以下介紹了古代埃及和印度各兩種數的乘法，僅管第二種乘法優於第一種，但並未完全取代之，而是視情況採取不同的方法，這與我們今天有一些所謂〝速算法〞的情形相同。筆者深深認為，一種新算法的提出，代表該民族在數的性質的探索上，開啟了嶄新的一頁，而新的方法無論是在生活、政治甚至文化上都有深遠的影響。相對地，每當一個人學會了一種新算法，代表拓展了自己對數的視野，對數的感覺也會有更進一步的提升，而這也是台灣莘莘學子十分欠缺的。
埃及
例一：12´ 12=144
此法便是古埃及人最常用的方法，本質上是利用加倍與加法這兩種運算來做乘法，操作者只要明瞭符號所代表的意義及逢十進一的規則，就能輕鬆的算出答案。除了採取加倍外，埃及人有時候也會採取乘10倍，這只是將符號改為大一級的符號即可，例如：
甚至再將符號數減半即可得到乘5倍！
例二：83´ 154=12782
埃及人的方法 |
現在的解釋 |
|
83
154 /
41
308 /
20
616
10 1232 5 2464 /2 4928 1 9856 / |
83´
154 =(41´ 2+1)´ 154 =41´ 308+154 =(20´ 2+1)´ 308+154 =20´ 616+308+154 =10´ 1232+308+154 =5´ 2464+308+154 =(2´ 2+1)´ 2464+308+154 =2´ 4928+2464+308+154 =9856+2464+308+154 =12782 |
| 83´ 154 =154+308+2464+9856 =12782 |
例二便是另一種埃及人做乘法的方式：右邊加倍，左邊減半(若有餘數則捨去不計)，若左邊的數是奇數，則將其右邊的數相加。
一般常用代數的分配律來看待此法，筆者卻認為這樣將失其原味！嚴格來說，當時的埃及人只會做加法，其乘法可說是另一種加法，所以用乘法對加法的分配律來解釋並不恰當。在考量埃及人的記數法後，筆者認為應採取下面的解釋較為適當：
埃及人的方法 |
解釋 (為方便起見採實物解釋) |
| 83 154 / | 有83堆穀物，每堆有154單位 |
| 41 308 / | 每兩堆併成一堆，則有308單位的41堆，154單位的1堆(以後合併排除此堆) |
| 20 616 | 每兩堆併成一堆，則有616單位的20堆，308單位的1堆(以後合併排除此堆) |
| 10 1232 | 每兩堆併成一堆，則有1232單位的20堆 |
| 5 2464 / | 每兩堆併成一堆，則有2464單位的5堆 |
| 2 4928 | 每兩堆併成一堆，則有4928單位的2堆，2464單位的1堆(以後合併排除此堆) |
| 1 9856 / | 每兩堆併成一堆，則有9856單位的1堆 |
| 83´ 154 =154+308+2464+9856 =12782 |
最終有154、308、2464、9856單位各一堆，故共以穀物154+308+2464+9856=12782單位 |
埃及乘法在教學上的應用
筆者曾在教乘法對加法分配律時(國一)引入上述兩種古埃及人的乘法，並以糖果取代穀物來解釋例二，結果學生反應相當熱烈，不但十分佩服古埃及人的智慧，也不再覺得分配律只是一種詰屈聱牙的口訣。
印度
例一：88´ 96=8448
印度人的方法 |
現在的解釋 |
||
數字 |
虧數 |
數字 |
虧數 |
88 96 |
12 4 |
X-a X-b |
a b |
84 |
48 |
X-a-b |
ab |
因此得 88´ 96=8448 |
(X-a)(X-b)=X2-aX-bX+ab =X(X-a-b)+ab 88´ 96=(100-12)(100-4) =100(100-12-4)+4´ 12 =8400+48 =8448 |
||
例二：1038´ 1006=1044228
印度人的方法 |
現在的解釋 |
||
數字 |
盈數 |
數字 |
盈數 |
1038 1006 |
38 6 |
X+a X+b |
a b |
1044 |
228 |
X+a+b |
ab |
因此得 1038´ 1006=1044228 |
(X+a)(X+b)=X(X+a+b)+ab 1038´ 1006 =(1000+38)(1000+6) =1000(1000+38+6)+38´ 6 =1044000+228 =1044228 |
||
例三：
128´ 89=11392印度人的方法 |
現在的解釋 |
||
數字 |
盈數；虧數 |
數字 |
盈數；虧數 |
128 89 |
28 11 |
X+a X-b |
a b |
117 |
308 |
X+a-b |
ab |
117-4 |
400-308 |
X+a-b-N |
N´ X-ab |
113 |
92 |
||
因此得 128´ 89=11392 |
(X+a)(X-b)=X(X+a-b)-ab 128´ 89=(100+28)(100-11) =100(100+28-11)-28´ 11 =11700-308 =11392 |
||
讀者會發現，一旦相乘的兩數並不靠近10n（例如47´ 43），或者位數不同(例如147´ 43)時，利用此種算法便不會比較簡便，所以印度人有另一種算法。
例四：136´ 53=7208
此法可以說是我們現今所用直式乘法的前身了！
印度乘法在教學上的應用
在乘法公式的單元裡，我們往往會〝利誘〞學生，說乘法公式可以幫助我們快速地做乘法，不過學生（甚至我們本身）往往都會覺得，乘法公式似乎只對這一單元的題目（特別設計過的）才有用，至於在其他單元或是在日常生活中，就可遇不可求了。筆者相信，若能適當地引入第一種方法，對學生的〝利誘〞效果將更為顯著，再輔以一些印度數學史的簡介，或是一些印度數學史的趣味小故事，如此學生便不再覺得乘法公式只是一個冷冰冰的代數式，而會更多了一種文化上的視野，由此必能激起學生對乘法公式的興趣，進而獲得更好的學習效果。
埃及與印度乘法的比較
以現今的眼光來看，當然會覺得古印度的乘法優於古埃及的乘法，不過由於兩者的年代與發展背景並不相同，所以孰優孰劣的比較並不公平，也沒有什麼積極的意義。不過我們可以看出，印度乘法最主要的優勢來自於印度的記數制度已經發展到了位值制，這可以說是人類文明的一大進步，印度阿拉伯數碼及位值制在傳入歐洲後，無論在數學發展上或是社會、文化、政經等各方面都產生了巨大的質變，至今我們仍深受其影響。
結語
數學史在課堂上的使用除了講故事外，介紹一些古代的方法或想法也是不錯的一種方式，縱使那些方法(相較於現今數學而言)是較不進步的，甚至是荒誕的，但只要能適當地引入、安排，激起學生的思考，培養學生的文化視野、關懷，對於學習都有正面積極的裨益。
筆者原本還打算與讀者分享中國古代如何用算籌做乘法，不過限於篇幅，無法完成此計劃，這部分相當值得一窺究竟，有興趣的讀者可以參看李儼、杜石然著的《中國古代數學簡史》，九章出版社，若能透過此刊物與大家分享，那就再好不過了！
參考資料
Joseph, G.: 1991, The Crest of The Peacock: Non-European Roots of Mathematics, England: Penguin Books.
Bunt, L. N. H. et al. : 1988, The Historical Roots of Elementary mathematics. New York: Dover Publications, Inc.