我讀: 《用漫畫來學幾何》

                                 台師大數學研究所碩士班研究生 葉吉海

書名：用漫畫來學幾何（MANGA KIKA NYUUMON）

作者：岡部恆治（Okabe Tsuneharu）【著】  藤岡文世（Fujioka Fumiyo）【繪】

譯者：劉雪卿

出版者：國際村文庫書店有限公司

代理商：創智文化有限公司

出版時間：1999年12月/初版

頁數：304頁

定價：240元

ISBN：957-754-638-2

 一、前言

用「漫畫」來學「幾何」，「漫畫」、「幾何」，一個娛樂性高令人喜愛的「漫畫」，一是生澀令人血壓升高傷腦筋的「幾何」，兩個某種程度上互斥的東西，在岡部恆治與藤岡文世的合作之下，完成了這一本如封面文字所言，「輕鬆愉快地訓練頭腦」、「有趣！有趣！最適合培養創造性的書」。或許是這本書的期望，但整體而言，的確不失為一本好的讀物。現今一般的中小學生對於漫畫有著一份特別的情感與興趣，以幾何內容為骨架，披上漫畫的外衣，確實達到其輕鬆愉快的方式傳達數學的知識。就算不看幾何內容，看漫畫也能達到一定的成效。此種的結合方式就如同當初幾何跟代數的結合有異曲同工之妙，這本書的寫作靈感或許有從這兒來。

      作者岡部恆治（Okabe Tsuneharu）出生於日本札幌市，東京大學理學部數學科畢業。現任埼玉大學經濟部教授，專攻位相幾何學（又名拓樸學topology），具有以簡單有趣的方法解說大多數人引以為苦的數學世界之才能。其想像力豐富而柔軟，深受好評（引自《用漫畫來學幾何》作者簡介）。以下先就其章節內容作大致的介紹。

二、內容簡介

作者的寫作，由內容可知設定的讀者為高中生以上，內容編排由簡而難、基礎進而抽象，從初等幾何談起，至近代幾何。內容敘述環繞在老師和四位學生的對話上，老師為主學生為輔，相輔相成。老師扮演熟稔幾何學脈絡、極富熱忱、循循善誘的角色，試圖以輕鬆活潑的方式將幾何分成不同的面向引到學生面前，透過對話聊天的方式帶進概念，生活化、有趣化、簡單化、拋磚引玉的形式與學生分享想法，四位學生就在這非教育的形式下接受了幾何的教育。四位學生當中，作者安排兩位程度較高、行為正經，與老師互動性高的明奈和秀作，藉以引出重要觀念。另兩位是五郎和凡太，程度明顯較低，但富有創造力與想像力，全書的笑點幾乎都出自於這兩位。值得注意的是，雖然後兩位程度低但透過這種聊天對話輕鬆自在的方式，他們還是很樂於學習一般人聞之色變的「幾何」。這或許是作者刻意安排的情節，即不管你程度如何，透過這種學習方式，你可以自然而然獲得令人傷腦筋的知識。書中的情境就像孔子帶領門徒在閒話學問，也似逍遙學派優遊的學習方式。另外，作者巧妙的運用了漫畫的無厘頭方式亦增添此書的可看性。

書一開頭就道出了作者的切入角度，「如何看圖形」。即使是相同的圖形，也會因為每個人所採取的之立場的不同，產生各式各樣的掌握方法。思考有關圖形的看法，以及對於解決問題有什麼幫助。面積、長度、角度等這些初等幾何的基本討論對象，作者運用了許多生動有趣例子來詮釋各個角度的幾何看法。如：拉大便的方法（舞伴cavalier原理）、切割法、膨脹變形。名稱雖然粗俗，但卻令人深刻體會。前幾章的切入角度著實為後面的章節鋪陳，「如何看圖形」，看圖形的角度不一，便產生了多種不同思維的幾何。

 第三章，論證與計算。作者對於一般人誤解為幾何等於論證，非常地不以為然。幾何和論證是密不可分的，但並非是一體。故他非常贊同諾貝爾獎得主福井謙一的觀點，從「利用一條輔助線看出解答」的幾何樂趣當中，邊拉輔助線，邊玩味發現的樂趣。作者在這一章節對畢達哥拉斯學派著墨很多，美的事物、畢氏定理（三平方定理）、無理數的發現等。且藉由這些偉大的發現，闡述「發現」在數學上的重要。

 第四章，證明的發生。作者一開始就舉芝諾（Zeno，490？-425 B.C.E）的四個悖論（反理論，Paradoxes）闡述因為芝諾（Zeno，490？-425 B.C.E）的影響，使得數學研究者更注意「證明」。次提到「最初的證明」開始於泰勒斯把埃及的經驗幾何帶回希臘作「檢證」，這就像是某種程度的「證明」。最後引入歐幾里得的《幾何原本》（原論，Elements），《幾何原本》確定證明的形式，以公理為基礎，用證明築起幾何的架構，即利用已被認為是正確的事物，建立步驟，再從假設中導出結論。換句話說，決定了幾何的出發點。 

