GELOSIA METHOD—從阿拉伯出發

台師大數學研究所碩士班研究生  楊瓊茹

一、 前言

          Gelosia 這單字意思為何？從《牛津英文辭典》(Oxford English Dictionary) 是查不到的，當然就更別指望一般的英文辭典了。但在今日的葡萄牙語裡，這個字是窗口的遮蔽物、窗簾或者活動百葉窗的意思。雖然我們尚且無從追溯到它的語源，但從數學史文獻當中，我們得知︰Gelosia Method指的就是運用畫方格圖，並且在每一方格中畫上對角線以進行乘法運算的方法。阿拉伯語稱此方法為shabacah ；¹十六世紀末的中國，則稱為『鋪地錦』；在義大利，又稱為格柵法 (grating)，因為在當時，修女或女士的房子窗口習慣上都會裝上柵欄，避免從外面就可以輕易窺視屋內，這與葡萄牙語意相似。²由於此方法可能源自於印度或阿拉伯，並由印度傳到中國、阿拉伯傳到義大利。³底下，我們將從阿拉伯出發，⁴並繞境義大利與中國，一一為讀者呈現這個在舊時頗受歡迎的乘法運算方法。

二、            六十進位制乘法

早在第九世紀，回教世界的科學家就已經發展出一套完善的位值系統，足以處理所有整數及小數的四則運算，但並不是我們現代人所慣用的十進位制，而是六十進位制，便於天文方面的計算。對於六十進位的乘法，阿拉伯人則有兩種運算方式。一個是先轉換成十進位數相乘，再換算回六十進位制，另一個方法則是文本所要詳細探討的Gelosia Method 。我們將透過解讀回教數學家阿爾卡西 (Ghithyâth al-Dîn Jamshîd al-Kâshî，？-1429 ) 的做法來說明。

阿爾卡西生於波斯的卡撒 ( Kâshân，今伊朗的德黑蘭南方200

公里 )，出生年代不詳。我們對他的了解，始於1406年阿爾卡西在

卡撒觀測月蝕的紀錄。後來，阿爾卡西來到撒馬爾干 (Samarkand )，

在統治者Ulûgh Beg的贊助下繼續進行天文及數學的研究。他最令

人印象深刻的成就除了用迭代法計算sin1°值之外，在求取2π的近似值時，也能掌控誤差大小。上述的成果可堪稱當代絕技。不久之後，阿爾卡西完成了在算術、代數及測量方面集大成的著作《算數者之鑰》(Miftâh al-hisâb)，其中利用Gelosia Method計算的題目 (見圖一)︰

 24 (degrees), 15 (minutes), 40 (seconds), 38 (thirds) 乘以

13 (second elevates), 9 (first elevates), 51 (degrees), 20 (minutes)

便是這本書的主要內容。首先，我們先解釋題目中degrees、minutes…等單位的意思。如果任給的一個數值沒有小數點或單位的話，那麼我們就無法確定各個位值是60的幾次乘羃。例如︰02,45 究竟是
165 ( ) 或 ？為了解決這個問題，阿拉伯人給每個位值一個名稱，也就是位值為1、60、 …分別稱做degrees、first elevates、second elevates…； 、 、 …則稱為minutes、seconds、thirds…。例如︰

 13 (second elevates), 9 (first elevates), 51 (degrees), 20 (minutes)

                 = ； 

24 (degrees), 15 (minutes), 40 (seconds), 38 (thirds) = 。

     
（圖一）

至於如何進行乘法運算？首先38乘以20得760，轉換成60進位制得12,40，將12、40分別填入右邊的三角、左邊的三角，繼續同樣的步驟，直到所有空格都填滿，再把落在同一縱行上的數值加起來，若數值大於60，則進位。例如︰落在左邊第三縱行上的42、32、0、13、0，其和為87，轉成60進位制得1,27，數值1則進位。因為minutes乘上thirds為fourths，所以答案的最後一個位值的單位是fourths。值得一提的是，阿拉伯人直接查表 (六十進位制的乘法表) 來填滿空格，只有在計算每一斜線上數值的總和以及進位時，才真正需要做計算。

在阿爾卡西所處的時代，正是西方世界數學復甦的時期，尤其是文藝復興的前哨—義大利。

        三、             最早印刷的算術書

        在西元1478年，威尼斯北部的特雷維索城 (Treviso) 出版了最早印刷的算術書《特雷維索算術》(Treviso Arithmetic)，作者不詳。此書的內容多半為商業算術，即解釋數字的寫法、數的計算以及貨物兌換上的應用。《特雷維索算術》中的Gelosia Method呈現兩種形式，⁵分別為對角線斜左與斜右 (見圖二)，但一般而言，對角線斜左是比較受喜愛的。圖二為十進位制的乘法︰     

