兩種不同的數學典範：東方與西方

國立新店高中 蘇俊鴻老師

前言

一位數學教師對數學本質的理解會影響教學上的安排，因此有效地提供教師一些歷史例証，澄清對數學本質的認識，是歷史學家在教學上能夠著力的地方之一。此次演講的主軸將圍繞在東方與西方文化中數學傳統本質不同的介紹，但注意的是，我們並無意去比較這兩種文化的優劣，套用孔恩(Thomas Kuhn)的觀點，東方與西方文化是兩種不同的典範，根本毋需費心比較。建議讀者採用互補替代的觀點，來省察這兩種不同典範所呈現的想法，進一步思考在教學上所產生的啟發。

西方數學的傳統—對証明的熱愛

西方數學傳統的本質是「証明」，這個風氣奠基於希臘人的貢獻。在現存的希臘文本中，討論數學的部份經常出現幾個字眼“epideixis”、“apodeixis”和“deiknumi”，對應於現代的英文翻譯即為proof或是prove(証明)。而証明形式及方法的確立則是由歐幾里得(Euclid，西元前3世紀)所建構完成，並且呈現在他的著作《幾何原本》上，因此《幾何原本》的寫作形式成為後來其他數學書寫作的典範。事實上，希臘人對於數學定理証明的熱愛更勝於對定理本身所描述的事物。有個很好的例子是著名的注釋家普羅可勒斯(Proclus，西元5世紀)在評註歐幾里得的《幾何原本》時，有關畢氏定理的部份，他寫到“對我來說，當我讚美第一個發現這個定理事實的人時，我對《原本》的作者卻更加好奇，因為他利用一個非常容易明瞭的証明建立了它。”根據現在的文本証據顯示，畢氏定理的性質並不是由畢氏學派所發現，早在巴比倫時期它就被人發現，也被使用了好幾個世紀沒有發現任何錯誤，令普羅可勒斯驚訝的是竟然有人能証明出它永遠是對的。對普羅可勒斯來說，「証明」它的重要性遠超過對它的「發現」。

歐幾里得對西方數學傳統的影響在普羅可勒斯之後，又持續了一千五百年之久。使用孔恩的語言來說，這個時期的西方數學正被歐幾里得的《幾何原本》的典範所籠罩著。對當時的學生而言，數學就是利用少數的設準、公設與定義，便能將其餘的定理逐一推衍出來(承襲歐幾里得巧妙建立証明結構的 想法)。雖然我們已經不再直接學習歐幾里得的《幾何原本》，而且在幾何証明上給予更成熟精心的訓練，但歐幾里得式的論述仍然對我們的數學訓練有所影響，証明才是真正的數學，解題的能力是証明建構的訓練過程中可預期的副產品，這是今日大眾對數學的普遍印象。不信的話，可以想想費馬最後定理，儘管許多知名的數學家 無法找到具體的例子來反駁它的真實性，但我們仍然是等到安德魯．懷爾斯發現了它的証明，才願意相信費馬最後定理的真實性，在數學上証明的重要性淩駕於一切事物之上的概念一直是深植於人心的。

但是，將明確的証明當成數學不可或缺的核心可能不是教學上最理想方式。讓我們更進一步來說明，首先由孔恩的觀點談起。

孔恩對解題的觀點

孔恩的著作《科學革命的結構》初版在1962年問世後，遭受很大的爭論。因此在1969年的第二版中，他增加了一篇後記加以說明。在後記中，孔恩嘗試討論他對典範(paradigm)的概念，其中有一個很重要的看法是，孔恩將典範看成共享的範例(shared example)，因此解題(problem-solving)變得相當重要。正如孔恩所寫“科學的認知內容蘊涵在理論與規則中的這個看法，我已嚐試辯明是錯的。…在一開始，以及以後的一段時間內，做問題是在學習有關自然的重要事物。要是沒有這些範例，他先前學到的理論與定律就不會有多少經驗內涵。”[1] 讀者將發現，只要作一小小的替換，孔恩的看法也能適用於數學這一門學科上。除了對理論及定律增加更多經驗性的認識外，學生做這些範例還有其他方面的作用，孔恩寫到“學生常會說他們已經精讀教科書的某一章，但這一章末的許多問題他們解答起來仍感吃力。…學生會發現—也許透過老師的指引—將他的問題看成像是一個他以前碰到過的問題的方式，看出相似性，…，再以以前証明為有效的方式，使符號與自然產生對應關係。……通報學生觀看這個情境的蓋士塔(gestalt，也稱為知覺模式)是什麼，最後所獲得的在各種情境中看出它們彼此的相似處的能力，我認為是做完範例問題後主要收穫。不管學生是以紙筆做的，還是在設備完善的實驗室中做的。”[2] 無論從教學者或學習者的立場，應該對此一描述不感陌生才是。然而，孔恩所指出的事實，並非由歷史的角度識別出西方文化中這種教學的模式(the patterns of teaching)。

實際上，許多數學教師採用歐幾里得式的想法來看待數學—定理具有美麗與清晰的邏輯結構，並且被巧妙設計、堅固且優美的演繹推理所連接的事物。不論在幾何、代數或分析的課程上，典型作法都是如出一轍，老師在課堂上先是對一些定理小心的說明與証明，學生將它抄寫在筆記本上，接著在測驗中重現課堂上所討論的內容。學生總是被假設：如果上課能注意老師的講解，便能對上課內容清楚地了解，進而能解決章末問題及老師所交付的回家作業。學生如果解不出問題，一定是不夠聰明或者是上課不夠認真聽講。在這樣的假設之下，對定理學習困難的學生將無法躍過障礙，進入自行解題的境地，從而享受做數學的樂趣。難道這是學習數學的唯一途徑嗎？事實上，中國古代的數學似乎可以提供我們解答。

