阿拉伯代數在數學教學的應用:|
以一元二次方程解法為例

                                                        台北縣中正國中 陳鳳珠老師

從數學演進的脈絡看來,阿拉伯數學研究對現代數學發展的影響與重要性是不容忽視的,1其實,它為今日數學教學所帶來的啟發也同樣值得我們注意。因此,本文將介紹阿拉伯數學家關於二次方程解法的研究,以作為中學教師進行相關課程教學時的參考。

阿拉伯重要數學研究活動中心巴格達的「智慧宮」(House of Wisdom)裡聚集了許多學者,進行著大量的翻譯工作。他們除了將希臘、印度數學著作翻譯成阿拉伯文之外,並同時吸收與融合巴比倫、印度和希臘等文明的數學思想,開創出另一數學研究風貌。以阿拉伯數學最具代表的成就-代數研究為例,他們除了採用巴比倫人解二次方程的演算程序 外,同時,也受到希臘數學深刻的影響,賦予方程解法演算步驟的幾何意義。

若要對阿拉伯代數研究有進一步的了解,就得先認識阿拉伯數學家的代表人物阿爾花拉子模(Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi, 780-850)的相關研究。他出身於波斯北部的花拉子模城,是智慧宮的領袖學者之一,他著有《算術》一書,今只留下一本殘缺的拉丁譯稿,18世紀正式出版時定名為《印度計算術》(Algoritmi de numero indorum), “Algorismi” 是阿爾花拉子模的拉丁譯名,現代「算法」(Algorithm)一詞就是源自於此。他的另一本書《代數學》(Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala,約在820年),書名意謂「還原與對消的科學」,“al-jabr” 有「還原」的意思,是指把負項移至方程的另一端還原為正項,在經轉譯後成為今日 “algebra”(代數)一詞的來源, “a-l-muqabala” 原意為「對消」,是指方程兩端可消去相同項或合併同類項。兩者均是解代數方程時,經常要使用到的技巧,譬如,求解一次方程3x+14-2x,可經由「還原」將 -2x移至等號的左邊,得到方程5x+14;再把等號左右兩邊同時減去1,將之「還原」成5x3,在求得x3/5

阿爾花拉子模在該書中,將二次方程分為六類,亦即「平方等於根」(ax2=bx)、「平方等於數」(ax2=c)、「根等於數」(bx=c)、「平方與根等於數」(x2+bx=c)、「平方與數等於根」(x2+c=bx)以及「根與數等於平方」(bx+c=x2)。他所稱的數(number)、根(root)與平方(square)分別是我們今日所指的常數、未知數與未知數的平方,同時他也是第一位把未知數叫做「根」的數學家。不過,由於他並未引進負數的概念,因此,他所處理的方程的根與係數均限於正數(abc0)。相較之下,今日已相當熟悉負數的我們就方便多了,以ax2+bx+c=0abc可正可負)就可代表一般的二次方程。

此外,阿爾花拉子模以實際的例子介紹上述六種方程求解的演算方法,並作為一般解法的說明,另外,還提出上述後三類方程解法的幾何解釋。以下,就讓我們來看看他的作法。關於x2+bx=c這類方程,他是以「一平方和10個根等於39個單位」,亦即二次方程x2+10x=39為例,其解法如下:

這類方程的解法就是取剛剛提到的根數的一半。在這個問題中,根的數目是10,因而取5,將其自乘,得25,把它同39相加,得64,開平方得8,從中減去根數之半,即5,餘3。數3就表示所求平方的一個根。2

我們可以發現,他針對實例所提供的解題步驟,是適用於任一形如x2+bx=c的方程式的,若以現代符號表示其解法,即 。此外,他還指出如果遇到形如ax2+bx=c的方程式,平方項係數不為1時,僅須將該方程轉換成 ,也就是將x2係數先化為1,然後再依照x2+10x=39的演算程序求出其解。3

接著,他針對二次方程x2+10x=39的解題步驟,提出兩種幾何解釋。首先,他以正方形ab邊長表示為此方程的根x,則x2代表正方形ab的面積(見圖1);接著,再把長x、寬10/4的四個矩形(cdef)加到正方形ab的四個邊上(見圖2),此圖形面積和即為x2+10x,亦即等於39;最後,將邊長為10/4的小正方形補到圖形的四個角落,成為邊長為x2×10/4的大正方形GH(見圖3),面積就是39+4×(10/4264,因此,正方形的邊長x2×10/4應該等於64的(正)平方根8,最後,就可以求出此方程的一解x3

      

         圖1                               2                                       圖3

 

可知,阿爾花拉子模上述方程解法的幾何解釋與解該方程的計算程序
x
是一致的,換言之,他為其方程解法的演算程序提供了幾何解釋。

另外,阿爾花拉子模也提供了相當於今日所使用的「配方法」的幾何解釋:

3就表示正方形ab的一個邊,即所求未知數平方的一個根。且未知數的平方是9。因此,我們取10的一半,將其自乘。當我們把這一乘積加上39時,大正方形GH就可以畫成了(見圖4)。4

4

也就是說,其相對應求解方程x2+10x39的演算程序為x2+10x+10/2239+10/22,即(x+5264,得x+58,可知x3

如前所述,阿爾花拉子模對於形如x2+c=bx這樣的的二次方程,也以實例說明其解法及其幾何解釋。他以x2+2110x為例,其求解的程序如下:

