三、阿基米德的正七邊行作圖法阿拉伯的正七邊形作圖
台師大數學研究所碩士班研究生
葉吉海
一、前言
阿拉伯人原本只是游牧民族，在現今的阿拉伯世界裡逐水草而居。後來在穆罕默德的領導下振作並完成統一，並在他死後百年之內征服了東至印度，西至西班牙，包括北非和南義大利的版圖。755年時，阿拉伯帝國分裂成兩個獨立的王國，東部以巴格達為首都，西部以西班牙的哥多華為首都。征服的工作完成以後，這些典型的游牧民族就安頓下來，並建立他們的文化。他們很快就對藝術和科學發生興趣，東西兩個王國的首都吸引了許多科學家。他們的研究也受到支持。阿拉伯人很大方地容納各種民族和教派，異教徒也能自由活動，阿拉伯人相信這些只是宗教意識的不同。總而言之，阿拉伯人的知識是直接得自希臘手稿或敘利亞文和希伯來文版本，且各種主要的數學知識他們都能接觸到。
有關幾何作圖的知識，大約在紀元800年，阿拉伯人從拜占庭那得到歐幾里得《幾何原本》的拷貝，並將它轉譯成為阿拉伯文。後來，阿基米德和阿波羅尼斯的著作也傳入阿拉伯。然而，這三位數學家的著作可說是阿拉伯幾何的三支柱，影響阿拉伯非常深遠。
本文筆者以阿拉伯數學家Abu
Sahl al-kuhi的圓內接正七邊形作圖為主題，介紹這位阿拉伯數學家處理這問題的脈絡和相關的阿基米德正七邊形作圖法。
二、脈絡
在十世紀後半葉的阿拉伯，由於Buvid家族的資助下，巴格達和周圍的區域聚集了一群來自東阿拉伯世界的著名的科學家。這些贊助者中，最主要的是Adud
al-Daula國王，而Abu Sahl al-kuhi正是他宮廷中一個主要的科學家。
Abu
Sahl al-kuhi 出生於裏海南部的Tabaristan，他名字中的kuh是波斯文字『山』的意思。根據傳記作家al-Bayhaqi的描述，Abu
Sahl原來在巴格達市場中玩弄玻璃瓶雜耍的人，但後來他放棄雜耍的工作，轉而研讀和從事科學的研究。也許是因為從事雜耍的緣故，激起Abu
Sahl對『重心』的興趣，從而融會貫通了阿基米德時代以來有關重心的深刻理論。事實上，Abu
Sahl對阿基米德的著作相當瞭解。另外，他也寫了有關完備圓規的著作，一個用來畫圓錐曲線的工具。由於他對圓錐曲線的興趣和經驗，當接觸正七邊形的作圖問題時，他乃能提供一個運用圓錐曲線解題的解。
Abu
Sahl解決正七邊形的作圖方法的靈感來自於阿基米德。他的方法是用分析法來先分析問題，即先假設正七邊形可被作出來，然後反推回去，經過一連串合理的步驟，他得到所給的初始條件。詳細的過程將在本文第四節中呈現。在下一節，我們先介紹Abu
Sahl解題的靈感來源，阿基米德的正七邊形作圖法。
三、阿基米德的正七邊行作圖法
阿基米德處理正七邊形的作圖，是從給定的一線段AB開始。在AB上先作一正方形AFEB，畫出對角線AE，並將線段AB向B外延伸，接著使用端點作圖法，即過F點作一直線，轉動此直線直到它與AE以及邊FE之間所圍的面積，等於該線與邊BE以及AB在B外的延長線之間所圍的面積為止。令FD表示該直線，而相等的面積就是圖上陰影的部分，且FD與對角線相交於G，與BE相交於H，同時AB延長到D。過G作一直線平行於BE，且交AB於C，交FE於K。
接著，阿基米德證明由端點作圖法而得的四個共線點A、B、C、D，滿足下列兩個方程式：
AB•AC＝BD2， （1）
CD•CB＝AC2。 （2）
第一個式子，可由兩個帶陰影的三角形面積相等、和三角形HBD相似於三角形GKF兩個條件推得。第二個式子，則由下列條件推得：因為三角形FKG相似於三角形DCG、AE為正方形的對角線，所以GC＝AC、KE＝GK＝CB。
阿基米德在得到滿足上述兩式子的線段AD之後，接下來作點E，使得CE＝CA和BE＝BD。然後作三角形AED的外接圓，如圖二所示。這時，阿基米德說，我們可以斷定AE就是圓內接正七邊形的邊長了。如何證明呢？首先，我們可以知道三角形EBD為等腰三角形，它的兩底角角度相等，記為α，同樣地，三角形ACE的兩底角也相等，記為β。延長EB和EC，設分別交大圓於F、G。連結AF和BH，我們可得∠FAD＝∠FED＝α，∠AFE＝∠ADE＝α。
