『古代數學文本在課堂上的使用』研究心得

                                                                           台師大數學系 洪萬生教授

        在1999年8月1日至2001年7月31日兩年期間內，我有幸榮獲國科會贊助，執行特別研究計畫『古代數學文本在課堂上的使用』，茲將期終報告部份內容改寫披露於此，敬請大家指教！

本計畫構想來自筆者承諾籌辦HPM 2000 Taipei – “History in Mathematics: A challenge for the new millennium” (ICME-9之HPM衛星會議）。為了鼓勵國內學者與中學教師在這一次盛會中現身，筆者特別利用這一計畫，訓練參與的中學教師以發展教案的方式，在課堂上適當地融入古代數學文本，並指導敦促他（她）們將報告提交大會正式發表。

在本計畫執行的第二年，有鑑於參與人員對『教案』的撰寫略見疲態，筆者遂決定增列『學習工作單』與 “Work Card” 之設計，藉以維持他（她）們的士氣與動量。另外，也要感謝本所『教學碩士班』一些研究生的中途加入，他（她）們以非常豐富的教學經驗，帶來了很多實質的回饋，提升了這些成果廣泛應用的可能性。

由於參與人員都（曾）任教於中學或職校，因此，我們共同完成的29篇報告總是洋溢著教學關懷。更值得欣慰的，是他（她）們已經深刻地體會了『貼近』古典文本的意義。一方面，這些文本在課堂上的恰當使用，讓他（她）們的學生充分暴露在數學的人文趣味之前，為數學教育的價值打開了一個嶄新的面向。另一方面，也由於他（她）們深入探索這些文本中的『數學知識』之『在脈絡意義』，因此，也有機會見證人類『認知』與歷史文化之不可須臾離之。

這29篇報告中不僅包括了『教案』，還包括了『學習工作單』、“Work Card”，乃至於『虛擬演講稿』，可以說是琳瑯滿目，呈現了多元表達的形式，為本計畫最想達成的人文關懷，提供了最佳註腳！事實上，這也是本計畫的目的！我們期待中學教師對於我們所完成的報告，都可以輕易上手，讓HPM的理想可以實現。

就John Fauvel and Jan van Maanen所編著的History in Mathematics Education: An ICMI Study (2000)之第九章 “The use of original sources in the mathematics classroom”（由Hans Niels Jahnke主持撰寫）所綜合之內容而言，本計劃作為一個將文本引進教室的具體實踐方案，可以說是一個「政治正確」的選擇。在此一計劃的執行過程中，筆者始終以數學史學對待文本的標準來要求參與者，希望他（她）們謹記：只有切實把握文本，才能在以「歷史方法」解讀學生的學習特性時，不致於走冤枉路。在這一方面，參與者的數學史學之修養顯然提升甚多！不過，由參與者所提供的「教案」中，我們也發現他（她）們對於教學策略中的 “Analysis of a source and cognitive debates”（上引書p. 314）中著墨不多，此外，對於「文本」的介入課堂活動可能引發的認知困擾也不夠警覺，這些都必須在以後有機會執行類似計劃時謀求改進之道！同時，由於配合實際教學進度，所以單元分布過分集中，可能對於不黯數學史學的教師，造成一些資源取得不易的困擾。

不過，由於參與研究人員都已經完全體會『貼近』古代數學文本所帶出的踏實感覺，所以，如果我們打算開始規劃HPM結合認知學習的研究，目前的時機應該是比較成熟了。至於我們的憑藉，無非是本計劃所培養的HPM團隊已經成形，他（她）門不僅通曉HPM學門的國際規格，而且在中外數學史學方面的素養，也在向專業水準拉齊之中。假以時日，他（她）們必然會成為在國際HPM發聲的台灣團隊！

本計畫獲得張靜嚳教授（國立彰化師範大學科教所）、林炎全教授（國立臺中師範學院數理教育系），與洪碧芳教授（僑光技術學院資管系）的協助，以及蘇意雯、蘇惠玉、蘇俊鴻、邱靜如、顏富明、陳鳳珠、林倉億、唐書志、洪秀敏、謝佳叡、廖惠儀、彭君智、李信仲、葉吉海、黃哲男、方吉雄、洪誌陽、陳彥宏、白家結、林裕意、黃清揚、楊瓊茹、林月媚、王文佩、董芳成、郭慶章、陳啟文、陳敏皓、王連發、阮錫琦、陳威男、吳任哲、陳冠良、洪明賢、張靜宜等人的熱情參與，謹此表達誠摯的謝意。當然，國科會的大力支持，也必須在此再度申謝。

