「 最 美 的 數 學 式 」讀 後 感

台師大教學碩士班 陳啟文老師

        數學是人類思考活動的產物,不管它是為了解決社會需要,(例如: 曆法的計算、橋樑、教堂、宮殿的建設等)或是純思維的智力挑戰,它的想像以及直覺給了創造者高度的美學滿足。若是把科學現象以細密的數學語言或符號來詮釋,那麼「數學公式會告訴你發生了什麼而沒說為什麼」。(洪萬生 1999 , p113)

        「如果美的組成和藝術作品的特徵包括洞察力和想像力、對稱性和比例、簡潔,以及精確地適應達到目的的手段,那麼數學就是一門具有特殊完美性的藝術」(張祖貴 1995, p4)
作者師大數學系助教謝佳叡在《HPM》第三卷第四期所做的「最美的數學式」問卷調查一文,著實讓我們執教鞭已久之士,又多了項茶餘飯後的話題。作者雖一再自謙地表示該問卷的選項設計,「設計者個人偏好之融入是無法避免的」、「不少受試者反應選項的同質性還是過高
當初始料未及..」等云云,但我個人以為,其目的若是藉此概略地了解數學系學生的看法,並讓讀者在教學之餘,對數學公式再做省思與回味,上述的顧慮自然是多餘的!試想那一篇研究專題、報告不也是或多或少摻入個人所好或見解﹖而數學公式在不同領域中自有其不同的面貌呈現,以顯示出數學公式在 符號化 後的力與美,否則許多公式其同源的特性是頗高的,例如:仔細思考這些公式不也是相同﹖

 
若由餘弦定理(1)我們又可推知和角公式、棣美弗定理、旋轉矩陣
等不也是「殊途同歸」﹖  

又以
為例,這些看似
性質相近的數學創作,從其符號改變和維度擴充的角度來看,「它依然在任何數學體系的定理中,保持邏輯上的和諧相容」,若將此一層面的鑑賞,分門別類加以”票選”,亦無傷大雅。既是如此,那麼我們對於受試者的反應就不用太過拘泥了。對於作者這種拋磚引玉的工作我們應予以肯定與支持,相信在欣賞之餘,你我皆會發現饒富其趣。

        不過值得注意的是,該問卷若不是規定受測者在一定的時間內做直觀的價值判斷,而是在教室或宿舍中,經由相互研討後而收回彙整之資料,我想或多或少摻雜了些許的變數。畢竟學生從中學時代就與畢氏定理形影不離,在大學中其所學的科目不外乎代數、分析與幾何,而這兩個公式亦或多或少橫跨所開之課程,因此畢氏定理與泰勒公式會榮登最美及最有用的數學式子就不足為奇了。倘若能開個玩笑也讓畢生之成就皆肇於「畢氏定理」之發現的數學家(如下所列)也能票選最有用及最美的數學式,相信此定理必能奪魁:

商高(?1000 B.C.) 提出勾股定理。
畢達哥拉斯(Pythagoras,?570 B.C. )發現畢氏定理,但未留下證明。
希帕克斯(Hipparchus ? 300B.C) 測量地球和天體。

歐幾里得(330 B.C~275B.C)於幾何原本一書中給畢氏定理證明。

趙爽(約公元三世紀人)利用《勾股圓方圖注》解二次方程式。
劉徽(約公元三世紀人)利用《割圓術》求得圓周率。

祖沖之(429~500) 求得牟合方蓋的體積。

        一個有趣的問題是作者以一些最美的式子在最有用的榜上消失,「說明了美和有用不一定相伴而行」,我甚表認同,其中以Fibonacci 數列的角色最為突出,依我個人猜測可能由於大部分師大學生會因將來要從事教職,所以對此數列多所涉獵,發現它可以涵蓋中學的核心課程,極具威力,以下面(7) ~ (13)的式子為例,即可看出它的多樣式風貌。

        但以我在首段文中所言來判斷,Fibonacci 數列所呈現的數學式子在「純思維的智力挑戰」上大於解決「實質的社會需要」,因此在實用性上失去光環,在所難免,至於其他的式子在最有用的排名上互有消長,乃繫於學生個人之所長、所好,無庸置疑,而在最想知道的數學式發展史中Fibonacci 數列又再度位居大學部學生的第二排名,相信與它的深度和廣度有著密不可分的關係。

參考資料:

李儼、杜石然,1997,《中國古代數學簡史》,台北:九章出版社。

洪萬生,1999,《孔子與數學》,台北:明文書局。

吳振奎,1993,《斐波那契數列》,台北:九章出版社。

張祖貴譯,《西方文化中的數學》,台北:九章出版社。

謝佳叡,2000,〈最美的數學式〉,《HPM通訊》3(4)。