平行四邊行或圓形的面積公式,原因可能在於當時並未能掌握『量』的乘積,但『數』的乘積顯然是可以處理的,所以定義中的『面』並不是指面積,而是面數(plane number),甚至於也將數稱為邊,這種數與幾何間若即若離的微妙關係,使得在閱讀上必須更加留意。在命題裡,面數並未單獨出現,被討論的是面數之間的比(如Ⅷ.5),這種作法倒像是歐氏處理面積時慣用的手法,而數的乘積也不被單獨討論,但相乘後仍將得到數卻一再提起(可參閱Ⅶ.17-18)。

        柏拉圖將『面數』分成平方數(square number)及矩形數(oblong number)兩類,其中平方數就是定義18所述。而矩形數就是非平方數,歐幾里得的繼承者(如Nicomachus、Theon、Iamblichus)將矩形數討論得更細,分成n(n+1)及n(n+m)兩類,至於為何如此細分,有一說法是古希臘人喜歡研究擬形數(如多邊形數),而奇數的和(1+3+5+)可得到完全平方數,若是偶數的和(2+4+6+)就是得到n(n+1),如2=1×2,2+4=2×3,2+4+6=3×4,……。如此的特殊當然要自成一格。

        定義17是討論三數相乘,稱為體數(solid number),同樣指的不是立體,真正的立體出現在第XI卷定義1,也就是可被分成三數相乘的數。定義19定義完全立方數,而定義20、 21討論是比例式,前文說過乃複製自第Ⅴ卷,不在此贅述。只提出一點,在《幾何原本》裡最多只討論三數相乘,四個數以上相乘是不被討論的,因為找不到其幾何意義。

        定義22是完全數的定義:

定義22.完全數是等於自身所有部份和的數。(A perfect number is that which is equal to its own parts.

用現在語言來說,完全數就是等於其所有真因數和的數,如6、28、496、8128。自畢達哥拉斯學派始,完全數就一直受到注目,被賦上的象徵意義遠超過所代表的數量值。同樣是數,它就是不凡,在滿天繁星中永遠閃亮著最耀眼的光芒,人們為它的美所吸引,為它的精妙而發出讚賞,所以在這一系列中儘管它是多麼與眾不同,也一定為它留一個位置。

        即使追溯到畢氏學派,關於完全數的定理至今仍值得記載的只有第Ⅸ卷的最末一個,也是唯一的一個。這個定理簡單敘述如下:

若1+2+4+8++2n-1是質數,則(1+2+4+8++2n-1)×2n-1是一個完全數。

例如1+2+4是質數,則(1+2+4)×4=28是一個完全數。亦可更簡單表達為:若2n-1是質數,則
2n-1(2n-1)亦是質數。一般相信這是歐幾里得所提出的形式,兩千年後,Euler (1757)證明了每一個偶的完全數都具備如此形式。其中6這個完全數不但其『部份的和』等於本身,『部份的乘積』也等於本身,這麼樣的一個神奇的數豈能等閒視之,才有上帝用了六天創造世界的說法(詳細內容可參閱本刊第一卷第二期『數學小故事:上帝與月球-6 vs 28完全數』)。

        至今,在數論中仍留下了許多關於完全數未解的問題:偶完全數是否有無限多個?是否存在奇完全數?是否存在微盈的數(即真因數和比本身大1)?

        知識的累積是進步的要素之一,用於數學一科更是得體。歐幾里得所繼承的希臘『數論』,儘管有很多概念已經不合時宜,但數論之光芒可垂之永遠,則是不爭的事實。或許,我們不會用兩千年前的天體模型來解釋現今行星的運行,也不會用兩千年前的樂器來演奏現代流行音樂,但是質數無窮多的事實永遠不會改變,畢氏定理也永遠不會消失,永遠。

參考書目:

  1. Euclid, Elementa, Heath, Thomas Little, ed. and tr., The thirteen books of Euclid's Elements
  2. 歐幾里得『幾何原本』 , 藍紀正, 朱恩寬譯 , 九章出版社, 1992[民81]
  3. 數學史-數學思想的發展, Morris Kline著,林炎全、洪萬生等譯
  4. 數學對話錄, A. Renyi著 ; 戴永久譯,凡異出版社, 民75.