接著，阿基米德利用∠ABE＝2α（∠ABE為三角形EBD中∠B的外角）、AC＝EC和方程式（2）之變形得到
。
故三角形BEC和三角形EDC相似（SAS公理）。從而
得∠BEC＝α，而劣弧GF、弧AE和弧DF同為2α。
弧ED和弧AG相等，同為2β。如果我們能得β＝2α，則就完成了所有的證明。為此，由於線段HB對著在A點及E點的角同為α，故A和E一定都在以HB為弦的圓弧上。換言之，A、E、B、H四點共圓。在此圓中，圓周角β對著弦EB和AH，因此，這兩弦相等。繼之，在H點對著AE的角等於在B點所張的角2α。於是，∠AHE也為2α。再利用EB＝BD＝AH和（1）式的變形得到
此外，又有∠BAH＝∠BEC。可知，三角形EBC和三角形ABH相似（SAS）。因此，∠HBA＝2α。因為∠HBA與∠AEH在同一圓上對著弦AH，所以，β＝2α。弧ED及AG都是4α，整個大圓的周長是14α，得證了弧AE是大圓的七分之一。
四、Abu
Sahl的正七邊形作圖法
以下的是Abu
Sahl的分析方法，他將這成果獻給Adud al-Daula國王。他的作圖過程有三個部分，分別是從正七邊形作圖化約到三角形作圖、從三角形作圖化約成線段的分段作圖、線段的分段作圖化約成圓錐曲線作圖。
（一）從正七邊形作圖化約成三角形作圖：
圖三中，假設在圓BCE中我們成功做出正七邊形的邊BC，且弧CE
= 2弧BC，得弧BCE = 3弧BC。又弧BC等於整個圓的七分之一。所以，弧BGE=4弧BC。根據《幾何原本》命題VI-33知：三角形BCE的內角間的比例，與所對應的弧長成比例一樣，亦即∠C＝4∠E、∠B＝2∠A。從此分析，正七邊形的作圖法演繹為作個一三角形，其三內角比為4：2：1的作圖問題。
（二）
從三角形作圖化約成線段的分段作圖：
令三角形BCE滿足∠ECB＝2∠CBE＝4∠CEB，向BC兩端延長於A、D兩點，滿足DB＝BE，AC＝CE，完成三角形AED，如圖四所示。因為∠BEC＝∠D（∠CBE＝2∠BEC＝2∠D），所以，三角形BCE相似於三角形ECD，可知
DC：CE＝EC：CB，CE2＝DC•CE
（3）
因為∠CEA＝∠CBE（∠ECB＝2∠CEA＝2∠CBE），所以，三角形EAC相似於BAE，可知
BA：EA＝EA：AC，EA2＝BA•AC
（4）
又因為EC＝CA，∠A＝∠CEA＝∠CBE，所以，AE＝EB＝BD。（3）、（4）分別變形為
CA2＝DC•CB
（5）
BD2＝BA•AC
（6）
（三）線段的分段作圖化約成圓錐曲線作圖：
令AD線段被C、B所截，滿足（5）、（6）兩式，且過C作SZ垂直AD，滿足SC＝CB，CZ＝BD，並完成長方形CZTA。然後可得ZS•SC＝DC•CB＝CA2，又SC＝CB和CA＝TZ，可得ZS•CB＝TZ2。我們可說，T在以S點為頂點，BC長為參數的拋物線上。1
另外，BD2＝BA•AC和BD＝CZ＝AT，所以得BA•AC＝AT2，即T在以C為頂點，transverse
side和參數長同為BC的雙曲線上。2
五、後語
正七邊形作圖是歐幾里得在正三、四、五、六邊形作圖後，第一個未處理的作圖。雖然阿基米德理論地做出了正七邊形的作圖，但什麼時候兩三角形面積會相等，則無從得知。Abu
Sahl深入分析了阿基米德的作圖的方法，做出了屬於他自己的東西。難得可貴的是，雖然他的出身是戲法者，但由於興趣的使然，成就了數學史上令人稱羨的貢獻。值得我們後輩推崇與效法。
註解
1.
拋物線的性質：
如下圖所示，AB為拋物線的一直徑，YZ為其相對應的弦，交AB於X，則XY2=p•AX，p為相對應的參數。
2.
雙曲線性質：
如下圖所示，直線CC、為雙曲線的一直徑，XY為其相對應的半弦，則XY2＝CX•（p＋s），p為其相對應的參數，s與CX和p等的關係為s：CX＝P：CC、。
參考資料：
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朱恩寬、李文銘
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