師大數研所博士班 蘇意雯
前言
本篇文章是從《日本數學教育學會誌》第80卷第7號（1998年）的「教材研究專欄」裡節錄出來。作者大山 誠為群馬縣立桐生高等學校教師。他在平面幾何的授課中，除了圖形性質的解說，及定義、公準、公理、定理、練習題的講解外，並輔以桐生市內供獻的算額題原文（即漢文和圖），從中挑出題目講解其題意，誘導學生利用現代的算法解決，最後再加以檢討。本文是他的一個教學案例，以下即為筆者之摘譯。
早期日本的寺廟及神社兼有教化的功能，和算家常把算題放在寺廟裡，供有心人士演練。依據《賽祠神算》（1830年編）記載，關流（即關孝和學派）第五代傳人石田玄圭的門人大澤熊吉在天滿宮（今日桐生市天神町一丁目）提供了一則算題，同年的十月，最上流的大川榮信也在此地獻上算題。有趣的是，後者的題目與前者雷同，但其解則較前者改良。於是，展開了關流和最上流的論戰。
1.研究焦點
自1962年度最後一屆入學生後，在日本作為高中數學理論學習的主要教材─平面幾何也隨之消失。直到大約30年後，從1994年開始的新教育課程中，此部份才於數學A的選擇教材中再度登場。1996年作者為新教材首度實施的一年級學生授課。利用三個月的時間指導平面幾何。由於有時間的關係限制，整個授課是以認識圖形的基本性質、一些定理的證明、以及練習為中心。在授課的最後有關例題的應用上，作者提供了上述天滿宮的算題，讓學生以學校上課所教的平面幾何教材內的算法求解。
2.研究內容
圖（一）和圖（二）分別為關流和最上流兩派的原文，用現代的符號與術語就是如圖（三）所示，原題意可以改寫成：「大圓和一直角三角形相交如圖，內部三小圓為等圓。若已知大圓直徑為一尺，求等圓之直徑為何？」而後者只是把大圓之直徑寫成十寸，兩者為相同的問題。接下來我們利用圖（四）作出現代的解法。
大圓直徑=D=2R，等圓直徑=d=2x，如圖（四）所示，F 和G為弦之中點。OF=OG=R-2x，又由AE為圓O之直徑，ED=EC=2˙OF=2（R-2x）。
由題意，大圓直徑=2R=10（寸），所以等圓直徑=2x=2.7587…（寸）
因此兩派的答案，前者的「2寸7分5厘8毛8糸弱」和後者的「2寸7分有奇」都是正確的。
|
t |
0 |
… |
1/3 |
… |
|
… |
|
… |
|
f |
＋ |
＋ |
＋ |
＋ |
0 |
－ |
0 |
＋ |
|
f' |
－ |
↗ |
＋ |
↗ |
＋
極大 |
↘ |
－
極小 |
↗ |
從上表我們可得知，方程式（14）的實數解有一個在0<t<
，而有兩個存在於
<t。因此滿足方程式（11）的t只有一個。接著我們利用勘根定理找出t的近似值，f（0.27587）=-3.83
<0，
f（0.27588）=2.01
>0 。因此，我們可以得到t值為
t=0.27587…
∴x=Rt=R
0.27587…
3.以算題作為教材
因為在算題中，以漢文所表達圖形的問題很多，因此造成現代的數學老師敬而遠之。作者認為若能蒐集現存的算題，在授課中穿插與學生參考，相信對數學的學習會有所幫助。
後記
節錄本文之主要目的，是覺得他山之石，可以攻錯。今日民族數學（ethnomathematics）逐漸受到各國的重視。中國的古算書例如《九章算術》，也就是一本很好的數學補充教材。中國數學家劉鈍在其所著《大哉言數》中提到「要真正了解中國的傳統數學，首先必須撇開西方數學的先入之見，直接依據目前我們所能掌握的我國數學原始資料，設法分析與復原我國古時所用的思維方式與方法，才有可能認識它的真實面目。」這些話確實相當深入。
與古希臘人只接受演繹的邏輯推理不同，中國古代數學家不拘一格地採用各種形式的推理方法。中國古代數學是一種從實際問題出發，經過分析提高而概括出一般原理、原則和方法，以求最終解決一大類問題的體系。若我們說古希臘的數學家以發現幾何學定理為樂事的話，那麼中算家則以構造精緻的算法為己任。通過構造性的手段把實際問題化歸為一類計算模型，然後用一套機械化的算法求出具體的數值解來，此為中國古代數學最為醒目的一個標誌，因此前人把數學稱為「算學」。若教師於授課中也能補充我國古算家的一些解法，相信將能對學生有所裨益。
參考文獻：
大山 誠“桐生市天滿宮 算額題 ”，日本數學教育學會誌第80卷第7號（1998年）pp.20~23。
劉鈍《大哉言數》，遼寧：遼寧教育出版社，1997。
