對數隨筆

竹北高中 洪誌陽老師

        三月下旬參加了學校的一場實習生的教學觀摩會，上課內容是對數的首數與尾數的應用。他的處理很“標準”，是利用課本的例子：估算2³⁰是幾位數及最前面一位數字是多少來做討論的。處理很簡單，只要將其取對數即可：

        不過大部分我們都沒有處理誤差的問題。譬如說，上列的估計值前三位都對嗎？似乎就沒有一定的把握(當然在這個例子中是正確的)。我們其實很容易找到例子是首位數字(甚至連位數都)會發生問題。例如：2¹⁰⁰⁰

的尾數竟然是0，當然不可能。這很明顯是因為我們使用的0.3010只是log2的四位近似。以我自己的經驗而言，學生對誤差的意義是不重視的，雖然我們很容易舉例子讓他們相信(註一)。我們在教學的過程中，若能在這裡舉些例子讓學生思考產生衝突，再讓他們自己解決，應該是一個機會讓他們體會在做估算時，誤差控制的重要性。

        這裡還有一個問題，其實學生不見得有興趣去估算2³⁰。我們要如何給予這個例子動機化？在這裡我倒覺得2⁶⁴比2³⁰好，因為至少我們在第一冊講過一些關於2⁶⁴的故事(雖然它比2³⁰難算)。利用折紙來舉例也很好：

假設一張報紙厚0.01公分，請問對折12次後多厚？(註二)

        從歷史來看，對數的出現是為了簡化計算的，甚至在這個世紀初，對數尺仍然是重要的計算工具。基礎數學的提法是定義對數之後，先講運算性質，再用函數的觀點切入討論，然後再講對數表。這種講法當然是數學家們心中的理想邏輯順序。不過邏輯上的為什麼常常不是心理上的為什麼。對一個學習者而言，一個真實或擬真實(註三) 的情境，常常對他們的啟發更大。例如我們可以先造一個簡單的對數表：

先利用它計算32×64，1/8×512等，再問3×25＝？，自然而然會提出3是2的幾次方 (a是b的幾次方) 的問題。這樣可以讓對數定義的提出變的很合理。

        對數的出現背景介紹，對學生學習也有正面的幫助。當時航海、商業、天文等方面的計算需求，導致了對數的出現，而它的想法是很樸素的(就是上面那張對數表)。甚至可以提及Napier處理的基本想法、缺點，及Briggs常用對數表的處理(註四)。第一張對數表花了Napier二十年，誰能不被震撼？這其實是一個很好的典範，學生可以從中學到，一套似乎繁瑣的理論，起源的想法是那麼簡單；而且一個想法的完成，是要堅持與毅力的。

        對數還有一個很重要的應用，可以用Kepler行星運動定律的發現來說明。以前學物理時，看到、聽到的都是說Kepler透過數據觀察而發現了第三行星運動定律。我一直覺得他很厲害，竟然能從那些數據中看出 。例如下表為太陽系九大行星的軌道半徑與週期一覽表(取地球的軌道半徑與週期均為1)：

想從表中看出是不容易的。不過對會使用對數座標軸的人而言就比較簡單了。

        我們可以較容易的觀察到大約2logT=3logR (註五)。你瞧，學了對數還蠻有用的，不是嗎？

以上所述，只是一些雜感和個人意見。我只是覺得，教學生會解類似下面的問題不是很有趣罷了。

設x,y為自然數，logx與logy之首數均為1，logx之尾數為logy尾數之3倍，求x,y=？

註三：我指的是真實的或虛構的(歷史)情境。