方程式只能有個一根！？

台師大數學研究所碩士班研究生 林倉億

        「方程式只能有一個根！」現在看來當然會覺得不可思議，信手捻來一個方程式都可以輕易地否定這句話，這是因為我們把方程式看成一個獨立的主體，在解X的過程，只考慮符不符合數學原理，並不管X在題目中或現實中的意義為何，更精確地說，X就是一個抽象的數。能夠抽象地、單獨地看待方程式，是數學的一大進步，但這直到十九世紀下半葉才被普遍接受，今天看來十分顯然的概念，卻是經歷了數千年的孕育；康托(George Cantor)曾說：「數學的本質在於它的自由。」(註一)，這是人類高度智慧的結晶，豈能奢求學生在短短十數年的生活經驗上，自然地接受它所帶來的成果呢？

        以下這篇對話錄，改寫自Gavin Hitchcock的 ”Dramatizing the Birth and Adventures of Mathematical Concepts：Two Dialogues” (註二)中的第二個對話。作者透過十九世紀英國數學家Frend (以下以F代表)、Peacock (以下以P代表)及De Morgen (以下以D代表)的爭辯，反應了當時數學家在方程式根的認知衝突。他尤其企圖傳達：人類對於代數的認識與符號的操作，是經過一段慘澹經營的過程。數學家對負數的態度，當然也是關鍵之處，關於當時負數的發展，在唐書志老師的【負數迷思】(註三)一文中已有介紹，請讀者參閱，在此不再多加介紹。在進入時空隧道之前，必須聲明一點，最後一段並非作者的原意，而是筆者的「篡改」，若有突兀之感，自是筆者功力太淺，切勿怪罪原作。

F：每一個被正確地呈現的問題，它的方程式總是只有一個真的根(註四)。我舉個例子來說明該如何解一個含有根號的方程式：

X＋ ＝8

     Þ ＝8－X          (由此明白地看出X要比8小)

        5X＋10＝64－16X＋X2
        5X＋16X－X2＝64－10
        21X－X2＝54                   (有人愚蠢地宣稱這是符合題目的方程式，在題目中X要小於8才行)

      441/4－21X＋X2＝441/4－54＝225/4

      =  

       21/2－X＝15/2              （X－21/2是不被允許的，因為我們已經知道X比8還要小）

        X=21/2-15/2=3

D：如果你寫成X－21/2＝15/2的話，你會得到一個完全可以被接受的正數，X＝18，
為什麼它不是方程式的另一個根呢？

F：因為它僅是滿足了21X－X2＝54這個方程式，並非滿足原來的方程式！大自然她總是清楚、明確的，而非模稜兩可的，只要正確地呈現問題，沒有一個實際的或商業的問題會產生兩個以上的解！

P：我並不認為你是對的。看看這個問題：「我以24磅的價錢賣出一匹馬後，我發現所損失的錢，恰好是馬的進價的百分之一乘以馬的進價，請問我當初花多少錢買這匹馬？」你認為這是不是一個被正確呈現的實際問題呢？

F：看起來的確是。

P：那讓我們來求出馬的進價X吧！

     X－24＝(X/100)×X

       Þ 100X－X2＝2400

       Þ 2500－100X＋X2＝100

               X2－100X＋2500＝100

       Þ 50－X＝10， X＝40

               X－50＝10， X＝60

    40與60都符合原來的題目啊！

F：(停頓了許多) 這只是告訴我們這個題目是不明確的！任何被正確地呈現且明確的題目是不會有兩個以上的解的！

P：(哈哈大笑) 我說Frend先生啊，你很清楚這個例子符合你當初所要求的：正確地呈現問題，你現在只是在強詞奪理罷了！承認錯誤吧！

F：我承認有可能會出現兩個都符合題意的解，而這是告訴我們原來的題目是不明確的。我主張題目的解只能透過代數(arithmetical Algebra)方法獲得，沒有玩弄一些無用的虛設，否則將無法獲得實際的解；那些虛設唯一的用處，就是證明題目是不可能的！

P：那一個根符合題目的條件是什麼？不是只要滿足你一開始說的條件就好了嗎？

F：最重要的，一定要是真的根，也就是正的根！正根才會是實際的解，其他的
都不會是！

P：可是很容易就可以找到一個問題，列出的方程式有一個正根，但這個正根卻不符合題目！

F：讓我看看。

P：「某數的平方的兩倍，比某數的三倍多5，請問某數為多少？」
          2X2－3X＝5 Þ X2－3/2X＝5/2Þ (X－3/4)2＝49/16
     Þ X－3/4＝7/4， X＝5/2
    或 3/4－X＝7/4，X=－1
你當然會說5/2才是解，但如果我們要的是正整數的話，那麼5/2就不是解了。
無論是正根5/2或是負根－1都不是題目的解，也就是說這個題目是不可能的！