一個替代性的典範—中國古代的數學

正如先前所討論希臘的數學傳統，它賦予「証明」祟高的地位，並且由極小量的基本性質當成証明的基礎來推論出其他的定理。如果以這樣的標準審視中國古代的數學，將會大失所望，到處充滿許多實例及有用的方法，卻沒有基本的邏輯証明與結構。這正是提醒各位需要注意的，別忘了孔恩說過，典範之間是沒有比較的需要。

想要了解古代中國數學的風貌，可以採取的策略相當的多，此處採用的方法是透過還原當時從事數學活動的對話加以觀察，以《周髀算經》中榮方問於陳子的一段對話為例。[3] 《周髀算經》為《算經十書》之一，原名周髀，算經二字是唐代才加上的。它並不是一本算學入門書，讀者被假定已經會加減乘除及龐大數字的開方。全書並沒有數學性的原理被提出，僅是一些單純的幾何測量問題，如何運用畢氏定理(即句股定理)解決，稍後會談到的《九章算術》也是類似此種問題導向的形式。但兩書不同的地方，《周髀算經》內容的第二部份“榮方問於陳子”的對話，主要是談論學習數學的方法，藉由兩人的對話，我們可以看出當時對數學本質的看法，以及該如何學習它。

對話開始是榮方聽到陳子講述周公與商高的問答[4]，便請教陳子其中道理，陳子告訴榮方其法出於算術。因此榮方回家苦思數日不得其解，再度求教於陳子，陳子認為原因出於“子之於數未能通類，是智有所不及而神有所窮。”此處陳子所說的“類”所指涉相近的意義應是“類型”，陳子認為學數必須通曉它的類型，方能舉一反三，推廣至各個層面，“是故能類以合類”。這樣的想法，劉徽在《九章算術注》序中也有所呼應“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分再本幹知，發其一端而已。”[5]《九章算術》以歸納的方式將許多實際問題分為方田、栗米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股等九章。對劉徽來說，每種事類都像樹木的枝條一樣，雖然各自分出，但卻是來自相同的樹幹，同樣的根源。因此，歐幾里得的目標是由少數的公理推導出許多的定理；劉徽則告訴我們《九章算術》的目標是將許多的問題歸納出少數的方法。明顯地看出，這兩種數學訓練的進路(approach)是彼此不同，卻可以互補的。

結論

為何希臘的數學作品充滿著對証明的討論，而中國古代的數學作品卻是喜歡說明如何解題呢？這個問題的答案可以從這兩種不同文化形成的社會背景來探討。在古希臘，許多的數學作品都是在同一學派的人經由廣泛的爭論(debate)所形成的。在首都雅典，人們被允許可以在公開場合發表言論，卻也得接受別人的挑戰與質疑，因此必須用証明的手法來正當化自已的觀點。當時蘇格拉底公開抨擊先前的宗教思想體系時，也曾與他所居住城市的巿民有過一場公開辯論呢！在古希臘的傳統中，知識份子想要維持生計，是不能依賴政府提供工作，他必須隨時接受競爭者的挑戰，設法証明對手論述的盲點與錯誤，為自已贏得名聲，吸引學生進入門下。[6] 在這樣的脈絡下來審視歐幾里得的作品，便不難理解為何普羅可勒斯會認為証明為真比發現要來得重要。

反觀古代的中國，無論社會或政治的背景，均與古希臘截然不同。知識是不被公開討論的，只能在官方体系中以師徒關係傳承下去，數學知識當然也不例外。陳子與榮方的對話，也是老師向學生傳授知識，榮方毫無懷疑地接受陳子所說的一切，不會要求老師必須証明論述為真。所以在對話中，陳子不曾使用「証明」的字眼，但這並不意味中國人就對証明毫無興趣，劉徽在注解《九章算術》時，就設法要說明每個問題的術文為真的理由，只不過形式與希臘人不同罷了。在師徒授與的過程中，老師的工作主要是幫助學生學習解決問題的能力，像陳子的作法便是將解題的方法歸成「類」的概念，數學的特徵便隱涵其中。因此論述數學形式的差異深受不同的社會環境的影響。

這樣的歷史事件對今日的數學教學有什麼的幫助？它至少讓我們了解，長久以來西方數學傳統將「証明為中心」視為最佳的數學知識討論形式，其實是受到特殊歷史環境影響所造成。事實上，在不同的文化-政治環境的影響下，人們是會建構出不同的數學知識論述形式。因此，我們應該選擇適合學生的數學風格(mathematical style)來進行教學活動。如果學生能夠駕馭「証明-定理」，當然適用以「証明為中心」的數學課程安排。反之，教師為何不更弦易張，嘗試採用以解決實用問題為主，培養解題的技能的課程呢？歷史已經提供我們答案。

參考書目

Christopher Cullen, (2000), Becoming a mathematician in East and West: some cross-cultural considerations, Proceedings of the HPM 2000 Conference, pp18-26.

王道還等譯，孔恩著(1991)：《科學革命的結構》，遠流出版事業股份有限公司。

李迪(1997)：《中國古代數學通史》上古到五代卷，江蘇教育出版社。

靖玉樹編勘(1994)：《中國歷代算學集成》，山東人民出版社。

郭書春匯校(1990)：《九章算術》，遼寧教育出版社。

郭書春(1995)：《古代世界數學泰斗—劉徽》，明文書局。