「從對數學式子的評價探數學教師的數學觀」

---數學史知識需求面相的另一種思考

 

台灣師大數學系助教 謝佳叡

一、前言

        為期六天的『HPM 2000 Taipei國際研討會』圓滿的落幕了,在洪萬生老師的鼓勵與謝豐瑞老師的指導協助下,也讓我有幸成為這個國際舞臺上的一角。在此之前,未曾有過此類的發表經驗,更未曾在公開場合使用英文演講(自娛此為Double-trouble),其焦慮程度幾乎到了食不下嚥的地步。所幸,滿場的聽眾給了我最大的鼓勵,對我的研究表示有興趣的話語更是給予諸多的肯定,幾個月來的努力盡化成甘甜的回憶,而這個難忘的經驗,將永遠在我的記憶中佔據一個位置,一個好的位置。

        不可否認的,數學教師的教學行為往往受其心中的數學觀與數學教育觀所影響。因而,探討數學教師的數學觀成了許多國內外學者研究的焦點,期能藉由對此方面的瞭解,達到更好的數學教學成效。本論文的靈感亦來自相同的動機,但方法上卻採用另一種不同的角度,亦即藉由教師們對數學式子的『美』、『有用』及『對數學式發展史知識的需求』三個方面的評價,一探數學教師的數學觀。

        我們對373位學生教師、46位來自各地的在職教師,及139位高中生進行問卷調查,問卷內容乃針對38個的數學式子進行五個項目的票選。此外,也從中選擇了九位不同類型的樣本進行訪談,除了檢驗和確認我們詮釋的適當性,也可將詮釋的內涵更細膩精緻。研究中,我們得到許多有趣且發人深省的結果,限於篇幅,僅擇摘其中『對數學史知識的需求』部份的一些結果以及個人心得,與各位分享。或許藉由這個機會,我們得以更深一層的思考,在大家致力於將數學史引入數學課堂的同時,是否真正掌握了使用數學史的動機和目的?

二、為什麼要在數學課堂中引入數學史?

在這一節開始之前,我們先看看這九位受訪者對於『使用數學史對教學、學習有何幫助?』所做的回應。

表一、使用數學史對教學、學習有何幫助?

T1

1.教科書上的知識太冰冷了,加進數學史學起來會較有感覺
2.並非每個人都適合學那麼多數學,一些歷史的啟示更重要。
3.數學史可以讓我知道數學家在何處是曾遇到困難,讓我更注意教學。

T2

配合生活、歷史故事對學生可以全面的聯想較多的東西,對我可以引起動機,讓上課更有趣。

PT1

如果不介紹數學史就好像只有解題。

PT2

數學史和人們的學習過程很像,知道數學史可以模仿這些學習經驗

S41

可以讓上課更有趣吧!因為沒使用過所以不清楚。

S42

我覺得上了數學史的課後對我的教學影響很大,上課比較有趣,對於內容的來龍去脈較有先後,不會只教課本內容。

S43

1.數學史會告訴他們所學的是怎麼來的,會較有感覺。
2.使用數學史會提供一個學習動機。

S31

對學生可以多一點認識、多一點興趣,也可以知道的更多;對教學可以使上課氣氛活絡

S32

對學生學習可以更有興趣,而看他們學的高興我也會感到高興。

T:在職教師 PT:實習教師 S4:台師大四年級學生 S3:台師大三年級學生 最末碼為序號

        使用數學史對教學、學習有何益處?引起動機、讓上課有趣生動總是第一個被想到。但這是否有透露了幾件值得思考的問題:數學本身真的如此乏味,需要數學史來使上課變的有趣?數學史的主要功能是在這裡嗎?教師們真能做到『引發學習動機』的效能嗎?常聽到:數學是一門藝術,但我們就很少聽說在美術課中,教師們需要藉由述說美術的發展史來引起學生的學習動機。的確,數學家的奇聞軼事對於提振學生上課的情緒是容易且有效的,但之後呢?如果數學史的功用無助於數學知識的學習,而只在於捕捉學生短暫的注意力,則數學史的必要性或許還比不上幾個笑話來的強。

