『虛擬演講稿』   對象：國三學生適用

畢氏定理探源

台師大學數學研究所教學碩士班萬華國中洪明賢老師

       大家都知有關直角三角形兩股與斜邊關係的公式a²＋b²＝c²叫做「畢氏定理」，也就是「畢達哥拉斯定理（Pythagorean  theorem）」，因為大家都認為這是畢達哥拉斯發現的，或者至少是他最先證明的；其實，事實並不一定如此，也沒有確鑿的證據；因為至少在更早之前的中國、印度、巴比侖、阿拉伯等國家，都有接近畢氏定理的東西遺留下來，所以目前國內也有人以中國古老數學中曾提及類似「畢氏定理」的敘述，而主張將畢氏定理改稱為「商高定理」或「陳子定理」。

      「畢氏定理」到底有何魅力，會令大家如此重視及爭執呢？現在讓我們一步一步來解開他的面紗？

            一、畢達哥拉斯學派

        畢達哥拉斯生於公元前572年左右，一個位於愛琴海薩摩斯島（Samos）上的貴族家庭；年輕時曾師事於愛奧尼亞學派的領導人泰利斯（Thales），後來到埃及和巴比侖等文明古國遊歷，一般咸認畢達哥拉斯在遊歷的過程中汲取了相當多當時所使用的數學知識，真是所謂「行萬里路勝讀萬卷書」。

       後來他定居於義大利南部的克羅頓（Croton），並在此地創設一間學校傳授數學及其哲學思想，此學校的成員就是後人所謂的「畢達哥拉斯學派」。

       畢氏學派的宗旨是「萬物皆數」（All is number），他們認為數是形成宇宙的要素，所有的東西都含有數的成分，是實體的最根本；另外，數與自然的關係也是畢氏深感興趣的範疇，他認為自然現象是由規律所支配，而這些規律可由數學的方程式來描述；因此他們在數論、幾何、天文、音樂等方面都有很高的造詣，但因其組織嚴密且有濃厚的宗教色彩，許多的發現發明都是秘而不宣的，所以外人鮮知其詳。故而畢達哥拉斯是否真正發現勾股定理，在歷史上並無確切的證據，只因公元前2世紀，希臘一位學者阿波多羅斯（Apollodorus）曾用詩句寫了一本《希臘編年史》，其中提到「畢達哥拉斯為了慶祝他發現了那個著名的定理，宰牛作犧牲來祭神」，但並沒有指明是哪一個定理，只是後人利用許多線索來推斷，認為應該就是勾股定理，所以就將它冠以畢達哥拉斯之名而一直沿用至今。

       二、            畢達哥拉斯數 

為何我們會認為是畢達哥拉斯發現勾股定理呢？這就得從「畢達哥拉斯數」談起。古埃及的數學家已經知道當三角形三邊長的比例為3：4：5 時，此三角形為直角三角形，而3²＋4²＝5²，所以3，4，5 就是一組畢達哥拉斯數；另外古巴比侖的數學家也知道5²＋12²＝13²，所以5，12，13 也是一組畢達哥拉斯數；不過這些數學家只知道畢達哥拉斯數的一些特例，而畢達哥拉斯學派卻發現了畢達哥拉斯數的一種公式，即 m，（m²－1）/2，（m²＋1）/2  而這裡的m 代表奇數。

        畢達哥拉斯學派是怎樣發現這種公式的呢？這是由於此學派對數字與圖形的關係有一種特殊的理解，這概念就叫做「形數」。形數被看作是某些幾何圖形中點的數目，它們成為幾何學與算術之間的橋樑。（如圖一、二、三）

【圖一】三角形數

【圖二】正方形數

【圖三】五邊形數  

正方形數還有另外一種表示法，如右圖四

從右圖四可以看出，由個n²點所組成的方陣

只要再加上（2n＋1）個點，便能組成由（n＋1）²

個點所組成的方陣，即

      n²＋（2n＋1）＝（n＋1）²                       【圖四】

如果令2n＋1＝ m²，那麼                             

        m² ＋( )² ＝ ( )²       

而此式子正具有畢氏定理的形式。因此，令m＝3，5，7，9，…….，

我們便可依序得到 （3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）…..