F：利用代數方式解出來的這個正根，顯示你強加了一個人為的限制─正整數， 你應該要承認5/2是這個題目的解。

P：哈！你中計了！因為代數方式解出了一個確定的根，所以你就要我移除正整數這個人為限制，那你何不也去除你的人為限制，而承認方程式可以有其他的根，無論是負的，或是與題意不合的。在你之前的許多人甚至認為非正整數的根是不恰當的，你只是在不同的地方做這種不容忍的限制罷了，這種限制並不是真的符合實際的問題或是實際的解，而只是符合你心中的偏見！

D：我似乎越來越清楚了，拒絕負根這種普遍的想法，原來只是歷史的影響，因為長久以來，我們只接受或表示成F先生所提那樣形式的題目，或許將來在許多新型態的題目影響之下，負根將被允許有更直接的解釋，並且獲得更明確的意義。雖然負數在幾何學與力學中似乎能扮演適合的角色，但我必須承認對於負數，我仍存著不安的感覺，但這與Frend先生是不一樣的。對我而言，虛數或是負數都代表一個訊息，就是當它們成為問題的解時，我該立刻去尋找矛盾或是不合理的地方。憑良心說，我必須承認虛數與負數都是虛幻不實的，因為就實際來說，它們都是無法想像的。

F：哈哈！終究是良心告訴你什麼是對的！

D：但是，如果我鼓起勇氣用適當的方式解釋它們時，往往會出現令人驚訝的合理性。

P：一位謹慎數學家的告白！你能給個例子說明嗎？

D：我喜歡告訴人們：「過幾年，當我X歲時，那年剛好是西元X2年，那你知道我出生於哪一年嗎？」因為現在是十九世紀，所以很容易知道我43歲時是1849(＝432)年，那我的出生年就是1806年。不過有個人將這個問題當做純代 數來處理，他告訴我在1764(＝(－42)2)年時，我的年齡是負42歲，我怒斥他不要幹這種愚蠢事，並限制他只能考慮真實的數字。然而，這個數字依然可以得到我的出生年：1764－(－42)＝1806，真是太神奇了！

P：這證明了負根(註五)的合法性與力量！

F：(冷冷地笑著…) 那可以說在1849年時你是負43歲囉！也就是說你已經預測到你的出生年將會是1892這吉利的一年囉！哈哈！還是我應該說你將投胎轉世到1892年呀！哈哈哈！

D：喔！那我承認這個題目有問題，我以後會註明我不是鬼也不是印度人(註六)！

P：也不是畢達哥拉斯主義者。(註七)

D：那看看這個更合適的問題：「有位56歲的父親，他的兒子29歲，請問在幾年後父親的年齡將會是兒子的兩倍？」自然的解法如下：

        56＋X＝2(29＋X) Þ X=－2

   我的直覺反應是：「這太荒唐了！一定是哪個地方有問題！」所以我用－X取代式子中的＋X，

        56－X＝2(29－X) Þ X=2

    因此，我知道這個題目加了太多的限制，應該改成：幾年前或幾年後父親的年齡將會是兒子的兩倍？

P：原來的敘述的確是不恰當的，不過就算題目敘述改成後來的這樣，在列方程式之前，我們仍舊不知道該選擇＋X或是－X。

D：沒錯！不過，如果我們選錯了，解出來帶有負號的根自然會告訴你！

F：等等，那是你一廂情願的想法，你給了負根不應有的推崇。

P：等一下，De Morgen你的論點似乎和F先生相反，我認為由於我們數學家正站在新、舊觀念的轉折上，所以花了許多時間在適應與爭辯，我相信你找到了正確的方向！代數她是慷慨的，總是給的比你要的還多！(註八)

　

        最後還有一段Peacock的論述，不過筆者認為與主題不是那麼相符，所以未翻譯出來。洪萬生教授在【數學史與數學的教與學】(註一)一文中，提出了13種將數學史融入數學教室的方法，其中的第六項：「恰當地使用歷史上出現的謬誤、另類概念、觀點的改變、隱含假設的修訂以及直觀論證等等」和第十項：「編劇本」，對話錄恰好提供了一種結合這兩項的表現方式，倘若能真實演出的話，不但能增進數學課的樂趣，更提供了一個機會，讓學生能夠以更寬闊的眼光來看待數學與數學的學習。

註一：原文是：The essence of mathematics lies in its freedom.

註二：收入Ronald Calinger, ed. 1996. Vita Mathematica. Washington D.C.: MAA.

註三：刊載於本通訊的第一卷第二期。

註四：在此對話中，「根」是對方程式而言，「解」是對題目而言。

註五：原文中用的是「代數(algebra)」一詞而非「負根」。

註六：De Morgen是出生於印度的英國人。

註七：指的是對數字所持的神秘思想。

註八：這句是引用D’Alembert的話：”Algebra is generous, she often gives more than is asked of her.”

註九：刊載於本通訊的第二卷第四期。