        有些教師認為從歷史的角度注入數學活動,實踐多元文化與人文的關懷,讓數學成為有血有肉的學門,但不可輕忽的是,這事說來容易做起來可就不簡單,因為此將涉及更專門的數學文化史或數學社會史,並非每個教師對這些領域都有接觸。有些教師認為數學史可讓教學更有系統,讓學生知道所學的數學從何而來,但必須留意的是,目前數學教科書的呈現結構以及單元間的順序,並非依照數學發展史的進展安排,例如,發展上遲得多的『負數』在國中教科書卻一開始就出現,如要藉數學史讓教學更有系統,教師必得多花工夫在材料的找尋與教學的設計上。藉由前人的經驗做為現今教學的參考想必也是很多教師所贊同的,但如再細思,不能不注意這其中所潛在的危險性。怎麼說呢?能成為被記載的數學史資料,都是極其優異的數學家或是奧妙的數學知識,既使是發展上不順遂的事件,主角人物也都是數學家。而我們不得不承認,數學家的思維跟我們的學生是有很大的差異,數學家的困擾學生未必感受,數學家認為顯然的知識學生也未必接受,我們豈能期望學生能追隨這些數學家思考的腳步,一昧地引用參考,豈不正是『愛之適足以害之』。

        『製造連結(making connections)』是數學史教學所展現出的一個重要功能,它可以開拓學生的視野,培養更寬闊、全方位的認知能力,數學內部各領域的連結、數學與其他學門的連結、數學與生活的連結等。而數學史的學習本身也是一種學習,同時也讓我們知道,數學也是人類發展的一種知識活動,如同詩詞、音樂一般。數學史是不是數學知識的一部份?除非你將數學視為單純的解題活動,否則對數學史的忽視將使得數學本體殘缺不全。但從教師普遍認為課堂上的數學內容過於冰冷,可以推測他們將數學知識的傳授以『去脈絡(out of context)』的方式進行,數學史的『製造連結』正好補其『脈絡』。相同的,而數學史如果沒有數學知識充當骨肉,它將只是一個空架而失去意義,正因為數學史難以單獨存在,其功能性又不可忽視,將之引入數學課堂正是相得益彰。

        這些意見無意在『大家熱心推動數學史的創業階段』予以冷水傾撥,而正如前言所說是提供一個反思的機會,對於任何將數學史引入課堂的努力都應給予鼓勵與肯定。但如有耀『千分光』之能,卻只發『百點熱』之效,豈不憾哉?況且這些困難,都是可以克服的,全看教師用心程度了。如將自己限於起點,要將數學史的功能發揮到淋漓盡致,此等美事豈能經常發生?

三、數學史知識的需求

        沒有人會懷疑,教師的知識及其影響對教學活動的重要性。然而,本研究有意將重點鎖定在數學史知識,是為了與數學知識及數學能力做一區分。因為就台灣的中學數學教師的選擇與培育而言,中學教師對於中學範圍的數學知識大多不會有問題,然而整個師資培育過程,數學史知識卻沒有受到太多的重視。許多教師表示,自身對於數學常是為學習而學習,缺乏其背景瞭解,以致無法在課堂上隨心所欲地展現數學史的教學活動。因此,教師們對數學史知識的需求是得以理解的。

        在這個象度上,我們又將之分成兩個項目探討:(一)最想知道數學史的式子;(二)最應教給中學生數學史的數學式。

        最想知道數學史的數學式子部分之結果較為多樣,各階段教師的需求也不盡相同(見表二),這能提供中學數學教師或師資培育者一個參考。再輔之以訪談資料,我們可以得到教師們思考此問題大致站在兩個角度:(1)教學上可以用到:認為身為一個數學教師應當具備某些基本知識,對學生的學習與自己的教學都會有幫助;(2)滿足自己的求知慾:這個求知慾大多來自對知識的缺乏感與渴望,這些缺乏感來自以前並沒有機會得到這些訊息,而渴望來自好奇。然而,訪談之中我們注意到,這些教師對找尋這些數學史資料卻十分被動,他們多半認為沒有時間或不得其門,而寄望有誰能提供現成資料,值得師資培育者深思與憂心。

表二、最想知道數學史的式子排行及票數(FT:基本定理)

排行

階段

大一(84)

v-e+f=2

38

Cauchy不等式

28

Fibonacci 數列

25

微積分FT

25

畢氏定理

24

大二(81)

Cauchy不等式

33

畢氏定理

29

v-e+f=2

29

Fibonacci 數列

28

海龍公式

17

大三(96)

Cauchy不等式

29

v-e+f=2

26

海龍公式

25

畢氏定理

24

組合公式

21

大四(77)

微積分FT

24

v-e+f=2

20

17

柯西積分公式

17

Cauchy不等式

16

大學部

v-e+f=2

113

Cauchy不等式

106

畢氏定理

92

Fibonacci 數列

86

微積分FT

82

碩士(35)

質數定理

14

v-e+f=2

12

柯西積分公式

11

Fibonacci 數列

10

代數FT

9

教師(47)

v-e+f=2

14

泰勒公式

14

L’Hospital 法

13

海龍公式

13

Cauchy不等式

13

高社(81)

