∼ 給我一個立足點，我就可以移動這個地球。∼
台師大數學系碩士班研究生 陳鳳珠
一、前言
阿基米德（Archimedes，287?-212 B.C.）是古希臘的偉大數學家，經歷了二十二個世紀，他在各方面的貢獻至今仍受到許多的尊崇。他擁有極高的天賦，不但與牛頓（I. Newton，1643-1727）、高斯（C. F. Gauss，1777-1855）並列為三個最偉大的數學家，也是傑出的物理、天文學家和機械發明家。
阿基米德在繼承前人數學成就的基礎上，做了進一步的完善和發展。他不但給出了阿基米德公理，完成圓面積、球表面積和球體積等公式的證明，還研究了與螺線、拋物線和圓錐曲線旋轉體有關的命題，同時在三次方程和數論方面都有貢獻。阿基米德亦是數學和物理結合研究的最佳典範，他用公理方法完成了槓桿平衡和重心的理論，而且在他的著作《論浮體》中，應用公理方法完成了流體浮力的理論，因此成為靜力學創始人。不僅如此，他還透過力學的實際應用發明了許多實用機械，也曾在《球體設計論》介紹了一種用來展示太陽、月亮和五顆行星環繞地球的設計。
由於阿基米德在各領域均有傑出的表現，因此有許多關於他的傳奇和故事。也許這些故事並非完全確實，但可以幫助我們了解這位古代最偉大的數學家的個性。其中最著名的一個故事，就是發現金鑄皇冠純度的方法。Syracus國王定製了一頂皇冠，交貨以後，他懷疑這頂皇冠的純度不足，所以請阿基米德檢驗其成分；阿基米德一直在思考這個問題，有一天當他洗澡時，觀察到自己的部分體重被水的浮力所抵消，突然間他領悟了解決這個問題的方法，他對於自己這個發現感到相當興奮，以致於竟然裸奔到街上大叫 “Eureka！（我找到它了）”。他發現物體沉入水中時，被水的浮力所抵消的重量等於排出水的重量，這正是流體靜力學第一運動定律，因而藉此解決了國王交給他的問題。由此可見，阿基米得是全神貫注所研究的問題，才會忘記穿衣服就興奮地奪門而出。
另外，一個流傳下來的阿基米德名言是：「給我一個支點，我就可以移動這個地球。」他這樣誇口是因為被自己發現的槓桿原理深深感動。故事是他對Syracus國王宣稱任一給定的重物都可以由一個給定的力移動，Syracus國王便要求他給出一小的力可以移動巨大重物的實例。因此，阿基米德設計了一種機械，把一條全體敘拉古居民共同使力也無法移動的一條船，將它變成只需一個人就可移動，進而給予他所發現的定理一個實際例證。
儘管阿基米德在物理和機械等等各方面，均有不凡的表現，其中最令我們感興趣的部分，是他在數學方面的研究。尤其是他在嚴密證明之前所呈現啟發性的論述，亦即那種利用物理觀念的推理來解決數學問題的方法。所以，本文針對阿基米德在嚴密論證前所提供「發現的方法」，介紹《方法》（The Method）中的兩個命題作為說明，1企盼大家能藉此更貼近偉大數學家阿基米德的想法。
二、發現的方法
值得注意的是，阿基米德在幾何方面的研究和歐幾里得（Euclid，約300B.C.）有很大的差異。他在嚴密綜合證明定理之前，先呈現定理「發現的方法」或是問題情境的分析，從中我們可以撥開事物的表面，洞察到他探求真理的方法。他根據力學原理所得到之「發現的方法」，研究了許多有關面積與體積方面的重要結果，而成為他最具價值的著作《方法》之主要內容。
他所提供「發現的方法」，主要是利用槓桿原理（力矩平衡），討論兩圖形之橫剖面的平衡關係。然而，他並沒有利用這種方法來演示嚴密的證明，因為我們並不能證明一個圖形是由它的各個橫剖面所組成，亦即一個平面圖形是由直線組成或一立體是由一薄平面組成。正如他自己寫道：「我常藉機械的方法來了解某些定理，但由於這些方法無法提供真正的證明，所以幾何證明是必須的。」因此，阿基米德和他同時代的希臘人一樣，堅持所有的數學結論只有通過演繹推理才能確定。他在《方法》中特別強調「發現方法」和「嚴格證明」這兩者的差異，即（1）發現定理所用的方法，雖然不能做為定理的嚴格證明，卻足以說明定理的真實性；（2）這些定理的嚴格證明，就是說這些定理最後被確認之前，必須經過無懈可擊的幾何方法論證。
