筆者進入大學數學系就讀以前，雖對數學有興趣，但興趣的來源卻不是對數學本體的喜好，而是在獲得高分之後的喜悅。也許是上天有意安排，筆者對於數學的另一種觀點乃是在大學聯考時所獲致。
民國84年大學聯考，有一個題目如下：
在理智上，筆者可以算出答案，但在情感上筆者卻是感到恐懼的，因為在過去的經驗中從來沒有遇過一種多邊形具有如此怪異的特性，經過兩次計算確定答案無誤之後，理智還是戰勝了情感，戰戰兢兢地把答案寫在卷子上。
後來在大二學到Cantor集以及其相關性質時，這段陳年往事又浮上心頭，於是便找了一些有關於碎形的書籍來研讀，不過這次沒有答對答錯的壓力，對於這樣的圖像不再感到恐懼，反而是一種讚嘆，對數學形式與力量的讚嘆！
（請讀者自行驗證上面四個圖形的面積與周長，並觀察其有何異同）
由於以上的這些經驗，筆者認為數學是美的；相信大部分數學的愛好者也都有類似的感受，但到底什麼是美的？什麼樣的條件下才是美的？要回答這些問題非得回顧數學發展史不可。本文先簡單介紹「美學」及「數學美學」，未來在一系列的文章中將從數學史以及一些初等的數學問題給予「數學之美」簡單的概述。
一、美
什麼是美？這個問題的答案會隨著文化、時代以及個體的解釋不同而不同，很難如數學定義一樣非常的明確。人類社會發展到一定階段，開始披樹葉遮羞、圍獸皮禦寒，以獸牙、貝殼、石子等製造珠串裝飾自己，以壁畫、雕像、舞蹈、音樂等活動娛樂自己的時候，美的觀念就已經開始萌芽了。
進入文明時期之後，世界上的幾個文明都各自發展出其對於「美」的看法；例如在中國春秋諸子百家爭鳴的時代，老子便認為「天下皆知美之為美，斯惡已」，其把美與醜看做對立且互相依存、互相轉化。孔子則認為美與善密切相關但有差別，如「子謂韶盡美矣，又盡善也。謂武盡美矣，未盡善也」。
在西方，美則是古希臘人心靈的外化，是希臘文化精神的結晶。蘇格拉底以功用為標準，認為美與善是統一的，而藝術只不過是模仿美的形象與美的性格。柏拉圖則不同意美是有用、美是恰當、美是快感等說法，其認為美是超現實的理想，萬物僅是其影子，而藝術則是其影子的影子。亞里斯多德則認為美的主要形式乃是秩序、對稱與明確；客觀事物的美不美，端視其所構成的元素是否結合成和諧、對稱的統一體；由於亞里斯多德對於「美」的諸多論述，因此其被後人稱為歐洲美學思想的奠基人。
美的概念隨著時代的演進有很大的改變，本文將不對其作深入的討論。一般而言，較為通俗且被較多數人所接受的看法是：美乃是人或事物中所引起感官愉悅感受並且提高心靈或精神的某種特質，或這些特質的集合。
二、美學
雖然美的概念很早就被提出來討論，但其內容往往與哲學、政治、宗教、道德、藝術等混雜在一起，沒有成為獨立的一門學科，真正使其成為獨立的一門學科是十八世紀德國的Alexander Baumgarten (1714-1762)。
Baumgarten是萊布尼茲傳人Wolff的大弟子，思想上屬於德國的理性主義派。萊布尼茲曾把人的知識領域分成理性與感性兩種，並且把對美的鑑賞歸於後者。理性的知識與感性的知識至少有三點不同：(1)理性知識的對象是普遍、抽象的概念，而感性知識的對象是特殊、具體的事物；(2)理性的知識是比較高級，感性的知識是比較原始的；(3)理性的知識是清楚(clear)與明白的(distinct)，感性的知識雖可清楚，但卻不是明白的(indistinct)。
在Baumgarten之前，理性主義者所謂的邏輯學乃是對理性知識研究的學門，而Baumgarten的貢獻便是指出應有一獨立的學問來研究感性知識。
1735年，Baumgarten發表了一篇拉丁語學位論文《Philosophical Thoughts on Matters Connected with Poetry》（《關於詩歌某些問題的哲學思考》），首次使用Aesthetic這個字，並且建議以其來稱呼感性知識的學問。1750年，Baumgarten出版了《Aesthetik》一書，這是世界上第一本以「美學」為名稱的著作。在該書中，Baumgarten對美學作了以下三個界定：
由於Baumgarten的特殊貢獻，於是後人便稱其為「美學之父」，在其之後對美學發展作過貢獻的人很多，例如康德在《判斷與批評》這本著作中，便以哲學的觀點闡述美學是關於美的科學，使美學有了嚴謹的理論型態；另外，黑格爾也在其多卷本的《美學》巨著中，把歷史方法與邏輯方法結合起來，進一步地建構了美學的哲學體系。
