台灣師大數學系助教 謝佳叡
一、前言
為期六天的『
HPM 2000 Taipei國際研討會』圓滿的落幕了,在洪萬生老師的鼓勵與謝豐瑞老師的指導協助下,也讓我有幸成為這個國際舞臺上的一角。在此之前,未曾有過此類的發表經驗,更未曾在公開場合使用英文演講(自娛此為Double-trouble),其焦慮程度幾乎到了食不下嚥的地步。所幸,滿場的聽眾給了我最大的鼓勵,對我的研究表示有興趣的話語更是給予諸多的肯定,幾個月來的努力盡化成甘甜的回憶,而這個難忘的經驗,將永遠在我的記憶中佔據一個位置,一個好的位置。不可否認的,數學教師的教學行為往往受其心中的數學觀與數學教育觀所影響。因而,探討數學教師的數學觀成了許多國內外學者研究的焦點,期能藉由對此方面的瞭解,達到更好的數學教學成效。本論文的靈感亦來自相同的動機,但方法上卻採用另一種不同的角度,亦即藉由教師們對數學式子的『美』、『有用』及『對數學式發展史知識的需求』三個方面的評價,一探數學教師的數學觀。
我們對
373位學生教師、46位來自各地的在職教師,及139位高中生進行問卷調查,問卷內容乃針對38個的數學式子進行五個項目的票選。此外,也從中選擇了九位不同類型的樣本進行訪談,除了檢驗和確認我們詮釋的適當性,也可將詮釋的內涵更細膩精緻。研究中,我們得到許多有趣且發人深省的結果,限於篇幅,僅擇摘其中『對數學史知識的需求』部份的一些結果以及個人心得,與各位分享。或許藉由這個機會,我們得以更深一層的思考,在大家致力於將數學史引入數學課堂的同時,是否真正掌握了使用數學史的動機和目的?二、為什麼要在數學課堂中引入數學史?
在這一節開始之前,我們先看看這九位受訪者對於『
使用數學史對教學、學習有何幫助?』所做的回應。表一、使用數學史對教學、學習有何幫助?
T1 |
1.教科書上的知識太冰冷了,加進數學史學起來會較有感覺 |
T2 |
配合生活、歷史故事對學生可以全面的聯想較多的東西,對我可以引起動機,讓上課更有趣。 |
PT1 |
如果不介紹數學史就好像只有解題。 |
PT2 |
數學史和人們的學習過程很像,知道數學史可以模仿這些學習經驗 |
S41 |
可以讓上課更有趣吧!因為沒使用過所以不清楚。 |
S42 |
我覺得上了數學史的課後對我的教學影響很大,上課比較有趣,對於內容的來龍去脈較有先後,不會只教課本內容。 |
S43 |
1.數學史會告訴他們所學的是怎麼來的,會較有感覺。 |
S31 |
對學生可以多一點認識、多一點興趣,也可以知道的更多;對教學可以使上課氣氛活絡 |
S32 |
對學生學習可以更有興趣,而看他們學的高興我也會感到高興。 |
T: 在職教師 PT:實習教師 S4:台師大四年級學生 S3:台師大三年級學生 最末碼為序號 |
使用數學史對教學、學習有何益處?引起動機、讓上課有趣生動總是第一個被想到。但這是否有透露了幾件值得思考的問題:數學本身真的如此乏味,需要數學史來使上課變的有趣?數學史的主要功能是在這裡嗎?教師們真能做到『引發學習動機』的效能嗎?常聽到:數學是一門藝術,但我們就很少聽說在美術課中,教師們需要藉由述說美術的發展史來引起學生的學習動機。的確,數學家的奇聞軼事對於提振學生上課的情緒是容易且有效的,但之後呢?如果數學史的功用無助於數學知識的學習,而只在於捕捉學生短暫的注意力,則數學史的必要性或許還比不上幾個笑話來的強。
有些教師認為從歷史的角度注入數學活動,實踐多元文化與人文的關懷,讓數學成為有血有肉的學門,但不可輕忽的是,這事說來容易做起來可就不簡單,因為此將涉及更專門的數學文化史或數學社會史,並非每個教師對這些領域都有接觸。有些教師認為數學史可讓教學更有系統,讓學生知道所學的數學從何而來,但必須留意的是,目前數學教科書的呈現結構以及單元間的順序,並非依照數學發展史的進展安排,例如,發展上遲得多的『負數』在國中教科書卻一開始就出現,如要藉數學史讓教學更有系統,教師必得多花工夫在材料的找尋與教學的設計上。藉由前人的經驗做為現今教學的參考想必也是很多教師所贊同的,但如再細思,不能不注意這其中所潛在的危險性。怎麼說呢?能成為被記載的數學史資料,都是極其優異的數學家或是奧妙的數學知識,既使是發展上不順遂的事件,主角人物也都是數學家。而我們不得不承認,數學家的思維跟我們的學生是有很大的差異,數學家的困擾學生未必感受,數學家認為顯然的知識學生也未必接受,我們豈能期望學生能追隨這些數學家思考的腳步,一昧地引用參考,豈不正是『愛之適足以害之』。
『製造連結(