等無限多組的畢達哥拉斯數；由此看來，畢達哥拉斯學派因為分析了正方形數的圖形，而發現了畢達哥拉斯數的一種公式，若再由此推演出畢氏定理的猜測，似乎變得非常的合理了。

      三、 畢達哥拉斯的證明

對於勾股定理，現在至少有三種不同的理解，當然表達的方式也就不同。

(1). 在直角三角形斜邊上的正方形等於直角邊上的兩個正方形。

這就是歐幾里得《幾何原本》卷I第47命題。注意這裡講的純粹是幾何圖形之間的關係，完全不牽涉到「數」的問題；所謂『相等』是指圖形的拼補相等，即將兩個小正方形剖分成若干塊，可拼湊成斜邊上的大正方形。因為既然沒牽涉到數，也就無所謂的『和』（相加），故命題的原文並無『和』的字眼出現。

(2). 直角三角形直角邊上兩個正方形面積的和等於斜邊上正方形的面積。這裡將圖形的面積看成一個數，由定理指出這兩個數的和等於第三個數。須注意的是歐幾里得從來沒有將面積看成是一個數來加以運算

       (3). 直角三角形斜邊長度的平方等於兩個直角邊長度平方之和。

長度是數，平方之後還是數，定理講的是數與數之間的關係，並不考慮數字平方之後的幾何意義。

這三種說法的意義是不同的。第一種不妨稱之為『形的勾股定理』，第二、三種稱之為『數的勾股定理』。 畢達哥拉斯是否發現了勾股定理？歷史的真實情況可能是他發現了『形的勾股定理』，至於「數的勾股定理」應還沒認識到，或至少是猶豫不決的。理由是這個學派雖然發現了不可公度量，但拒絕承認無理數是數。它們認為萬物都可以用數來表示，但那個數是自然數與分數；除此之外，不認識也不承認其他的數。以最簡單的等腰直角三角形為例，設直角邊長為1，如果『勾股定理』成立，則斜邊長的平方為2，於是便將出現『什麼數的平方會是2 』的問題，當他們感覺到任何有理數都無法滿足斜邊長的時候，必定會大惑不解；因此，很難說他們已經建立了『數的勾股定理』。

至於「形的勾股定理」後人認為畢達哥拉斯學派應的確發現並給予證明，而被爾後的歐幾里得編入《幾何原本》之中。對於他們是如何證明的呢？關於這一點，之後的數學家做了許多合乎情理的推測。

這個學派曾研究過地磚的問題，利用等腰直角三角形來舖成一個正方形地板是很常見的，從圖形上不難看出直角邊上的兩個正方形合起來正好是斜邊上的正方形！受此啟發，自然推想到非等腰直角三角形的這個關係應也能成立。在眾多猜測中，下面的這一種證法應是比較貼近畢達哥拉斯的證法（由印度數學家拜斯卡拉˙阿查亞Bhaskara-Acharya提出，但那已是公元1150年的時候，比中國三國時代的趙君卿晚了一千年，此事稍後再敘）：

任給直角三角形ABC，邊長各為a，b，c；

以 a＋b為邊作正方形，它是由4個全等三角形和

c邊上的正方形所拼成。如果將這些三角形重新排

列，便可看出正方形CD也可由同樣的4個三角形

及a、b邊上的兩個正方形拼成。

故得知：正方形K＝正方形M＋正方形N

四、           歐幾里得證明

在歷史上，完整而嚴密的最早證明應屬歐幾里得《幾何原本》卷I第47命題的證法，其要點如下：設□AD，□AE，□BF分別為直角△ABC三邊上的正方形；連接 BE、AF，作AG∣BC；可得知△BCE∼△ABC，但□AE面積是△BCE的2倍（同底等高），同樣□GE是△FCA的2倍，故□GE＝□AE；同理可證，□BG＝□AD，

於是

□ BF＝□BG＋□GC＝□AD＋□AE。

五、中國古代的勾股定理

        在中國，數學的起源也可追溯到遠古。到西周時期（公元前11世紀~前8世紀），「數」作為貴族子弟必習的『六藝』（禮、樂、射、御、書、數）之一，已形成專門的學問，有些知識後來成為中國最早的兩部傳世數學著作 ―《周髀算經》與《九章算術》的部分內容。

        《周髀算經》同時也是一部天文著述，作者不詳，成書年代據考當不晚於公元前2世紀。而中國第一次出現畢氏三元組（3，4，5）的記載，便是出現在《周髀算經》中的開首數頁：

昔者周公問於商高曰：「竊聞於大夫善數也，請問古者包犧立周天曆度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？」商高曰：「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。故折矩，以為勾廣三、股脩四、徑隅五。」

周公姓姬名旦，是周武王的弟弟，商高是當時周朝的大夫。這一段是周公與商高的問答。商高指出夏禹治水（曰公元前21世紀）時已經知道用3：4：5的方法來構成直角三角形。此對話在時間上並不晚於埃及、巴比倫的最早記載，但它僅只是提出勾股定理的特例，至於是否掌握一般型式，還沒有證據能加以肯定。

