數學史、數學教育與終身學習:來自紐澳的啟示

百齡中學 唐書志老師

        在千禧年這場數學史與數學教育盛會的最後一天,來自澳洲的Gail E. FitzSimons和來自紐西蘭的Andy Begg分別為數學教育裡的數學史提出不同於其他與會學者的思考路徑。當許多關心數學教育的學者從數學史中尋找數學教學的素材與靈感,報告自己在數學課堂內應用數學史或數學文本的研究和經驗,這兩位卻轉入更深一層的考量:Gail將視野擴大,探究終身學習概念下數學史的教學地位,而Andy則回到根本,重新思索數學教育中引進數學史的理由與發展空間。

        Gail這篇論文名為「澳洲觀點下的終身學習與數學史」,一開始先簡介「終身學習」的概念,以及澳洲數學教育在這個概念下的發展現況,隨後根據這些概念現況與數學教育的理想,建議數學史在其間可能扮演的角色。Andy則是在他的論文標題裡直接質問數學教育裡「為什麼有數學史?它足夠嗎?」,從「數學」、「教育」的內涵出發,賦予數學史在數學教育中的定位,並且為應用數學史於數學教育界的教師和研究者們提出一些作者認為居於關鍵的問題。乍聞之下,除了都是與「數學史」有關外,兩位學者所注意的領域並不相同,然而細讀以後,將會發現他們都企圖以「數學教育」為基準,探討引入「數學史」的「合理性」與「必要性」,而非總是「為了要數學史才引進數學史」,只不過因為依循的脈絡方向不同,才會呈現不一樣的論文主題。

        在Gail的文章裡,「終身學習」是重要的脈絡主線。聯合國教科文組織曾經揭示如下的主張:我們有必要重新思考與拓張「終身教育」的想法--它不僅是要能讓人適應工作本質的變化,也要能建構出一條發展人格的連續道路來,好讓人可以發展對自我與所處環境的知覺,並且進一步鼓勵他們自己在工作與社會上扮演好社會角色。Gail覺得,這股世界潮流意謂「義務教育」與「義務後教育(post-compulsory)」中的數學課程必須從「民族數學(ethnomathematics)」與數學史取材,而不強調傳統的數學教育方式。之所以有這個想法,乃是因為傳統課程中的數學常被看成不沾人性、亙古不移、隨時隨地可以取用,其中的歷史與文化成分雖然被拿出來說說,但總被看成聊勝於無。可是「終身學習」的世界裡,不論「彈性學習(flexible learning)」或「職場學習(workplace-based learning)」,「人」的歷史、文化、發展與主體性總是被強調出來,而以往常成為隔閡的身份、階段、與空間上的界線都顯得模糊了。要讓學習者在數學課堂體會這些重要的轉變學到足以應用的數學知識和數學能力Gail認為「數學史」佔有相當重要的份量。

        早期在澳洲談及培育基本能力的時候,除去「蒐集、分析、組織資訊」、「溝通想法和資訊」、「計畫與組織活動」、「與他人及團隊一起工作」、「使用數學想法與數學技術」、「解決問題」、「善用科技」等等核心技能外,「理解文化並且善用這種文化理解」的能力也被提出來討論,但成人教育界的數學課程仍常以實用技術掛帥,並未讓學習者從民族數學或數學史中得到文化理解的陶冶。可是澳洲「成人教育、社區教育暨進階教育委員會(The Adult, Community and Further Education BoardACFEB)」在1996年的成人教育課程綱要中開始明白指出「文化理解」的重要,同時要求成人必須使用「一種可以讓人認知數學文化與歷史源頭的方式」來學習與數有關的技能。稍早在1990年由澳洲教育協會(Australian Education CouncilAEC)公布的「澳洲學校數學說帖(National Statement on Mathematics for Australian Schools)」中更直接點明數學史的角色,要讓在學學生經驗數學發展的歷程,有機會探索錯誤的概念與推理、還有前人悠游於數學中的動機,以及許多想法及技巧的源頭,感受過去現在社會與文化的脈絡,滿足他們在功利與美學上的需求。換句話說,如果將「數學教育」放在「教育」與「終身學習」的大架構裡觀察,為了培育「人」的文化理解和自我發展,數學本身的歷史與文化成分當以「數學史」的形式在數學教育中起相當重要的作用。Gail介紹了他們在澳洲的努力,但直到現在仍只是個起頭而已。

        有趣的是,如果我們不將「數學教育」放入「終身學習」的大框框,而是直接了當地剖開來分析,那麼Andy的文章恰好讓我們有個省思「數學教育」的機會。站在「教數學」的角度,數學史可以引發學生學習數學的興趣,也讓數學更添人味,同時學生有需要知道數學這個科目所牽涉到的一切,以及數學家如何使這些數學技能發揮功用,才能培養觀照全體的能力,數學史在此提供了一條不錯的路。不過話說回來,Andy也在此處給了這樣的一些問題:我們究竟希望學生學到有什麼內容的數學?想讓數學增添的是西洋味兒還是本土味兒?所要利用的數學史是男人觀點的歷史還是女性觀點的歷史?甚至有些地方的數學從未獨立出來教授,那麼我們又能夠做些什麼呢?

