『如果我們想要預見數學的將來，適當的途徑是研究這門科學的歷史和現狀』
Poincare（1854~1912）
一、
前言在數學課堂上，運用數學史教學可幫助教師充實教學內涵。因此在教學過程中，筆者總是想把數學史融入各個單元中以開拓學生的視野。在高中數學科教材中，基礎數學第四冊的內容可說與前三冊有很大的不同，例如，前面幾冊的內容為數，數列與級數，多項式，三角函數，向量，圓錐曲線等等。但是第四冊討論了機率與統計。筆者於任教的過程中也發現學生之成績常與前三冊相異。有些前面學習成果不理想的學生在本冊中卻可得到很大的躍進。根據個人之觀察，此種現象應是第四冊所需之先備知識較前幾冊來的少，另外，其探討之問題也與日常生活相關，較能吸引學生之興趣。
第四冊的內容共分為三章：依序為排列組合、機率及敘述統計。其中第二章的機率可說是承先啟後的一章，其所佔的地位相當重要。教材編輯小組希望能透過本章之學習，讓同學熟稔拉普拉斯的古典機率。雖然編者在本章起始介紹了費馬和巴斯卡對機率論的貢獻，但這是不夠的。既然基礎數學第四冊對原本數學低成就之學生可造成成績明顯之轉變，因此使得筆者想在這一章裡對機率論的歷史多所著墨，希望藉此能引發更多學生學習的興趣。
二、 文本
1.賈憲楊輝三角形：說明其出處及其應用。
2.巴斯卡三角形：說明其出處及其應用。
3.巴斯卡肖像：簡介巴斯卡生平。
4.機率論之歷史介紹。
5.卡丹諾介紹：卡丹諾給機率下了一個”可能事件的比值”這樣粗略的概念。在他一個標題為”在一顆骰子的投擲上”的這一章中，卡丹諾寫下了相當重要的一段話。他說：當投擲一顆公正骰子時，我能夠打賭出現1，3，5的次數會和出現2，4，6時一樣多。這是第一次，我們發現，對於一顆公正骰子，我們從經驗主義轉化成理論的概念。如果就這一觀點看，或許我們可以稱卡丹諾為現代機率論之父。
6.塔達利亞介紹：塔達利亞起初也對彩金分配問題給了一個答案，可是最後他下了一個結論：與其說這是個數學問題，毋寧稱它為司法問題；所以無論如何分配最後終不免起訴一途。”由以上這段話，我們不難想見塔達利亞的沮喪。
7.彩金問題：與同學共同研究。
8.
巴斯卡賭注之說明：巴斯卡所處的時代是新科學強烈的向舊信仰挑戰的歷史轉捩點上，所以他也如當時一些知識份子般被迫參與這場衝突戰並且尋求解決之道。本性熱心宗教又是著名的科學與數學貢獻者，巴斯卡的感受無疑的比一般人更為強烈。因為他洞悉科學與宗教，以致於他的內心變成了戰場。有一段話訴說了他的為難，是這樣寫的：『我看到困擾我的事。我到處觀察，除了誨暗不明外，我發現四下虛無。大自然中的萬物無不令人起疑和不安；如果找不到上帝的蹤跡，我將否定祂的存在。如果看到四處是造物者的跡象，我將安於我的信仰。但是觀看太多以致不能否定，而且確信太少以致不能肯定，這使我處境可憐。我上百次的渴望，若有上帝主宰大自然，大自然應毫不含糊的顯現出來，或者上帝有謬誤時，大自然應該把上帝的跡象完全除去；大自然應說出整個真象或什麼都不說，好讓我知道應該站在那一邊。』
但是上帝拒絕現身。因而巴斯卡想起他早期的機率作品和他解決過的賭博問題。也許機率論對宗教信仰的問題會有所啟示吧？他所得到的答案就是今日著名的巴斯卡賭注：一張彩票的價值是中獎機率與獎金的乘積。即使機率或許很小，如果獎金非常之大，彩票還是很有價值的。因此，巴斯卡推算，上帝存在和基督信仰為真的機率雖然很小，而相信祂的報酬卻是永恆的幸福。這張上天堂的彩票，其價值確實很大。反之，如果基督教的教條是假的，連帶損失的價值頂多是短暫生命的享受而已。因此就賭上帝存在吧！或許，從這段敘述，我們不難發現數學期望值的影子。