        最後，我們還想追溯本刊的創立與發行，並且對它的影響說幾句話。從一九九八年十月開始，我們利用國科會贊助承辦HPM 2000 Taipei之名義，發行《HPM台北通訊》（後改為現名），由蘇惠玉（北市西松高中數學科教師）義務擔任主編，每年發行十期（其中二、三月；八、九月合刊，作者一律不發稿費），每期以A4（開式）紙張印行，頁數在8-20之間。限於經費，我們只能以限量的平面印刷形式（非賣品）流傳。不過，我們也佈置了下列網址：http://www.math.ntnu.edu.tw/~horng，開放給所有人免費閱覽、列印使用。本計畫第二年的經費，也對這一份刊物的印製與發行，提供了不可缺少的協助。

        此一刊物不僅惠及國內有志於HPM教學的師範院校教授與中小學數學教師，同時，也在海外華人HPM社群（如香港蕭文強、鄭振初；上海張奠宙；加州李信明）獲得了極大的迴響。此外，由於我們也關注數學史學本身，因此，漢簡《算數書》（不晚於公元前186年）的釋文一公諸於世（2000年9月），我們的編輯群立刻進行了校勘與研究，在最快的時間內發行了『《算數書》特刊』（第三卷第十一期，2000年11月）。這一特刊廣受中國數學史家（譬如郭書春、郭世榮與彭浩等）重視，說明我們的HPM團隊已經擁有全方位的研究視野了。

參考文獻

Berggren, J. L. (1990). “Proof, Pedagogy, and the Practice of Mathematics in Medieval Islam”, Interchange 21 (1): 36-48.

Calinger, Ronald ed. (1996). Vita Mathematica. Washington, D. C.: MAA.

Fauvel, John & Jan van Maanen eds., (2000). History in Mathematics Education: An ICMI Study. Dordrecht / Boston / London: Kluwer Academic Publishers. 特別是第5、9兩章。

Grattan-Guinness, Ivor ed. (1987). History in Mathematics Education. Paris: Belin.

The Inter-IREM Commission (1997). History of Mathematics / History of Problems. Paris: ellipses.

IREM de Montpellier ed. (1995). First European summer University Proceedings. Lunel: Presses de Lunel.  

Katz, Victor ed. (2000). Using History To Teach Mathematics. Washington, D. C.: MAA.

The Mathematical Association (1998). Mathematics in School Vol. 27, No.4 (September 1998): History of Mathematics - extra special issue.

NCTM (2000). Mathematics Teacher. Vol. 93, No. 8 (November).  

附錄

筆者在執行本計畫期間共完成21篇相關學術論文、HPM推廣文章17篇，並指導參與本計畫之人員向HPM 2000 Taipei提交英文報告6篇、中文報告5篇。最後，再與他（她）們合作開發，完成29篇報告。謹陳列如下，敬請大家不吝批評與指教！

學術論文：

           1.  2000.〈《書目答問》的一個數學社會史考察〉，《漢學研究》第十八卷第一期：153-162。

           2.  2000. "Disseminating Mathematics in Late Nineteenth-Century China: The Case with Wang Kangnian and the Shi Wu
          Bao", Historia Scientiarum Vol. 10-1: 46-57.