儘管阿基米德認為嚴密的幾何證明是必要的，他也強調力學方法是相當有用的。如同阿基米德在《方法》的前言提及：「通過力學方法我對一些問題首先變得清晰了。然而，當我們用這種方法預先獲得有關這些問題的信息時，完成它們的證明，當然要比沒有這些信息的情形下去發現其證明容易得多。」
（一）、《方法》中的命題1
我們首先介紹阿基米德利用力學原理所呈現「發現的方法」的典型例子，亦即《方法》中的命題1：
設是ABC由直線AC和拋物線ABC所為成的拋物線弓形，D為AC的中點。作直線DBE平行於拋物線的軸，連接AB、BC。則弓形ABC的面積是三角形ABC面積的4/3。（見圖1）
阿基米德的做法是先由A點作AKF平行DE。設拋物線在C點的切線分別交直線DE、AF於E、F。然後，延長CB交AF於K，再延長CK至H，使KH=CK。
因為他想證明圖形中的三角形CFA和將重心移至H點的弓形ABC，以K點為支點時呈現平衡狀態。所以，將CH作為槓桿，K為其中點。然後，設MO是任一條平行ED的直線，它與CF、CK、AC分別交於M、N、O，與曲線交P點。
現在，已知EB=BD；MO : PO=CA : AO（參看《求拋物線弓形面積》命題5）。由於線段FA、MO都平行線段ED，並且EB=BD（圓錐曲線的理論已證），2可得知FK=KA和MN=NO；又MO:PO=CA:AO與KH=CK，利用《幾何原本》Ⅵ.2得到MO:PO=CA:AO =CK:KN=HK:KN。
再取線段TG=OP，將之以H為中心放置。
由於N為MO的重心且MO:PO=HK:KN，可推知H處的TG和N處的MO，以K點為支點時保持平衡。（《論平面圖形之平衡》,Ⅰ.6.7）
類似地，對平行於DE且與拋物線弧相交的所有其他線段，即「截於FC、AC間，中點在KC上」和「曲線ABC與直線AC間的截線，H為重心放置」，以K點為支點時將保持平衡。因此，K是由如下兩組線段構成的整個系統的重心：（1）截於線段FC、AC間，置於圖中所有像MO一樣的線段和（2）中心置於H處，所有與曲線ABC間的截線如線段PO有相同長度的線段。
因為三角形ACF由所有像MO一樣的平行線段所組成；弓形ABC由所有像PO一樣含於曲線內部的線段組成。所以，可以推知，置於圖中所示位置上的三角形ACF與以H為重心放置的弓形CBA，以K點為支點時保持平衡。
最後，討論弓形ABC和三角形ABC之間的面積關係。在KC上取W點，使CK=3KW，則W是三角形ACF的重心。於是，三角形ACF : 弓形ABC=HK:KW=3:1。從而，弓形ABC=(1/3)三角形ACF，但是三角形ACF= 4三角形ABC，故弓形ABC=(4/3)三角形ABC。
阿基米德為了區別發現方法和嚴密證明的不同。於是，在證明的最後補充說明：「這裡所陳述的事實不能以上面所用的觀點作為事實證明，但這種觀點暗示了結論的正確性，鑒於該定理並未得到證明，同時它的真實性又值得懷疑，因此我們將求助於幾何學上的證明，我本人已發現並公佈了這一個證明。」（見《求拋物線弓形的面積》命題16）
我們可以發現，阿基米德在這個命題裡，除了利用到力學方法中的槓桿原理，並且將平面視為由平行的直線所組成，這樣的想法相當於後來在十七世紀發展出來的「微元」（infinitesimals）概念，亦即將平面分割成無限多條直線作「細微分割」（indivisibles）。3
（二）、《方法》中的命題11、12
接著我們再看看另一個也應用到槓桿原理及相當於「微元」技巧論證的定理。這也就是《方法》中的命題11：
如果一圓柱內接於底為正方形的直棱柱中，其中圓柱的兩底位於兩相對的正方形面上，圓柱面與其餘的四個矩形相切，通過圓柱的一底圓的圓心C與另一底圓相切的正方形的一邊作一平面X，則由該平面X所截圓柱部分圖形（簡稱：部分圓柱）的體積只是整個棱柱的1/6。（見圖2、圖3）阿基米德在命題11的一開始就說道：「這一個命題可以用力學方法加以考察，在我能夠清楚表達他之後就將用幾何角度著手其證明。」