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Pascal’s wager �� This is what I see that troubles me. I look on all sides and I find everywhere nothing but obscurity. Nature offers nothing which is not a subject of doubt and disquietude; if I saw nowhere any sign of a Diety I should decide in the negative; if I saw everywhere the signs of a Creator, I should rest in peace in my faith; but, seeing too much to deny and too little confidently to affirm, I am in a pitiable state, and I have longed a hundred times that, if a God sustained nature, nature should show it without ambiguity, or that, if the signs of a God are fallacious, nature should suppress them altogether: Let her say the whole truth or nothing, so that I may see what side I ought to take. �� The value of a ticket in a lottery is the product of the probability of winning and the prize at stake. Even though the probability may be small, if the prize is very great, the value of the ticket is great. So, reasoned Pascal, though the probability that God exists and that the Christian faith be true is indeed small, the reward for belief is an eternity of bliss. The value of this ticket to heaven is, then, indeed great. On the other hand, if the Christian doctrine is false, the value lost by adherence is at most the enjoyment of a brief life. Let us then wager on the existence of God.[Cited from Kline(1954),pp.374-375] |
三、實地教學
在上第二章時，筆者是於起始就先簡介機率論其來由，分成賭博問題的解決及有關保險費和死亡率資料的統計過程。然後介紹對機率論的發展位居要津的巴斯卡其人其事。在介紹巴斯卡時，筆者也回頭對1-3的二項式定理的巴斯卡三角形再做一番解釋，並與賈憲楊輝三角形做比較。最後在講述數學期望值時，筆者並補充著名的「巴斯卡賭注」。所有課程結束後，筆者花費一節課的時間，再一次加深學生的印象。
四、評量
「數學課堂上使用數學史教學」問卷
在上第二章時，我們一開始就為同學簡介機率論的來由，分成賭博問題的解決及有關保險費和死亡率資料的統計過程。然後介紹對機率論的發展位居要津的巴斯卡其人其事。接著，我們回頭對巴斯卡三角形再做進一步的認識，並與賈憲楊輝三角形做比較，相信此時同學們已有更深一層的認識。講述數學期望值時，我們也補充了著名的「巴斯卡賭注」，並從中發現了數學期望值的影子。學完第二章後，相信同學們也都能應用機率的觀念解決彩金分配的問題。
請您就這樣的上課方式，回答下列的問題：
1.在上這節課之前，您對「數學」的感覺是：
2.在上這節課之前，您對「機率」的想法是：
3.這樣的數學課上課方式，您覺得：
4.
在上課的內容中，讓您印象最深刻的是：5.
您覺得有關「機率」相關背景的介紹，對您的學習有幫助嗎？為什麼？6.
經過這樣的學習，您對「數學」的想法有無改變？為什麼？7.
您覺得這樣的上課方式，對您的數學學習有無幫助？為什麼？8.