making connections)』是數學史教學所展現出的一個重要功能,它可以開拓學生的視野,培養更寬闊、全方位的認知能力,數學內部各領域的連結、數學與其他學門的連結、數學與生活的連結等。而數學史的學習本身也是一種學習,同時也讓我們知道,數學也是人類發展的一種知識活動,如同詩詞、音樂一般。數學史是不是數學知識的一部份?除非你將數學視為單純的解題活動,否則對數學史的忽視將使得數學本體殘缺不全。但從教師普遍認為課堂上的數學內容過於冰冷,可以推測他們將數學知識的傳授以『去脈絡(out of context)』的方式進行,數學史的『製造連結』正好補其『脈絡』。相同的,而數學史如果沒有數學知識充當骨肉,它將只是一個空架而失去意義,正因為數學史難以單獨存在,其功能性又不可忽視,將之引入數學課堂正是相得益彰。這些意見無意在『大家熱心推動數學史的創業階段』予以冷水傾撥,而正如前言所說是提供一個反思的機會,對於任何將數學史引入課堂的努力都應給予鼓勵與肯定。但如有耀『千分光』之能,卻只發『百點熱』之效,豈不憾哉?況且這些困難,都是可以克服的,全看教師用心程度了。如將自己限於起點,要將數學史的功能發揮到淋漓盡致,此等美事豈能經常發生?
三、數學史知識的需求
沒有人會懷疑,教師的知識及其影響對教學活動的重要性。然而,本研究有意將重點鎖定在數學史知識,是為了與數學知識及數學能力做一區分。因為就台灣的中學數學教師的選擇與培育而言,中學教師對於中學範圍的數學知識大多不會有問題,然而整個師資培育過程,數學史知識卻沒有受到太多的重視。許多教師表示,自身對於數學常是為學習而學習,缺乏其背景瞭解,以致無法在課堂上隨心所欲地展現數學史的教學活動。因此,教師們對數學史知識的需求是得以理解的。
在這個象度上,我們又將之分成兩個項目探討:(一)最想知道數學史的式子;(二)最應教給中學生數學史的數學式。
最想知道數學史的數學式子部分之結果較為多樣,各階段教師的需求也不盡相同(見表二),這能提供中學數學教師或師資培育者一個參考。再輔之以訪談資料,我們可以得到教師們思考此問題大致站在兩個角度:(
1)教學上可以用到:認為身為一個數學教師應當具備某些基本知識,對學生的學習與自己的教學都會有幫助;(2)滿足自己的求知慾:這個求知慾大多來自對知識的缺乏感與渴望,這些缺乏感來自以前並沒有機會得到這些訊息,而渴望來自好奇。然而,訪談之中我們注意到,這些教師對找尋這些數學史資料卻十分被動,他們多半認為沒有時間或不得其門,而寄望有誰能提供現成資料,值得師資培育者深思與憂心。表二、最想知道數學史的式子排行及票數(
FT:基本定理)
排行
階段 |
一 |
二 |
三 |
四 |
五 |
|||||
大一(84) |
v-e+f=2 |
38 |
Cauchy不等式 |
28 |
Fibonacci 數列 |
25 |
微積分 FT |
25 |
畢氏定理 |
24 |
大二(81) |
Cauchy不等式 |
33 |
畢氏定理 |
29 |
v-e+f=2 |
29 |
Fibonacci 數列 |
28 |
海龍公式 |
17 |
大三(96) |
Cauchy不等式 |
29 |
v-e+f=2 |
26 |
海龍公式 |
25 |
畢氏定理 |
24 |
組合公式 |
21 |
大四(77) |
微積分 FT |
24 |
v-e+f=2 |
20 |
17 |
柯西積分公式 |
17 |
Cauchy不等式 |
16 |
|
大學部 |
v-e+f=2 |
113 |
Cauchy不等式 |
106 |
畢氏定理 |
92 |
Fibonacci 數列 |
86 |
微積分 FT |
82 |
碩士(35) |
質數定理 |
14 |
v-e+f=2 |
12 |
柯西積分公式 |
11 |
Fibonacci 數列 |
10 |
代數 FT |
9 |
教師(47) |
v-e+f=2 |
14 |
泰勒公式 |
14 |
L’Hospital 法 |
13 |
海龍公式 |
13 |
Cauchy不等式 |
13 |
高社(81) |
Cauchy不等式 |
36 |
海龍公式 |
29 |
組合公式 |
28 |
判別式Δ |
26 |
點線距離公式 |
23 |
高自(58) |
海龍公式 |
21 |
隸美弗定理 |
16 |
Cauchy不等式 |
15 |
圓球體積公式 |
13 |
v-e+f=2 |
13 |
(階段後括弧內的字為調查人數,式子後欄為得票數。)
至於最應教給學生數學史的部分(見表三),『中學生常用』是最主要的選擇因素。訪談結果指出,有的受訪者認為這些數學史會帶給學生更深的感受,有的則以(或猜測)學生有興趣知道為選擇因素,也有是自己覺得有趣,欲與學生一同分享。倒是