實際上，他所利用的力學方法包含在命題11、12中。4在命題11裡，他要證明的是：以F為重心放置的部分圓柱和原位置上的半圓柱PER，以G點為支點時保持平衡。
開始先假設有一直棱柱，在其內部內接一圓柱。再假設棱柱被一平面Z所截，該平面Z經過棱柱和圓柱的公共軸CD且與圓柱的底面垂直。然後，令得到直棱柱的縱截面為矩形AB，它與平面X的交線是直線BC。（見圖2）
另外，作一線段EF平分線段CD，設交於G點；通過線段EF作垂直線段CD的平面Q，令平面Q截直棱柱的橫截面為正方形MN，又截圓柱所得橫截面為圓EPFR，設G點為圓心。（見圖3）
然後，假設平面Q與平面X交於直線KL，而且線段KL與線段GE互相平分於O點。再作圓EPFR的任一條弦TS，使得弦TS與線段EF垂直且相交於I點；並且過TS作一平面W與線段EF垂直，則平面W與部分圓柱相交於一矩形，其一邊等於線段TS，另一邊平行線段UV。（見圖2和圖3）
然而，因為線段UV、BY和GC皆互相平行，而且EC為矩形，所以EG：GI=YC:CV=BY:UV=（位於半圓柱中的矩形）：（位於部分圓柱中的矩形）；
又EG=FG。因此，FG：GI=（位於半圓柱中的矩形）：（位於部分圓柱中的矩形）。（見圖3）
假設將位於部分圓柱中的矩形移至F點，使F點為其重心；又假設線段EF為槓桿、G為其中點。由於I是位於半圓柱PER中的矩形的重心，當部分圓柱中的矩形以F為重心放置時，可推知重心為I的半圓柱PER中的矩形，與重心放置於F點的部分圓柱中的矩形，以G點為支點時保持平衡。
同理，作任一平面垂直於線段EF，並且經過半圓PER中由線段EF垂直平分的任一其他弦，截得的其他矩形截面有類似的結論。
如果考慮分別組成半圓柱和部分圓柱的所有矩形，則可得知半圓柱PER，與重心放置於F點的部分圓柱，以G點為支點時保持平衡。
接著在命題12裡，阿基米德想要證明：半圓柱PER和棱柱GHM，以G點為支點時保持平衡。（見圖4）
他必須先證明：分別處於原位置上的微元（1）邊等於KS的矩形和（2）邊等於LW的矩形關於S保持平衡。也就是說，要先證明處於原位置上的直線SK和LW，以S 點為支點時保持平衡。
現在，已知（圓PERF的半徑）2=SK2+SG2，即SL2=SK2+SW2。因此，得LS2-SW2=SK2，從而（LS+SW）LW=SK2，得到(1/2)（LS+SW）：(1/2)SK=SK：LW。
又(1/2)（LS+SW）是LW的重心與S點的距離，而(1/2)SK是SK的重心與S點的距離。因而分別處於原位置上的線段SK和LO，以S點為支點時保持平衡。
同理，對其他相應的矩形也有類似的結論。
考慮分別位於半圓柱和菱柱中的所有矩形微元，可以發現分別處於原位置上的半圓柱PER和棱柱GHM，以G點為支點時保持平衡。
從這一結果和命題11的結論，我們可立即推出由圓柱上截得的部分圓柱的體積。因為命題11表明以F為重心放置的部分圓柱，與處於原位置上的半圓柱，以G點為支點保持平衡；根據命題12得知在半圓柱所在的位置上，可以用棱柱GHM代替半圓柱，即相對於RP將棱柱GHM往反方向旋轉。如此放置的棱柱的重心位於GE上的Z點，則滿足GZ=(2/3)GE。
若假設該棱柱置於其重心處，則（部分圓柱）：（該棱柱）=(2/3)GE：FG=2：3，故（部分圓柱）=(2/3)（棱柱）=(1/6)（最初棱柱）。5
命題11和12主要是將立體的直棱柱與圓柱作「細微分割」成多個矩形平面，這裡所運用相當於「微元」的論證方式和命題1是如出一轍。阿基米德藉助線元素處理平面面積或藉助面積元素處理立體體積，這樣的力學方法，後來在十七世紀初開花結果，帶動了微積分的快速發展。
三、啟發性的論述