您覺得這樣的上課方式，對您的人格發展有無幫助？為什麼？結果分析：
筆者整理
47位受訪學生的問卷，所得之答案陳列如下:對於第一題只有
6位學生持正面態度，他們的回答是:*數學是有趣的
*數學是訓練邏輯思考的工具
*數學很容易
*喜歡的是自己解出題目的成就感
大部份的學生皆認為:
*數學是無聊的
*數學很困難
*數學與日常生活無關
*不喜歡數學
*數學全是無窮無盡的計算
*數學只是考試的工具
這個結果與我們的預測類似，大部分的學生都懼怕或不喜歡數學，或許這是因為數學抽象而不易理解，與其他的自然學科不同。
對於第二題有29位學生認為:
*機率是有趣的
*學習機率很容易
*機率較為有用
只有12位的學生認為
*機率是無聊的
*機率與日常生活無關
*機率很困難
*不喜歡數學
*機率只是用來考試罷了
沒有意見的有
6位同學這個結果也與我們的觀察符合，機率與日常生活有較強的關聯也較能吸引學生，所以學生在此單元有較好的表現。
對於第三題有
37位學生認為:*對學習數學有所幫助
*如此較為有趣
而有
7位學生認為無所幫助，沒意見的有3位同學。這樣的結果對筆者是一個很大的鼓舞，它顯示了大部分的學生都喜歡這種學習方式，也印證了數學史對於數學教學是有幫助的。
對於第四題的回答是
:*卡丹諾：4位
*無印象：7位
*塔達利亞：8位
*數學家的創造力：9位
*巴斯卡三角形：10位
*賈憲楊輝三角形：11位
*巴斯卡賭注：26位
為何學生印象最深刻的內容是
巴斯卡賭注可能是因為這對學生來說很新鮮，而且又很容易理解。此外，學生也可利用這個觀念去解決數學期望值的問題。對於第五題有
28位學生認為「機率」相關背景的介紹，對學習有幫助，他們所持的理由分別是:*上課會比較生動，不會無聊
*比較真實，不會都很抽象
*增進一些常識
*可知真正的來源，而不是死記公式
*觀念更清楚
*增進學習興趣
而有
13位學生認為：*如此對考試無所幫助
*對未來的學習沒有用
沒意見的有
6位同學大部分的學生都支持「機率」相關背景的介紹，能幫助學習，這再一次佐證了筆者的想法。
對於第六題有
29位同學持正面的態度，他們的理由是:*原來數學還是有好玩的地方
*數學好像終於可以用在日常生活當中
*數學也是有歷史的
*對於新的教材比較快令我入境
*公式不是死的，而是有變化而來
*數學不只是一門學科，而是人類由古至今智慧與經驗的累積
*比較有信心
*不會再感到上課=計算如此乏味
而有
11位學生認為：*對於必須參加聯考的我們這並不重要
*不懂的部分還是不懂
沒意見的有
7位同學對於少部分的學生持負面的態度，或許這與筆者的教學技巧以及升學壓力有關。很顯然地，在升學掛帥及文憑主義下，如何有效而合適地運用數學史教學對教師是一大挑戰。
對於第七題，
有34位同學認為這樣的上課方式對數學學習有幫助，持反面看法的同學大部份都認為：*考試不考
*雖然會想聽，可是不會算的還是不會算
可見在當今的教育環境，如何拿捏其中之分寸仍是一門大學問。
至於第八題對人格的發展，少數認為有影響的同學所持的理由是
*不會侷限於從前之窠臼中，創造新視野
*遇到生活中不甚了解的地方，可以嘗試著去解決
*較全面化
*會學習巴斯卡的宗教信仰方式，改變一些思考方式
為何筆者會安排此題的理由是因為筆者認為引述數學家的事蹟可激發學生產生有為者亦若是的心理。但是這個回答結果顯示筆者應該改善表達方式以及讓問題更易明瞭。
由以上的整理，讀者可以發現大部分的學生還是持肯定的態度並且認為數學史的運用有助教學，這對筆者是一大鼓舞，也讓筆者更確信整合數學史於教學過程中可以充實以及改善數學教學，這也正是
HPM的宗旨。五、參考文獻
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David, F. N. (1962), Games, Gods and Gambling. New York: Hafner Publishing Company.
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Katz, V. (1993), A History of Mathematics: An Introduction. New York: HarperCollins College Publishers.
Ore, Oystein (1965), Cardano-the Gambling Scholar. New York: Dover Publications.
袁小明
(1998), 《數學誕生的故事》.台北: 九章出版社.劉
鈍(1997),《大哉言數》.瀋陽:遼寧教育出版社.蘇意雯
(1993),〈從賭博出發〉, 科學月刊第24卷第11期，頁821 – 828.