S41頗為特殊的情形,其認為不必要在數學課堂上教授數學史,以免增加學生負擔,課堂時間也不允許,而是教師們要自己瞭解這些知識融入教學活動,只在課堂講講故事對學生幫助不大。值得留意的是,教師與學生皆認為『
Cauchy不等式』的歷史應被教給中學生的比例很高,但由前一部份看來,它也是教師們最欠缺的部份。教師們自己認為不熟歷史的式子卻認為中學生應該學會(那誰來教他們?),若不是選擇者是不同的人,就是教師自己內心的矛盾,或是教師學這個式子時並沒有深刻感受,而認為有這個歷史知識對學生有幫助。表三、最應教給中學生數學史的數學式排行及票數
排行
階段 |
一 |
二 |
三 |
四 |
五 |
|||||
大一(84) |
畢氏定理 |
46 |
Cauchy不等式 |
38 |
海龍公式 |
21 |
判別式Δ |
18 |
點線距離公式 |
16 |
大二(81) |
畢氏定理 |
54 |
Cauchy不等式 |
26 |
圓面積公式 |
25 |
圓周長公式 |
19 |
海龍公式 |
18 |
大三(96) |
畢氏定理 |
63 |
Cauchy不等式 |
31 |
三角形內角和 |
24 |
判別式Δ |
22 |
圓面積公式 |
20 |
大四(77) |
畢氏定理 |
58 |
圓面積公式 |
20 |
Cauchy不等式 |
20 |
圓球體積公式 |
18 |
三角形內角和 |
17 |
大學部 |
畢氏定理 |
221 |
Cauchy不等式 |
115 |
圓面積公式 |
79 |
三角形內角和 |
69 |
判別式Δ |
65 |
碩士(35) |
畢氏定理 |
22 |
圓面積公式 |
13 |
三角形內角和 |
11 |
等差級數 |
11 |
圓周長公式 |
9 |
教師(47) |
畢氏定理 |
34 |
Cauchy不等式 |
21 |
圓面積公式 |
12 |
對數公式 |
11 |
三角形內角和 |
10 |
高社(81) |
Cauchy不等式 |
29 |
畢氏定理 |
27 |
點線距離公式 |
25 |
海龍公式 |
24 |
判別式Δ |
23 |
高自(58) |
Cauchy不等式 |
22 |
海龍公式 |
18 |
判別式Δ |
17 |
點線距離公式 |
16 |
畢氏定理 |
11 |
(階段後括弧內的字為調查人數,式子後欄為得票數。)
再仔細思考,什麼樣的數學式子的發展史最獲教師們的青睞?從訪談中,看得出教師們大多以數學史做為輔助學習『常用』的式子為主,數學史居於配角的地位不言可喻。『常用』說穿了就是『常考』,這個結論在本研究的另一部份揭露,在教師的心中,數學具高度的封閉性。這個封閉性的觀點來自何處?或許底下的研究提供了一個線索。在另一份研究裡(謝豐瑞,
1999),調查二十四位在職教師對教學影響的因素,研究顯示實際對他們教學有最大影響的是『考試(聯考、一般考試、成績)』。其他幾個影響如『課程進度』、『學校行政壓力』、『學生學習態度』也大都因此而起。考試不但限制實際數學教學,也無形中影響了教師們的數學觀,數學最大的用處即在考試中得到好成績。這不禁令人擔憂,在重視考試的環境下,磨損了他們主動找尋教學資源的能力事實已隨處可見,過渡重視考試的情形再不改善,只怕努力推動數學史融入課堂又將落入另一種考試的內容,另一個學生的夢魘。參考資料:
Hsieh, C. J., & Hsieh, F. J., (2000), “ What Are
Teachers’ Views of Mathematics? –An Investigation of How They
Evaluate Formulas in mathematics”, in
Horng, W. S. & Lin F. L. (eds) Proceedings of the HPM 2000 Conference:
History in Mathematics Education: Challenges for
a new millennium, pp.98-111. Taipei: Department of math,
NTNU.
謝豐瑞
(2000), “ The value of mathematics learning”. Unpublished study.洪萬生
(1998), 〈HPM隨筆(一) 〉, 《HPM台北通訊》, 第一卷第二期唐書志
(2000),〈數學史、數學教育與終身學習:來自紐澳的啟示〉, 《HPM台北通訊》, 第三卷第八、九期