3.      2000.〈《算數書》初探〉，《師大學報•科學教育類》45 (2): 77-91。

4.      2000.〈《算數書》的幾則論證〉，《台灣歷史學會會訊》第十一期：44-52。

5.      2000.〈《無異解》中的三案初探：一個HPM的觀點〉，《科學教育學刊》第八卷第三期：215-224。

6.      2000.〈數學典籍的一個數學教學的讀法：以《赤水遺珍》為例〉，《中華科技史同好會會刊》第一卷第二期：35-43。

7.      2000.〈清代數學家汪萊的歷史定位〉，《新史學》第十一卷第四期：1-16。

8.      2001.〈數學史教學與數學觀的改變〉，刊於本系『數學資源中心•生活數學館』。

9.      2001.〈貼近《幾何原本》與HPM的啟示：以『驢橋定理』證明為例〉，刊於本系『數學資源中心•生活數學館』。

10.  2001.〈數學家書寫歷史：兼評John Stillwell的《數學與它的歷史》〉，《數學傳播》25 卷 2 期：54-74。

11.  2001.〈從一封函札看清代儒家研究算學〉，《科學月刊》第三十二卷第九期：797-802。

12.  〈十八世紀東算與中算的一段對話：洪正夏 vs. 何國柱〉，預定刊於《漢學研究》。

13.   (Submitted). "Reading into Mathematical Texts: a multicultural perspective".

14.   (Submitted). “Sino-Korean Transmission of Mathematical Texts in the 19th Century:  
 A HPM reflection”.

15.  （投稿中）〈華蘅芳的學算心得的啟示〉

16.  （投稿中）〈朝鮮儒家讀九章：以趙泰耇〈九章問答〉為例〉。

17.  （待定稿）〈南秉吉《九章術解》之校勘研究〉（與楊瓊茹等合撰）。

HPM推廣文章：

         1.  1999.〈康熙皇帝與符號代數〉，《HPM台北通訊》第二卷第一期：1-3。

2.      1999.〈羅浮宮：科學與藝術的結晶〉，《HPM台北通訊》第二卷第二、三期合刊：1-2。

3.      1999.〈『專業數學教師發展』之研究的他山之石〉，《HPM台北通訊》第二卷第五期合刊：1-5。

4.      1999.〈HPM隨筆（二）：數學史與數學的教與學〉，《HPM台北通訊》第二卷第四期：1-3。

5.      1999.〈HPM隨筆（三）：數學哲學與數學史〉，《HPM台北通訊》第二卷第六期：1-5。

6.      2000.〈『貼近』古典，向大師學習！〉，《HPM通訊》第三卷第一期：1-4。

7.      2000.〈數學教師成長的範例〉，《HPM通訊》第三卷第二、三期：1-2。

8.      2001.〈當斐波那契碰上孫子〉，《HPM通訊》第四卷第一期：1-2。

9.      2001.〈Andrew Wiles vs. 華蘅芳：治算心得的比喻〉，《HPM通訊》第四卷第二、三期：1-2。

10.  2001.〈二十一世紀的《算經十書》〉，《HPM通訊》第四卷第四期：1-2。

11.  2001.〈參加一九九六年HPM研討會有感〉，《HPM通訊》第四卷第五期：1-4。

12.  2001.〈歷史與科學的平衡：導讀《加利略―科學史上第一位物理學家》，《科學月刊》第三十二卷第三期：270-272。

13.  2001.〈科學與人文的對話：一個科學史家的觀點（上）〉，《科技報導》九十年三月十五日：8-11。

14.  2001.〈科學與人文的對話：一個科學史家的觀點（下）〉，《科技報導》九十年四月十五日：14-15。

15.  2001.〈數學郵票中的歷史風華：評《『票』游數學王國》〉，《科學月刊》第三十二卷第八期：722-723。

16.  2001.〈很過癮的閱讀經驗：推介《從亞理斯多德以後》〉，《科技報導》九十年十月十五日：24-26。

17.  2001.〈報導與真相：以『破圓周率神話』為例〉，《HPM通訊》第四卷第十期：1-2。

研討會論文

                1.  1999. “Li Shanlan: The greatest mathematician in nineteenth-century China”, presented to The Ninth International
             Conference on the History of Science in East Asia, Singapore , 23-27, August, 1999.

                2.  “Sino-Korean Transmission of Mathematical Texts in the 19th Century: A HPM reflection”, presented to HPM
                2000 Taipei Conference – “History in Mathematics Education: Challenges for a new millennium”, National Taiwan
                 Normal University, August 9-14, 2000.  

                3.  2001. “Sino-Korean Transmission of Mathematical Texts in the 19th century: A case with Nam Pyong-gil’s Kugosul
             Toyhae”, presented to the XXI International Congress of History of Science, Mexico City, 8-14 July, 2001. 

                4.  2001. “An Eighteenth-Century Sino-Korean Dialogue on Mathematics: He Gouzhu versus Hong Chong-ha”,
             presented to the XXI International Congress of History of Science, Mexico City, 8-14 July, 2001.