        Andy Begg注意到,時下討論數學教育的論述中,「製造連結(making connections)」是個常常聽到的詞彙。他認為這個詞彙的意義應該包含好幾類向度:既是學科內各部分間的連結,也是同學科外其他科目的連結,既是和日常生活的連結,也是和將來可能遭遇工作的連結,既是與學生自己先備知識的連結,也是與他們所處歷史、文化脈絡的連結。在他看來,這些部分正是數學史會遇到的。當教師透過有趣的歷史敘述為數學教材「製造連結」,便是為這個科目擴充或增添了額外的向度和人情味。Andy將這些連結甚廣的課程,統稱為「整體課程(holistic curriculum)」。

        藉由學習理論(主要是enactivism)的探討,Andy指出數學學科、日常生活和文化、歷史間的「連結」本就是自然「存在」而非刻意「製造」出來的。一旦我們體認到教師與學生正在共同參與這些「連結」和「脈絡」,那麼究竟是要教授西方的數學還是多元文化觀點下的數學,要教授學生傳統學術性的數學成果還是為學習者呈現數學活動的各個層面,端視我們心目中「知道(knowing)」與「學習(learning)」的定義是什麼,我們想要在學校教的是什麼,以及我們準備怎麼引用歷史而定。「整體課程」的觀點便是為了讓我們重新思考目前的處境與往後的發展,進而透過「大處著眼,小處著手(think globally, act locally)」的原則,回應當下數學教育面臨的各種挑戰。僅僅「教數學史」並不夠,背後的思考路徑和更多的省思才足以影響數學與數學教育發展的方向。

        就文意來看,GailAndy的這兩篇文章都沒有完足,讓人在讀完後仍感到意猶未竟。筆者就覺得Gail的文章裡常常有一股想要細說從頭的衝動,想告訴你「終身學習」的意義,想告訴你這幾年澳洲制度的演變及理由,Andy的文章則不時提出問題要讀者思索,答案卻彷彿一直藏在雲深不知處。

        其實,再想一想就會發現這些是有道理的。終身學習理論的形成並沒有多久,數學教育為世界所重視也是最近的事。如果我們相信數學教育的功能絕對不僅止於培育數學家,看出參與數學學習課程的人來自四面八方、帶有各種文化淵源當然這些人又都是獨一無二地重要,而我們又總是期望受過數學教育的學生能夠在不斷變動的未來善用數學技能與素養,那麼我們將會同意:創造一個適合人們不斷進行終身學習的數學學習環境是必要的,培養人們足夠在往後生活中學習數學的基本能力與興趣是必要的,進而要求人們可以理解和包容不同脈絡下的數學觀點與數學表現,以期維護數學和社會文化的生命力也是必要的。如此一來,在數學課堂中所展現的教材與教學技能才有可能因為教師的信念產生一定的「正確力量」。這種從對數學教育的「心」或是「哲學觀」所產生的影響,將具體表現在學生的學習成果上。Gail要細說從頭,正是因為「終身學習」已然成為教育思潮的主流,而數學教育又是所有教育中的重要部分;但終身學習理論的發展迄今不超過半世紀,且一開始所圍繞的主體大都是在職成人,這些恰恰為數學教育界較少關注的部分。「為何」以及「如何」將終身學習的理想,結合數學教育的理論、實務,算是一門剛起步的學問,Gail自然要用不少篇幅讓讀者概略認識一下談論的背景。筆者更猜想Andy是因為體認到「哲學觀」的影響深遠,才努力提醒各位讀者必須不斷質問自己問題,畢竟一條思路不見得就適合每個數學學習環境,兩位學者也自認文章中的論述仍有繼續發展的空間。

        有意思的是兩位學者的想法中,數學史正好在探討終身教育與數學教育的連結、以及探問數學教育需要什麼、可以怎麼發展的狀況裡居於樞紐位置。假如暫且拋開哪些歷史題材可以運用的問題,數學史所象徵的人文精神和學習研究模式,似乎恰好承擔了凸顯數學教育所處脈絡的角色。筆者建議,數學教育工作者可以考慮在從歷史尋找教學素材靈感的同時,也繼續本著關懷歷史、尊重歷史與開創歷史的心,面對數學教育中的「人」(例如學生和教師同仁),在致力教學之餘,也依循必要的脈絡參酌其他領域的研究所得(像是數學學習心理學或終身學習理論),思索數學教育之所從來與何所去。

參考文獻:

Begg, Andy. (2000): History of mathematics: why, and is that enough? In Proceeding of the HPM 2000 Conference,
         History in Mathematics Education: Challenges for a new millennium
. Taipei: NTNU.

FitzSimons, E. Gail. (2000): Lifelong Learning and the History of Mathematics: A Australian Perspective. In Proceeding
         of the HPM 2000 Conference, History in Mathematics Education: Challenges for a new millennium
. Taipei: NTNU.

唐書志與謝豐瑞(2000):高職補校學生的數學印象-從文本到模型。In Proceeding of the HPM 2000
         Conference, History in Mathematics Education: Challenges for a new millennium
。Taipei: NTNU。