音 樂 中 的 數 學

　　 台灣師大數學系助教 謝佳叡

        對於自己所從事或研究的科目，由於是興趣的所在，研究層次也較他人更深更廣，在與其他各領域之間的關聯上，往往為凸顯其地位價值而強調其重要性，這是自然而然的事。誰也無可否認，任何一門學科是難以長期單獨發展的，有各領域的相輔相成才能讓一門學科跨出自身的囿界，而有更成熟、更多樣的發展。古希臘人對數字的崇敬影響了他們對自然與哲學的理性態度；沒有了透視、射影方法，就難以產生歐洲文藝復興時期主要的繪畫風格；邏輯學經由數學的論證方法與符號系統跨出了關鍵的一步；物理學更是數學的好伙伴，藉由數學的幫助，天文學、地理學、力學、航海學、經濟學…等也更加多采多姿。相對的，這些學科也刺激了數學的發展，將數學的理論付諸實踐，讓數學不只是一門只能在腦中、紙上運作的抽象之學。

        音樂也不例外。音樂史的研究與振動學、聲學、冶金、製造等科學技術一直有著密不可分的關係，自古以來，音樂和數學更有著不解之緣。當然了，這不是說每個音樂家都是精通數學，或是每個數學家都彈得一手好鋼琴，而是這兩門學科的發展史上，有著相伴而行的階段，尤其在音律上。音樂理論的基礎包含了「律學」，而「律學」是「聲學」的一部份，它是以物理和數學理論發展而出的，因為對於各種不同的律制和各音階音高的精密性，必須進行數學的推算與研究方能確定，光靠感覺是難以達到需求和統一的。

        古希臘著名的畢達哥拉斯學派其信條是「萬物皆數也」。他們發現了兩件事實，觸發了用數學來整理音樂之念：（一）彈撥繃緊的弦所發出的聲音，其音高取決於弦的長度。（二）當彈撥長短不等的弦，其長度成「簡單」整數比時( 請注意，對他們來說任兩線長都會成整數比) 就會產生諧音。因此畢達哥拉斯學派把音樂聯結為數和數之的簡單關係。前一項是各音階產生的原理，這個簡單實驗可由吉他的琴格上看出來。例如彈撥吉他一弦和其半長的弦，音高恰好差八度；而一弦長所發出的音高如果為C（即Do），則其３／４長所發出的音為F（即Fa），其２／３長所發出的音為G（即So）。

        後一項是和聲學的基礎，當部份長度成簡單整數比的弦同時發出聲音時（此指的是同材料、同緊度的弦），就會產生諧音，我們稱做和弦（chord）。一條旋律線配上和弦之後使得音樂的構造更充實且富有變化，便產生了「和聲」(harmoious)的觀念，而「和弦」及「和聲學」可以說是西方音樂發展的命脈，音樂成了「萬物皆數」的最佳實例。另一方面，數學也解釋了部分音樂的現象。例如將兩個三度音程接在一起所產生的和弦稱做「三和弦」，若三和弦是一個大三度接一個小三度，就叫做『大三和弦』（如1-3-5）；相反的，小三度接大三度，就叫做『小三和弦』（如6-1-3），但如將這兩個和弦做一對比，則『大三和弦』聽起來更為和諧。那是因為『大三和弦』的比為4：5：6，較『小三和弦』的比10：12：15更接近『簡單』整數比。

        該學派也把行星運動聯結為數與數的關係。他們相信物體在空間運動時會發出聲音。物體運動的越快所發出的聲音也越高（管樂即是利用空氣運動，以發出不同音高的聲音）。根據他們的天文學，離地球越遠的行星運行越快，發出的聲音也越高，而且都配成了諧音，此即所謂的『天體音樂』，可以猜想在他們心中，行星的運行速度及距離的遠近也存在一個美妙的關係，宇宙天體的模型理論必然遵循數學的原則。故算術(純粹數)、幾何(固定數)、與音樂(應用數)、天文(運動數)聯結在一起，併稱為希臘的四學科。甚至到中世紀，這「四學科」仍被包括在學校課程中。

        克卜勒（Kepler,1571-1630）承接了這個理論，在他了著作 Harmonices Mundi (Harmonies of the World,1619)裡，企圖找出這些星球成和諧比例的關係，在試過了體積，質量、速度，週期及公轉半徑…後，最後終於得到答案。土星的遠日點和近日點比為4：5，是一個大三度；火星的為2：3，是完全五度。木星的遠日點與土星的近日點恰為1：2（八度），他甚至發現，若將這些行星關係給一個共同調性，由土星的遠日點開始算起恰為一個大調音階，近日點算起則為小調音階。克卜勒的這個發現與他不朽的三大定律息息相關。

