科 展 二 三 事

台北市景興國中   彭君智老師

        國三時頭一次聽到科展，三位同學被「派」去研究，後來一位保送武陵。高一時，和同學做水果電池（每班要出一件作品），結論是：誰來發明「四用電表」？教書之後，指導過兩次科展，很幸運的有點成績，在此拋磚引玉，把些許見聞和心得與大家分享：

【現況】：科展在各縣市早行之久遠，但在專事「傳道、授業、解惑」的學校，則如天高皇帝遠；而在某些學校則是「皇上不急，急死太監」，被列為資優班師生的重點項目。故每年一度的盛會，似乎成了「科展老兵」的聚會。

【指導】：一般說來，科展難，難在沒有題目、沒有課本、沒有人教，而最為人所詬病的便是：老師捉刀。其實「教與學，本相長」，指導教師絕對會變成「共同研究者」。學生查資料、整理、研究、下結論，但通常不完整（畢竟所知、見聞有限），指導老師便會技癢難耐地「下海」協助，從引導、拓展到歸納，甚至做到後來比學生還認真（知之、好之、樂之）。至於全由老師做好「教」給學生的情形，只能說是少了「教師組科展」，埋沒了有志之士。然而校內科展通常相反，老師真的只掛名、沒指導（鼓勵報名之後，便是修行看個人），學生甚至也沒請教過師長，以致有的研究產生偏差、選錯數據；有的想法很好，但走不下去。如今年本校很多組做商高定理，其中一組曾想過三次方的推廣，但不了了之，若能適時點出費瑪最後定理這段歷史，相信「驚喜」便是學生此次科展的最大收穫。

【評審】：第一年北市評完，學生笑不出來，因為教授只對隔壁的電腦有興趣；全國時，學生快哭出來，因為教授愛問不問的。今年可能是位置佳，教授有興趣，問了近二十分鐘，學生出來信心滿滿；全國時則完全相反，教授進門，劈頭就罵，只見有些學生被罵得一蹋糊塗，還來不及說重點，教授已走人；有的雖有招架之力，但也信心全無；只有幾組幸免於難，甚而請到辦公室複審。姑且不論教授對作品的關切程度與得獎是否成正比，但是以「不聞不問」，或是像「審論文」般的態度來對待中學生，似乎不甚恰當。不論是否會得獎，作品好的地方就該鼓勵，若有不完整或是錯的地方，點出來，讓學生了解、改善；萬一真有書籍、刊物與作品雷同，更是提出資訊供學生參考、比較的好時機，因為就數學歷史而言，這種「家常便飯」，鼓勵都嫌來不及（除非是存心抄襲）。而學生提出來的疑問，也應盡量深入淺出的給予回答（對象只是個中學生），而不是群、拓樸等專有名詞。至於罵，相信是最失敗的身教與言教。

數學上的家常便飯（不同的人、時、地、事、物，竟發展出相同的定理），只要懂得珍惜，都可以是山珍海味，舉個例：提到畢氏定理，相信不少老師會介紹些歷史：百牛定理、根號2跳海、勾股弦圖¼ 等，甚至費瑪也參一腳。以下這個畢氏的發現請大家玩味：如何從圖形數（註一）推論出弦、股數差1的直角三角形？例如（勾,股,弦）＝（3 , 4 , 5 )、( 5 , 12 , 13 )、( 7 , 24 , 25 ) 不少學生（通常不是考一百的）由觀察、類比，很快就推算出接下來會是( 9 , 40 , 41 )、( 11 , 60 , 61 )¼ （註二），奇怪的是，對圖形數卻都沒輒。每當下課前點出答案，學生才發現「被耍得漂亮」，不要說弦、股數差1，要找差n的也不是問題（註三）。

課堂上，大家習慣用「結果論」：告訴你三角形內角和等於一百八十度，然後才去用各種作圖、摺紙、剪貼等方式說明為什麼？補習班最強，直接印一疊比課本還厚的「攻略本」，如此能出幾個像巴斯卡的怪胎：重新發現三角形內角和定理？而身為數學教師的我們，對於數學，又曾有過多少像阿基米德發現浮力原理般的驚喜？其實，不論是對老師還是對學生而言，數學處處都可以是科展（不是每個都要拿去比賽），只要細細品嚐，哪天不小心，你我就可能踩著前人走過的足跡，再次享受發現的樂趣，甚而打開數學å 的另一片天。

註一：圖形數詳見數學家傳奇（九章出版社p.98~p.100）

註二：學生通常可觀察出下列結果，再經定理計算確認。

a：勾為連續奇數 (3,5,7,9,11¼ 等差數列)

b：股為二階等差數列 (4,12,24,40,60¼ )

c：勾的平方= 股+ 弦 (還有不少漂亮的結果)

p.s.還未曾碰過能由題意推算出公式的學生：

或 或

註三：畢氏學派的發現，其來有自：萬物皆為數（而且是有理數），故當發現驚為「神喻」的定理時，當然得和教義相輔相成，否則就得去跳海—發現無理數，而找出所有整數邊的直角三角形，就等於是找出所有有理數的直角三角形。圖形數在這裡扮演了重要的角色：

三角數（Ti=1,3,6,10,15¼ ）其實就是等差級數數列

四角數（Ri=1,4,9,16,25¼ ）碰到平方，故線索就在其中。它可以表示成兩個連續三角數的和：Rn = Tn + Tn-1，或是首n個正奇數的和：
Rn = 1 + 3 + 5 +¼ + ( 2n-1)，觀察 3*3= 1+2+3+2+1 =1+3+5

4*4= 1+2+3+4+3+2+1 =1+3+5+7 5*5=1+2+3+4+5+4+3+2+1=1+3+5+7+9

到底弦、股數差1的關鍵在哪?（可別想得太複雜，免得事後發現被耍）原來5*5 =1+3+5+7+9 = 4*4+9，所以從Rn到Rn+1所加的奇數2n+1，若恰為四角數時，即為所求，而且很快就能歸納出註二中一籮筐的現象。欲求弦、股數差n時，只要從Ri到Ri+n所加的(2i+1)+(2i+3)+¼ +(2n-1)恰為完全平方數時，便萬事OK，也能找出註二般一卡車的結果。從時代背景來看這樣有目的的發現，您說美不美？