第五章，訓練頭腦。介紹了歐幾里得的的五個設準（公準，Postulates）、演繹法、歸納法、牛頓的「運動法則」、三大作圖難題、柏拉圖的影響及柏拉圖學院等。內容談到「柏拉圖式」時，作者採納的某一說法認為：柏拉圖是個同性戀者。另外，由於戰爭的因素，希臘為了維持奴隸制度，市民輕實務，重視頭腦與身體的訓練。因此，數學是上流階層必備的教養。由於數學排除實用性，重視理念，而實用性高的工作，例如醫生，便是奴隸的工作。關於三大作圖難題，作者提供了一個利用器具的方法解決了三等分一角的難題。此章結尾作者指出，是奴隸社會造成三大難題。

 第六章，從直線與圓到圓錐曲線。介紹阿基米德的生長背景及其作為。阿基米德活躍於錫拉庫薩這個小國家，經常受到羅馬軍的攻擊，阿基米德（Archimedes，287-212 B.C.E）在這時空背景下，他做的是武器製造及實務性的事，跟歐幾里得的理論思考不一樣。還有阿波羅尼奧斯（Apollonius，250-175 B.C.E）的『圓錐曲線論』，他幾乎把所有的圓錐曲線的問題都作完了，使得後世的人幾乎沒有地方可下手。最後介紹海龍（赫倫，Heron，約西元三世紀）的面積公式。

 第七章，為什麼進入黑暗時代。作者提出四點原因說明，為什麼從阿波羅尼奧斯（Apollonius，250-175 B.C.E）至十六世紀，只有零星的幾個人名而已。這段休眠時代又稱為「中世紀歐洲的黑暗時代」。第八章，代數與幾何的結合。作者開門見山說，拯救歐洲中世紀脫離黑暗時代的主要因素之一就是「代數」，當時的契機：斐波那契（菲博納奇，Fibonacci）的《算盤之書》。且亞洲代數學的傳入，與幾何學的結合，促成座標的建立，導致「解析幾何」的誕生。第九章，如何跨越黑暗時代。這章彙整關於「歐洲中世紀的黑暗時代」的消失原因，並再度強調幾項重點。其一是前章所述，來自不同領域及異文化的刺激。本章則提到科學技術的4K擔負的重大任務。文化方面，緩和了經院派的束縛，人文主義也對數學產生了良好的影響。

第十章以後著墨的地方擺在歐幾里得以外的幾何，對歐幾里得第五設準（公準，Postulates）的不滿，所導出的非歐幾何。非歐幾何，看起來不可能的幾何，卻可以意外地得出其現實性。也許這個世界就是非歐幾里得的世界。十二章講到幾何的復興，從歐幾里得之後，幾何學變的自由了，各種形式開始開花結果。然後，各種幾何誕生了。克萊茵的埃蘭開程式解答了，幾何到底是什麼？

三、綜合評論：

本書呈現結構大致完善，作者在書的前幾章運用一些有趣的幾何計量問題減低讀者對此書的戒心，增加閱讀慾望，達到作者接下來以時間為軸，陳述論證與幾何發展過程的目的。談到論證，除了作者所述的論證之初及論證的形式確定外，應該還有論證的背景需求。由於希臘自然環境多山及多島嶼且無法進行大規模的耕種。因而，無法發展一個中央政府，其基本的政治體制是城邦國家。這些城邦國家不管是民主制或者是君主制，但不是專制的。每一個政府都是由法律統治且鼓勵他的人民能去辯論跟討論。或許就是這個特色使得有發展數學論證的需要，因為辯論本身就有說服他人相信某一事實的目的。（參考Victor J.Katz，A HISTORY OF MATHEMATICS）所以，亞里斯多德（Aristotle，384-322 B.C.E）的三段論證、演繹法、歸納法接踵而出。

歐幾里得的第五設準（公準，Postulates），作者採「通過直線L以外的一點P，只能夠畫出一條與L平行的直線」的說法。而《幾何原本》（原論，Elements）上的敘述為「同一平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小於二直角，則這二直線經過不確定地延伸下去，會在這一側相交」。雖然這兩個敘述等價，然而作者採用其說法或許對一般學生而言，是比較能夠瞭解的。

 在談論古希臘數學家時，由於許多資料不可考，作者作了許多的「據說」的動作。「據說」這個動作的產生，對於一個文字工作者而言，是很不負責任的。但讀者群鎖定為高中生，又何嘗不為呢？畢氏定理的發現與提出證明者，有人說畢氏定理在畢達哥拉斯之前就已發現，而畢達哥拉斯是提供第一個證明的人。所以，稱這定理為畢氏定理；也有人說，在歐洲畢達哥拉斯最先發現這定理。所以，就命名為畢氏定理。關於這點眾說紛紜，也許畢達哥拉斯曾敘述過此定理，但有沒有證明它就不可考了。

 書中有些名詞翻譯與現今名詞使用略有出入，《幾何原本》譯成《原論》，「商高定理」、「畢氏定理」譯成「三平方定理」，「海龍」譯成「赫倫」，「尤拉」譯成「歐拉」，「斐波那契」譯成「菲博納奇」等。

書中把柏拉圖說是同性戀者，畢氏門派的人外表邋遢，不知其用意為何。由於譯者沒有將作者寫作時的參考資料呈現出來，以致於不知作者這一番話的依據。

 本書雖有漫畫的的色彩，但不失數學的味道，作者縱橫古今地將幾何發展演繹了一遍，相信讀者透過作者的寫作方式必定獲益良多。