                       I              II             III             IV             V              VI            VII            I

　　畢達哥拉斯這個希臘哲學家兼數學家用數學方法研究音階的定義法則，找出了音樂史上影響深遠的「五度相生律」；柏拉圖的老師阿基塔斯（Archytas，400-365 B.C.）在音程方面一些理論上的創見創造了「純律大三度」的音程；數學家伊拉托斯瑞那斯 ( Eratosthenes 276-195 B.C.）發現了「純律小三度」音程（順道一提，此人利用了一根竹竿及一口井算出了地球圓周，與近代測量的數目誤差僅100公里）；天文學兼數學家托勒密（Ptolemy ？－168）構造了一種純律的「四音列」。畢氏學派成員之一尼克馬庫斯（Nichomachus 大約紀元後100年）把各種比分類並加以命名，認為研究比例對自然科學和音樂非常重要，並且稱 a：(a＋b) ／2＝2ab／(a＋b) ：b　為「音樂比例」。（請不要將這個比例想得太複雜，仔細觀察內項便能發覺妙處，代入a=1,b=2就更能體會為此稱呼的精神。）

        尋找幾何平均數對音階的確定有著絕對的影響，阿基塔斯利用兩個數之間的兩個比例中項去解決『倍積』問題，相同的它被用在音階的找尋上，有機會我們將更深入的探討。而『音樂比例』在音樂理論中就是試圖確定八度音階，尋找１和２之間的幾何平均數，有人認為這是導致無理數發現的因素之一。

　　十八世紀起，歐洲進入了十二平均律時期，所謂十二平均律就是把一組八度音，按頻率等比分為12個『半音』，後一音頻率為前一音的12√2 =1.05946 倍（又是幾何平均數），由A = 440.00赫茲開始，例如上一個半音升A= 440 ×1.05946 = 466.1624赫茲，以此類推。它的優點之一就是易於轉調（你可以由任一音當Do開始音階），這除了用數學方法解釋外別無他法，因為每個音之間都前後公比都一樣，而十二平均律對音樂的影響，尤其是近代的鍵盤樂器，更是無法估量。

        之後，法國音樂理論家拉莫（P.Rameau 1683-1764）深受笛卡兒(R.Descartes）的影響以物理學作為和聲理論，完成了【和聲論】，奠定了近世和聲學基礎。振動弦（vibrating string）所引發的問題更帶來數學界無限的活力，如偏微分方程、富立葉級數、集合導論，不少１８世紀的數學家因而致力於常微分方程和偏微分方程等新興學科的研究。泰勒（B.Taylar 1685-1731）在確定振動弦的形狀問題時，首先引進二階常微分方程，導出了一根伸張的振動弦的基頻。丹尼爾．伯努利（D.Bernouli，1700-1782）和他父親約翰．伯努利（J.Bernouli，1667-1748）都曾為音樂理論做過工作。但在弦振動的諧音或高階模式方面丹尼爾超過了泰勒和他父親，對顫弦上較高泛音及和聲有更深一層的認識。尤拉（Euler 1707-1783）也做過這方面的研究，得到與丹尼爾很相似的結果。

        至於在中國這邊，古籍中記載律學理論，以【管子．地員篇】為最早，該書相傳為管仲所作。書中把五音的精密作了完全合乎科學的論斷，即從數學的角度提出了「三分損益」律。把一個振動體（如琴弦）在長度上三等分，捨其一形成三分之二，稱為「三分損一」；加其一形成三分之四，稱為「三分益一」，如此繼續相生而成各律。這種方法分別得到２：３與３：４的振動體，形成了純五度和純四度的音程，這與畢達哥拉斯所創的五度相生律完全相同。

                                            2      ：               3       ：                     4

                                          C ------------------ G ------------------------ C

                                          F ------------------ C -------------------------F

　　繼管仲後，【呂氏春秋．音律】把三分損益法由五律推廣到十二律，使音樂調式的範圍擴大，可在十二律上進行「旋宮轉調」，也可看出儘管在不同地區，這種純粹的知識是有其共通性的。而由各音為主音所構築出來的音階對旋律的外形與情緒有極大的影響 ( 因為比例有了調整)，將之分為宮、商、角、徵、羽五種調性，每一種調性都被賦予一種心情的代言。受陰陽五行之說的影響，五聲「宮、商、角、徵、羽」與「金、木、水、火、土」及方位被聯繫起來。十二律按陰陽分為陽六律和陰六律，和十二地支，星象十二宮、十二月分也相聯繫，產生了許多與命理有關的論點。

　　對於學生會問『學數學有什麼用？』這句話，老師常常感到困擾，總覺得無論怎麼回答總令人不滿意，也說服不了自己。西元約500年的斯托比亞斯（Stobaeus）記載了一個故事，一個學生在開始學『幾何原本』的第一個命題時，就問學了幾何後將得到什麼，歐幾里得對僕人說：『給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利』。我們永遠無法掌握哪些知識對我們未來是有幫助的，只有廣學，才能避免『用時方恨少！』的悔恨。而當學生想要在學習中獲得實利時，大部份的狀況是學生對學習該科已失去興趣了，這時費心地解釋或引再多古人的名言是不會有太多的效用的（一個對電腦遊戲有興趣的孩童，才不會計較玩電腦遊戲有無用處）。如果讓他們覺得數學和生活中有這麼多相關，甚至讓他們自己動手去找尋相關性，相信對教學或學習必有幫助，也希望能拋磚引玉，在不久的他日出現「¢ ¢ 中的數學」。

參考書目：

2. Morris Kline, 數學史---數學思想的發展 （上）（中），林炎全等譯，九章出版社。