根據現存文獻記載，我們目前僅知阿基米德經常用無拘無束的想像力進行思考。希臘數學家因為受到季諾（Zeno，490-430B.C.）提出悖論的驚嚇，認為直覺是完全不可靠的，轉而尋求一個可以作為嚴密證明的途徑---幾何學。因此，正當希臘的數學家執著於理性證明時，阿基米德卻能藉助直觀的力學方法，作為證明的一部份。雖然，阿基米德仍是以當時數學家所認同的「窮盡法」（The Method of Exhaustion）作為嚴密的證明方法，他卻是利用力學方法幫助思考，進而發現定理的正確性，成為他特有的「發現的方法」。
阿基米德特有的「發現的方法」，是相當具有啟發性的論述。我們可以從文中的前兩個例子看出，他所利用的力學方法中，除了槓桿定理之外，也使用到相當於「微元」的技巧。他應用「微元」的概念論證許多面積和體積定理，亦即將平面和立體分別視為（無窮多的）直線與平面所組成，例如前文中介紹的《方法》的命題1，就是將三角形CFA視為平行MO的三角形內部直線所組成。阿基米德這樣無窮分割的想法和17世紀的克卜勒（J.Kepler，1571-1630）和卡瓦列里（B. Cavalieri，1598-1647）完全相同；甚至他提供獨特之「發現的方法」，從而利用了具物理直觀的「微元」論述，不但因此得到許多輝煌的成果，更是間接或直接的影響後來的積分學發展。
阿基米德在定理的嚴密論證前，所提供特有之「發現的方法」，不但在數學的發展上扮演了重要角色，也可以提供我們作為數學教學上的參考。阿基米德和同時代的數學家截然不同，對於直觀並沒有完全置之不理，反而透過依靠直觀的力學方法，提供了命題的發現方法，藉此更論述了許多關於面積和體積的定理。他這樣不受拘束的想法，正是他作為偉大數學家之一的最好佐證。誠然，一個有足夠空間發揮想像的人，才可能有最傑出的表現。所以，在我們的教學過程中，如果有學生和阿基米德一樣，提出與眾不同的想法，甚至和教科書中提供的做法大相逕庭時，只要是符合邏輯，我們都應該給予學生正面的評價才是。不但如此，我們在教學過程中，應提供學生多元思考的空間，並鼓勵學生多發揮自己的創意，因為在這樣的學習環境下，才有理由去期待我們的學生，和阿基米德一樣擁有偉大的想法。
註1：海伯格（Heiberg）於1906年發現的希臘手稿之一部分。
註2：阿里斯泰庫斯（Aristarchus）和歐幾里得的關於圓錐曲線的著作，參看阿基米德《論劈錐曲面體與旋
轉橢圓體》的命題3和《求拋物線弓形面積》的命題3有類似表達。
註3：阿基米德並未說明平面是如何由平行的直線所組成，也未提及平面是由無限或有限的直線所組成，因
此迴避了當時的希臘數學家所恐懼的無限概念。
註4：事實上，阿基米德除了按照力學方法所作的考察納入命題11、12之外，在命題13中也給出另一種他認
為仍不具說服力的解法。最後，在命題14增加了具有嚴密性的幾何證明。
註5：這一個命題同時解決了半圓柱即半圓的重心問題。因為處於原位置上的三角形GHM與同樣處於原位
置上的半圓PER，關於H點保持平衡。於是，若設GE上的點X為半圓OER的重心，則
(2/3)HO˙△GHM=HX˙半圓PER，即(2/3)HO˙HO2=
HX˙(1/2)π˙HO2，亦即HX=(4/3π)HQ。
參考書目：
Bell, E. T., 1998: 《大數學家》，台北：九章出版社。
Dunham, W., 1998: 《天才之旅》，台北：牛頓出版社。
Heath, T. L., 1998: 《阿基米德全集》，陜西：科學技術出版社。
Kline, M., 1983: 《數學史》，台北：九章出版社。
Meschkowski, H., 1964: 《偉大數學家的想法》，台北：南宏出版社。
Katz, J., 1993: A History of Mathematics: An Introduction. HarperCollins College Publishers.
Stillwell, J., 1989: Mathematics and Its History. NY: Springer-Verlag.