如何詮釋數學文本?

台師大數學系 洪萬生教授

  在「數學史」課堂上,如何在第一手文獻(或原典)(primary source)與第二手文獻(secondary source)之間取得平衡,應該是嚴肅地對待數學史教學的教師,都必須好好地考量的問題。這幾天才收到「加拿大數學史與數學哲學學會」(Canadian Society for History and Philosophy of MathematicsCSHPM)寄來的《論文彙編》(Proceedings) 第十二卷,其中有一篇由Duncan J. Melville所寫的〈在數學史課堂上詮釋文本〉(Interpreting Texts in a History of Mathematics Class),就談到這個問題,我們且看他怎麼說!

  首先,Melville指出:在北美洲的大學數學系中,數學史課程多半在大三或大四開授,此時,由於學生大都擁有了相當成熟的數學訓練,因此,課程所涵蓋的時間軸至少可以上下縱棋五千年。不過,學生熟悉現代數學領域中的解題技巧與理論建構之後,對於十九世紀之後的數學發展,固然比較容易入手,但也由於專業技能的訓練過程中,邏輯嚴密規格的刻意講求,所以,他們所能想像的數學之歷史風貌,大概是傑出數學家一棒接一棒的累積過程。如此一來,每一代的「數學史學」(historiography of mathematics),就只不過是為偉大數學家不朽貢獻,撰寫一些具有當代頌辭特色的注腳罷了。

  以上這一種「歷史」,專業數學史家當然期期以為不可!可惜,受限於篇幅,我無法在此重複他們的論點。但是,有關數學史家如何看待過去的數學發展,讀者不妨參考道本周 (Joseph Dauben) 的“Mathematics: An Historian Perspective”或拙文〈數學家書寫歷史-兼評John Stillwell的《數學與它的歷史》〉。無論如何,「數學史家」涉及數學知識的成長或改變,所以,「數學」當然是史家專業研究的一個必須跨過的門檻。事實上,正Melville所強調的,要想在數學史課堂中同時納入「有意義的數學」(significant mathematics)與「有意義的歷史」(significant history),的確不是一件容易的事情。在他的數學史課堂上,為了讓「有意義的歷史」也有現身的機會,Melville特別以巴比倫“Plimpton 322”楔形泥版此一文本的詮釋為例,指出不同史家所提供的互異說明,都可望豐富我們對過去的了解,儘管此一所謂「真相」,總是隨著文本的不同詮釋而改變。

 

  Melville的教學策略,是提供關於此一泥版的二手文獻,讓學生暴露在史家對它的不同「解讀」/「意義賦予」。這些文獻分別是O. NeugebauerA. Sachs的“Mathematical Cuneiform Texts(1945)E. M. Bruins的“On Plimpton 322: Pythagorean numbers in Babylonian mathematics(1949) 與“Pythagorean triads in Babylonian mathematics; the errors on Plimpton 322(1955)D. J. de Solla Price的“The Babylonian ‘Pythagorean Triangle’ tablet(1964-65)R. C. Buck的“Sherlock Holmes in Babylon(1980) O. Schmidt的“On Plimpton 322. Pythagorean numbers in Babylonian mathematics(1980)J. Friberg的“Methods and traditions of Babylonian mathematics(1981)等等。在上述這些論文中,NeugebauerSachs認為此一泥版呈現了部份的畢氏三數組(此一文本有十五列六十進位數碼),並且相信它是純數論性格的一個文本。Bruins基本上認同前者的觀點,不同的是,他認為泥版應該由右至左來解讀,而非由左至右,如此看來,此一文本看起來應該完好無缺。相反地,Price認為此一泥版殘缺不全,只是原有的三分之二,至於其製作目的,則是為了測量用途,而非原先被認定純數論旨趣。

        上述爭論停格在二十世紀六十年代。到了八十年代,才又有出人意表的發展。先是Schmidt經過文本的另一種「解讀」/「重建」,認定此一泥版與直角三角形無關,而是一張倒數表 (table of reciprocals)。緊接著,醉心於「數學考古學」(archaeology of mathematics)的Buck以巴比倫的福爾摩斯(Sherlock Holmes in Babylon)自居,在重建「現場」的同時,也向我們指點NeugebauerSachs如何得到他們的結論。而在提出他自己的結論時,Schmidt附和Bruins的觀點,亦即此一泥版無關畢氏三數組或三角學,反倒可能是當時一種教學工具,幫助教師來設計二次方程習題。此一作為『教學輔助』之觀點,立即獲得了Friberg的迴響,只不過,他相信此一泥版作者的主要目的,在於設計 / 求解與直角三角形有關的二次方程問題。

        從數學史研究的觀點來看,文本的詮釋並不見得都是如此多姿多彩。不過,通過數學文本的幾種相互矛盾解釋,的確可以啟發學生領悟數學知識成長的複雜風貌,從而賦予數學知識活動的人文意義。誠然,Melville在他的論文中所揭示的數學史教學活動,為我們提供了這一種可能性。只是成效如何,我們倒是非常樂意瞭解,可惜作者並未進一步說明。

參考資料

洪萬生,2000,〈數學家書寫歷史:兼評John Stillwell的《數學與它的歷史》〉,預定《數學傳播》刊出。

洪萬生 (待定稿).〈數學典籍的一個數學教學的讀法:以《赤水遺珍》為例〉。

Bunt, Lucas N. H., Phillip S. Jones, Jack D. Bedient , 1988, The Historical Roots of Elementary Mathematics. New York:
     Dover Publications, INC.

Dauben, Joseph , 1993, "Mathematics: An Historian's Perspective", Philosophy and the History of Science: A Taiwanese
     Journal
2(1): 1-21.

Horng, Wann-Sheng (submitted). "Reading into Mathematical Texts: A multicultural perspective".

Tattersall, J. J.ed., 1999, Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics. Vol. 12.
     Toronto: University of Toronto.