        確實掌握勾股定理一般性的應是陳子。根據《周髀算經》記載：

昔者榮方問於陳子，曰：「今者竊聞夫子之道，知日之高大、光知所照，一日所行遠近之數，人所望見四極之窮，列星之宿天地之廣袤，夫子之道皆能知之，其信有之乎？」……陳子曰：「周髀長八尺，夏至之日，晷一尺六寸。髀者，股也。正晷者，勾也。…………若從邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之，得邪至日，從髀所旁至日所十萬里。」

當時以為地是平的，從太陽向地平面作垂線，垂足叫『日下點』。太陽、日下點、觀測點三者構成一個直角三角形，以觀測點到日下點為「勾」，日下點到太陽的高度為「股」，勾股各自乘，相加後開方，即為觀測點到太陽的距離。因此，『勾股各自乘，並而開方除之』的這句話，是勾股定理普遍型式在中國的最早記載。於是，有人因而主張將勾股定理命名為「商高定理」或「陳子定理」，以發揚中國人在這方面的成就。但是否有必要在此緬懷『光榮的過去』而做名稱之爭呢？就見仁見智、端賴各位的自我認定了。

六、           趙君卿的證明

        『勾股定理』的證明很多，可能是所有數學定理中證法最多的。盧米斯（Elisha Scoot Loomis）蒐集各種證法，寫成《畢達哥拉斯命題》（The Pythagorean Propositions）一書，裡面記載了367種證法。當然，實際證法更不止於此，各位靈感一來，都可以隨時再添加一個。而其中最受注目的，當數印度數學家拜斯卡拉˙阿查亞（Bhaskara-Acharya）所提的「弦圖證明」，因為它的簡潔漂亮，遠遠超越了《幾何原本》的『面積證法』與『比例證法』。

【圖五】巴斯卡拉「弦圖證明」

在中國《周髀算經》文本中，並沒有給出「勾股定理」的證明。但《周髀算經》的註釋者趙爽（字君卿，三國孫吳人）在他的〈勾股圓方圖注〉中，雖短短五百餘字及若干圖形（現傳本不全），卻蘊含了迄今所知中國古代最早的『勾股定理』證明。

有關趙爽的〈勾股圓方圖注〉，近代史家早有研究，但各有不同見解。以下以陳佐良教授之研究，來推論還原趙爽的勾股定理證明：

一.     給定一個直角三角形，以之勾和股，求弦。

二.     先將勾、股兩邊長自乘，其次把乘積化為圖形，得一個勾股形及三個正方形。

三.         利用「更相取與、互有所得」（即將圖形分解，出入相補）將兩個小正方形合併之後，分解成四個勾形及一個小正方形。

四.     最後，將這些勾形及小正方形，一個一個取下來，放在一起重新組合，得到一個新圖形恰與弦邊的正方形相疊合，於是得證「勾方加股方等於弦方」，即「勾股定理」。

七、            結語

陳教授比較巴斯卡拉的「弦圖證明」與趙爽的〈勾股圓方圖注〉，發現兩者的基本構想其實相同，但趙爽是證明a²＋b²等於c²；而拜斯卡拉則反其道而行，證明c²等於a²＋b²；因此下了一個重要的結論：「若從思想發展的邏輯過程來看，趙氏的步驟和圖形變化都是非常自然又合理；但拜氏則相反，實在令人有突然而來之感。所以作者認為拜氏的弦圖可能來自中國。」

西方數學史家卡爵利（F . Cajori）也曾認定拜氏的弦圖源自中國，這些看法在中、印的文化交流史上當然頗具意義，因為在許多印度數學大師的著述中，的確不乏中算輸入的痕跡，但在未找到直接證據之前，有關這些中外文化嬗遞的問題討論時應適可而止。不過，由於趙爽的證明並非孤例，因此我們至少可樂觀的認定：中國數學史上的「勾股定理證明」是獨立發展出來的！

參考書籍：

洪萬生 (1999).《從李約瑟出發》，台北：九章出版社。

李文林 (2000).《數學珍寶》，台北：九章出版社。

李兆華 (1995).《中國數學史》，台北遼寧教育出版社

李信明 (1997).《數學家傳奇》，台北：九章出版社。

李儼、杜石然 (1997).《中國古代數學簡史》，台北：九章出版社。

梁宗巨 (1998).《數學歷史典故》，台北：九章出版社。

歐陽絳 (1994).《數學的藝術》，台北：九章出版社。

蘇意雯 (1998).〈畢氏定理淺談〉，《HPM台北通訊》第二卷第七期。