首先,取根的一半,本例為5,自乘得25。從25減去與平方連接的21個單位,5得4,取其平方根,得2。從根的一半,或5,減去2,剩下3,為平方的一個根,平方本身當然就是9。假如你願意的話,你可以將根的一半即5,加上你原先減去的2,得7,為平方的一根,49則是此平方。6

 

若以現代符號表示,其解法相當於 。此外,他還提醒讀者,如果遇到 c的情形,則此方程式不成立;如果 c,則此方程的解為 ,以及若平方項係數不為1時,和前一例相同,將該係數轉換成1即可。

然後,他再給出上述計算步驟的幾何解釋。首先,畫出面積為x2+21的矩形AD,其中矩形AFBH是邊長為x的正方形,矩形FGDB面積為21,由於x2+2110x,所以,HD10

4

接著,取HD的中點E,再過E作垂線ET,使得ETHA。將ET延長至C點,使得TCTG,並畫出正方形TGLCENMC

5

因此,TCLCECMC,得TELM。又GDAHHBGLDEHE HD5,所以,EBDL,可知矩形FTEB=矩形DEML。最後,正方形ENMC=正方形TGLC-(矩形TGDE+矩形NDLC)=矩形TGLE-(矩形TGDE+矩形FTEB)=(10/22214,亦即ECDLEB2,故求得該方程解x10/223。換言之,給出了二次方程x2+2110的一解 之幾何解釋。

然而,阿爾花拉子模僅考慮E點在線段HB外的情形,對於E點也在線段HB中間的情形(可求出此方程的另一解7),並沒有提出相關的幾何說明,僅提到假如將ECEH相加,得NH,等於7為另一解。

不過,我們發現在與阿爾花拉子模在同一時期的阿拉伯數學家ibn Turk的著作《代數》(Kitab al-jabr wa’l muqbala)中,有提出了求解二次方程x2+2110的另一根 演算程序的幾何解釋。他的方法與阿爾花拉子模上述的方法相仿,不同的地方,就是讓HD的中點E落於HB之間,接著作出正方形CEDLBENT(見圖6)。

6

由此可知,CTBDMLTNEBHBHEAHEDAHLDGL,所以,矩形CMNT 矩形GFML。最後,正方形TNBE=正方形CLDE-(矩形MLDB+矩形CMNT)=(10/22-(矩形MD+矩形GM)=25214,得xHBHEBE527

    事實上,這樣藉助幾何論證來說明方程數值解法的方式,正是阿拉伯數學的一大特色,7甚至依然出現在十六世紀義大利數學家卡當諾 (G. Cardano, 1501-1576) 的數學著作《大術》 (Artis magnae, sive de regulis algebraicis liber unus)中。由此可見,這種進路對於歐洲數學的發展具有相當程度的影響,而且在數學史上具有相當重要的地位。

如前所述,阿拉伯代數在今日代數教學上所帶來的啟發,的確值得我們注意。阿爾花拉子模針對二次方程x2+bx=c所提供的幾何解釋,正是可以作為我們二次方程解法-「配成完全平方」(或公式解)的另類教材,讓學生除了透過抽象化與演繹性的演算學習代數課程之外,還可以藉由具體且可操作的幾何圖形,去我們幫助理解與學習。換言之,阿拉伯的代數研究不但提供學生多樣化學習,同時也可以讓學生認識其他文化的數學知識,為數學課程中注入多元文化的關懷,值得我們一試!

 

參考資料:

李文林主編 (2000).《數學珍寶》,台北:九章出版社。

李秀卿碩士論文 (1997).《二次方程式的幾何思維之歷史研究:以中國與回教世界為例》,台北:國立台灣師範大學數學研究所。

楊瓊茹 (2001).Algebra的語源〉,《HPM通訊》第四卷第五期:7-8

蕭文強 (1994).123……以外-數學奇趣錄》,台北:書林出版社。

Berggren, J. L. (1986). Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. New York: Springer-Verlag.

Karpinski, L. C. (1915). Robert of Chester’s Latin Translation of the Algebra of Al-Khowarizmi. London: Macmillan.

Katz, Victor J. (1993). A History of Mathematics: An Introduction. New York: HarperCollins College. 

註解:

1. 阿拉伯文明(Islamic civization)大約是指公元7501450年。事實上,建立阿拉伯文化的人並不僅是阿拉伯人,還包括希臘人、波斯人和印度人等等,只是,當時通行阿拉伯文,著作均以阿拉伯文書寫。

2. 引自李文林主編 (2000),頁99。

3. 阿爾花拉子模以 2x 2+ 10x = 48和 x2 + 5x = 28為例作說明。

4. 引自李文林主編 (2000),頁102

5. 阿爾花拉子模定義數由單位(units)所組成。

6. 引自李秀卿 (1997),頁96

7. 其實,在阿爾花拉子模之後的Thabit ibn Qurra(約830-890)、Abu Kamil(約850-930)以及Al-Kareji(逝於1019)等人身上,可以更清楚看到希臘數學的深刻影響,譬如他們都以歐基里得(Eucild,公元前300左右)的《幾何原本》(Elements)作為論述方程解法之幾何意義的重要依據。