Cauchy不等式

36

海龍公式

29

組合公式

28

判別式Δ

26

點線距離公式

23

高自(58)

海龍公式

21

隸美弗定理

16

Cauchy不等式

15

圓球體積公式

13

v-e+f=2

13

(階段後括弧內的字為調查人數,式子後欄為得票數。)

 

        至於最應教給學生數學史的部分(見表三),『中學生常用』是最主要的選擇因素。訪談結果指出,有的受訪者認為這些數學史會帶給學生更深的感受,有的則以(或猜測)學生有興趣知道為選擇因素,也有是自己覺得有趣,欲與學生一同分享。倒是S41頗為特殊的情形,其認為不必要在數學課堂上教授數學史,以免增加學生負擔,課堂時間也不允許,而是教師們要自己瞭解這些知識融入教學活動,只在課堂講講故事對學生幫助不大。

        值得留意的是,教師與學生皆認為『Cauchy不等式』的歷史應被教給中學生的比例很高,但由前一部份看來,它也是教師們最欠缺的部份。教師們自己認為不熟歷史的式子卻認為中學生應該學會(那誰來教他們?),若不是選擇者是不同的人,就是教師自己內心的矛盾,或是教師學這個式子時並沒有深刻感受,而認為有這個歷史知識對學生有幫助。

表三、最應教給中學生數學史的數學式排行及票數

排行

階段

大一(84)

畢氏定理

46

Cauchy不等式

38

海龍公式

21

判別式Δ

18

點線距離公式

16

大二(81)

畢氏定理

54

Cauchy不等式

26

圓面積公式

25

圓周長公式

19

海龍公式

18

大三(96)

畢氏定理

63

Cauchy不等式

31

三角形內角和

24

判別式Δ

22

圓面積公式

20

大四(77)

畢氏定理

58

圓面積公式

20

Cauchy不等式

20

圓球體積公式

18

三角形內角和

17

大學部

畢氏定理

221

Cauchy不等式

115

圓面積公式

79

三角形內角和

69

判別式Δ

65

碩士(35)

畢氏定理

22

圓面積公式

13

三角形內角和

11

等差級數

11

圓周長公式

9

教師(47)

畢氏定理

34

Cauchy不等式

21

圓面積公式

12

對數公式

11

三角形內角和

10

高社(81)

Cauchy不等式

29

畢氏定理

27

點線距離公式

25

海龍公式

24

判別式Δ

23

高自(58)

Cauchy不等式

22

海龍公式

18

判別式Δ

17

點線距離公式

16

畢氏定理

11

(階段後括弧內的字為調查人數,式子後欄為得票數。)

        再仔細思考,什麼樣的數學式子的發展史最獲教師們的青睞?從訪談中,看得出教師們大多以數學史做為輔助學習『常用』的式子為主,數學史居於配角的地位不言可喻。『常用』說穿了就是『常考』,這個結論在本研究的另一部份揭露,在教師的心中,數學具高度的封閉性。這個封閉性的觀點來自何處?或許底下的研究提供了一個線索。在另一份研究裡(謝豐瑞,1999),調查二十四位在職教師對教學影響的因素,研究顯示實際對他們教學有最大影響的是『考試(聯考、一般考試、成績)』。其他幾個影響如『課程進度』、『學校行政壓力』、『學生學習態度』也大都因此而起。考試不但限制實際數學教學,也無形中影響了教師們的數學觀,數學最大的用處即在考試中得到好成績。這不禁令人擔憂,在重視考試的環境下,磨損了他們主動找尋教學資源的能力事實已隨處可見,過渡重視考試的情形再不改善,只怕努力推動數學史融入課堂又將落入另一種考試的內容,另一個學生的夢魘。

參考資料:

Hsieh, C. J., & Hsieh, F. J., (2000), “ What Are Teachers’ Views of Mathematics? –An Investigation of How They
       Evaluate Formulas in mathematics”, in Horng, W. S. & Lin F. L. (eds) Proceedings of the HPM 2000 Conference:
      History in Mathematics Education: Challenges for a new millennium,
pp.98-111. Taipei: Department of math,
      NTNU.

謝豐瑞 (2000), “ The value of mathematics learning”. Unpublished study.

洪萬生 (1998), HPM隨筆() , HPM台北通訊》, 第一卷第二期

唐書志 (2000),〈數學史、數學教育與終身學習:來自紐澳的啟示〉, HPM台北通訊》, 第三卷第八、九期
       合刊