現今英文以Aesthetics表示美學，這個字來源於希臘文，原意是憑感覺去認知，具有直覺的意思，並不等同於英文中的science of beauty，翻譯成美學在中文中是一種約定成俗的用法，事實上其在康德哲學中指的是觀念法則，為認識論中的一部份，因此譯成審美學可能會更恰當一點。另外值得注意的是，美學並非單單指對藝術品或自然界物體的價值判斷，事實上美學乃是哲學中的一個部門（例如Baumgarten便把美學與邏輯看做是哲學的兩個部門），不但研究客體（如美的本質、美的型態）、也研究每個主體（如美的感受及其心理過程等），更研究主客體之間的關係（如美的創造過程、美的追求等）；因此美學作為一門課程時，往往設在哲學系中，被當作認識論與價值論的一部份來看待。
三、數學美學
談到數學美學，就不能不回溯至古希臘時期：希臘文化的根本就是人與宇宙、人與社會的和諧，和諧的光芒照耀著整個希臘藝術。畢達哥拉斯提出「美就是和諧」，正是這種藝術精神的理論概括；也許是受了這種觀念的影響，希臘數學家在某種形式上亦是美學家，他們在整理和研究數學問題時，同時候受到美學觀點的影響，例如亞里斯多德便認為「美的主要形式為〝秩序、對稱與明確〞……又因為這些形式顯然是許多事物的原因，數理諸學自然也必須研究以美學為目的的這一類因果原因」。
受到希臘數學家的影響，其後的數學家在研究數學問題時，皆會情不自禁地以「美」的標準來衡量，例如1542年，哥白尼出版了《天體運行論》，在該書首篇寫道：「在哺育人的天賦才智的多種多樣的科學和藝術中，我認為首先應該用全部精力來研究哪些與最美的事物有關的東西。」，另外他還提到：「太陽在萬物中的中心統馭著，在這座最美的神廟裡，還有什麼更好的地點能安置這個發光體，使它能一下子照亮整個宇宙呢？……我們就是在這種佈局裡發現世界有一種美妙的和諧，亦即運行軌道與軌道大小之間的一種經常的和諧關係，而這是無法用別的方式發現的。」由哥白尼的講法來看，便可瞭解在觀察數據與其理論不完全吻合的時候，為什麼他還能對日心說那麼地有信心的理由了。
類似的事件在歷史上不斷的重演，例如愛因斯坦便曾經問海森堡：「為什麼這麼多關鍵問題還沒有完全解決的時候，你能夠對自己的理論具有那麼大的信心呢？」海森堡的回答是：「就如同你一樣，我相信自然規律的簡單性具有一種客觀的特徵，它並非是思維經濟的結果。如果自然界把我們引向極其簡單而美麗的數學形式唂琠珨〞漣峖′O指假設、公理等貫徹一致的體會𠘚犌V前人所未見過的形式，我們就不得不認為這些形式是真的，認為它們是顯示出自然界的真正特徵。」
美麗的形式會影響人的選擇，數學抑或是其他自然科學皆是如此！
回顧Baumgarten對美學的界定，本質上屬於理性知識的數學便被認為與美學完全無關，可是有如此多的數學家曾經讚嘆過數學的美，這又該如何解釋呢？理性知識就不會有美的感受嗎？關於第二個問題，也許龐加萊的一段話可以當作簡單的答案：「野蠻人愛好刺眼的顏色和聒耳的鼓聲，這只能充塞他們的感官，而希臘人則愛好潛藏在感性美之後的理性美，這種理性美使理性變得可靠、有力。」筆者相信幾乎所有的數學家與龐加萊所言的希臘人一樣，當欣賞到隱藏在數學客體背後的形式以及經過一番論證從而提升自我信心的那種愉悅感時，數學美便油然而生！而這便可當作第一個問題的解釋吧。
如同美與美學一般，欲對數學美學下一個簡短易懂的定義是很難的一件事，不過由於筆者的數學背景作祟，因此筆者還是斗膽地給了一個看法：
數學美既不純粹是外部自然的客觀存在，也不純粹是主體內部的主觀狀態，它起源於數學思維對自然規律的洞悉與領悟，表現於主體情感上的某種愉悅和快意。同時，由於感官僅能認識事物的表象或外表，只有理性才能把握自然界或理想界的內在規律，因而實質上數學美是一種理性美，而數學美學即是探討此種理性美的學門。
由於數學美學的內容廣博浩大且礙於筆者的學識淺薄，因此在未來的一系列文章中，筆者將僅從數學事件的歷史演變以及一些有名的數學問題給予「數學之美」簡單的概述。
最後筆者引用羅素的一段話來結束本文：
數學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正像雕像的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗裝飾，它可以純淨到崇高的地步，能夠達到只有最偉大的藝術才能顯示的那種嚴格完美的境地。
註：筆者乃是美學與數學美學的門外漢，本文的許多內容乃是整理自下列參考書目。文中若有不足或謬誤之處，乃是筆者學識不足所致，尚乞各方先進指正。
參考資料
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