934×314=293276

圖中「Somma」的意思為「總數」，

即英文字「Sum」；左上角的字母

「Soa.」則為「Somma」的縮寫。

此外，圖二的印度-阿拉伯數碼，

除了數字1上面多一點外，和我們今日的書寫形式相同。這是第西方

世界第一部印刷的數學書！

            四、鋪地錦

    明代程大位 (1533-1606) 所著作《算法統宗》(1592) 中，稱Gelosia Method這種先畫格眼的寫算方法為「鋪地錦」，有別於傳統的籌算及珠算，並有詩歌一首︰⁶

寫算鋪地錦為奇，不用算盤數可知；

法實相呼小九數，格行寫數莫差池。

記零十進於前位，逐位數上亦如此；

照式畫圖代乘法；厘毫絲忽不須疑。

圖三指涉的題目為︰

 今有絹四百三十五疋(匹)，每疋價鈔五千七百六十八文，問該鈔若干？
  荅(答) 曰︰二百四十六萬九千九百三十文。
  法曰︰先畫格眼，將絹數為實於上橫寫；以每疋鈔數於右，直寫為法。法實相呼，填寫格內，先從末行起依次相乘，逆上至實首止。得數從右下邊小數起，亦是逆陞向前，遇十進上，合問。

比程大位約早一個世紀半的明代算學家吳敬，在他所著作《九章算法比類大全》(1450) 中，將Gelosia Method編入「乘除開方起例」的寫算

 (見圖四)，底下引述寫算要訣︰⁷

寫算先需仔細看，物錢多少在毫端；

就填圖內依書數，加減乘除總不難。

        五、   結語

　        在今日的數學課程中，Gelosia Method這個在舊時頗受歡迎的乘法運算方法已不復見。雖然它減少計算時進位的次數，但表格繪製卻造成時間的耗費以及印刷的不便。時至今日，我們慣用直式乘法進行筆算，甚至只要按一下計算機即可。然而，這樣的直式乘法運算形式，通常是在小學教科書的範本下，不斷地制約學習而成的。當然這是最簡便的筆算方法，而且學生從累積的經驗中，亦了解程序的合理性。如果學生尚未學習過直式乘法，那麼在求解兩位數以上的乘法時，學生會採取何種策略？

綜觀本文，阿拉伯人用六十進位表來填滿網格；算術書《特雷維索算術》主要處理商業算術問題；明代的文本中，題目、答案以及說明無不詳盡，並輔以詩詞，便於記憶及增添興趣。這些文本的題目都結合了當時人們日常生活的活動。經由本文Gelosia Method的介紹，筆者希望除了讓大家認識、比較另一種乘法的運算方式之外，也能欣賞到不同的數學文化風格，並提供初等數學教育另一個乘法運算視野。

註解︰

1.Ali abdullah al-daffa (1977), pp. 39.

2.此法也以分格法(the Method of the Cells)、平行法(quadrilateral)、平方法(square)知名。

3.參閱Smith, D. E (1958)，pp.115-116。

4.由於筆者手邊沒有直接相關的印度格柵法的資料，所以印度部分保留。

5.在《特雷維索算術》中，共有五種乘法運算形式，包括帆船法 ( scacchero Multiplication )，請參閱Swetz, F. J. (1987)，pp. 81-84。

6.參閱明．程大位 (1993)，頁二–一四○七。

7.參閱明．吳敬 (1993)，頁二–三○。

參考資料

    郭書春主編 (1993).《中國科學技術典籍通匯•數學卷二》，濟南：河南教育出版社。

明．吳敬 (1993).《九章算法比類大全》，收入郭書春 (1993)。

明．程大位 (1993).《算法統宗》，收入郭書春 (1993)。

歐陽絳 譯 (1997).《數學史概論》，台北︰曉園出版社

Ali abdullah al-daffa (1977). The Muslim Contribution to Mathematics. N. J.: Humanities Press.

Berggren, J. L. (1986). Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. New York: Springer-Verlag.

Chabert, Jean-Luc. (Ed.) (1999). A History of Algorithms. New York: Springer-Verlag.

Needham, J. (1986). Science and Civilisation in China (Vol.3). Taipei: Caves Books, LTD.

Martzloff, J. C. (1997). A History of Chinese Mathematics. New York: Springer-Verlag.

Smith, D. E (1958). History of Mathematics (Vol.2). New York : Dover Publications. 

Swetz, F. J. (1987). Capitalism and Arithmetic. Illinois: Open Court.