                5. 2001.〈朝鮮儒家讀九章：以趙泰耇〈九章問答〉為例〉，提交第九屆國際中國科技史會議，
            十月九日~十二日，香港城市大學。

專書及其他論文：

1. 1999.《孔子與數學》（修訂一版），台北：明文書局。

            2.     2000.〈全真教與金元數學：以李冶（1192-1279）為例〉，王秋桂主編《金庸小說國際學術研討會論
            文集》（台北：遠流出版社），頁67-83。

            3.     2000. "The Influence of Euclid's Elements on Xu Guangqi and His Successors", Jami, Catherine and Peter Engelfriet
             & Gregory Blue eds., Xu Guangqi (1562- 1633), Scholar and Statesman: Melting Western Knowledge into the
             Chinese Mould (Leiden / Boston / Koln: Brill), pp. 180-198.

            4.     2000. "Euclid versus Liu Hui: A Pedagogical Reflection," (modified version of No. 23 article), Victor Katz ed., Using
             History of Mathematics in Teaching Mathematics (Washington, D.C.: MAA.), pp. 37-48.

            5.     2000. "The Pythagorean theorem in different cultures", Fauvel, John and Jan van Maanen eds. History in
             mathematics education (Dordrecht / Boston / London: Kluwer Academic Publishers, 2000), pp. 258-262.

                6.    “Li Shanlan”, to appear in the Encyclopedia Britannica.

                7.    “Hua Hengfang”, to appear in the Encyclopedia Britannica.

研究小組成員所完成的研究報告：

                                        1.       邱靜如：〈埃及數學在分數四則運算上的應用〉。

                                        2.       邱靜如：〈古代數學文本在課堂上的使用：方根的意義〉。

                                        3.       邱靜如：〈數學史在課堂中的使用：一元二次方程式〉。

              4. 李信仲：〈《九章算術》在正負數運算上的啟發〉。

            5. 顏富明：〈古代數學文本在課堂上的應用之教學活動報告（單元：商高定理）〉。

              6. 顏富明：〈古代數學文本在課堂上的應用之教學活動報告（單元：圓心角、圓周角與弦切角）〉。

              7. 陳威男：〈動手玩數學：從模型製作、操作中學習數學知識（立體體積推導）。

              8. 顏富明：〈捷徑問題與巴斯卡三角形〉。

              9. 蘇惠玉：〈古代數學文本在課堂上的使用：圓〉。

             10. 蘇惠玉：〈古代數學文本在課堂上的使用：『巴斯卡三角形』〉。

            11. 蘇俊鴻：〈數學史如何融入數學教學：以組合數為例〉。

            12. 蘇意雯：〈古代數學文本在課堂上的使用：機率〉。

            13. 林裕意：〈餐飲數學教學的經驗分享：從『協同教學』和『一個HPM』的觀點〉。

            14. 王文珮：〈Work Card 教學設計：數的運算〉。

            15. 唐書志：〈學習工作單設計：簡單的幾何圖形〉。

            16. 黃清揚：〈猜一猜：歐拉公式〉。

            17. 王文珮：〈Work Card 教學設計：等比數列〉。

            18. 陳鳳珠：〈Work Card 教學設計：三角函數〉。

            19. 洪誌陽：〈數學歸納法的工作單〉。

            20. 董芳成：〈『三角函數的和差角公式』工作單〉。

          21. 蘇惠玉：〈托勒密《大術》(The Almagest) 在三角函數教學上的應用〉。

          22. 陳啟文：〈古代數學文本在課堂上的使用：以工作單為工具〉。

          23. 蘇意雯：〈『數學與文化』工作單教學設計〉。

          24. 彭君智：〈『歡樂123：奇幻園地』影帶HPM教學〉。

          25. 洪明賢：〈畢氏定理探源〉（虛擬演講稿）

          26. 吳任哲：〈利用『驢橋定理』探討國中教師之數學教學〉（虛擬演講稿）。

          27.       陳敏皓：〈機率小史〉。

          28.       陳冠良：〈數學與人們的距離〉（虛擬演講稿）。

          29.       林裕意：〈餐飲數學：營養分析計算〉。