當斐波那契碰上孫子

台師大數學系 洪萬生教授

        斐波那契 (Fibonacci，約1170-1250) 可以算是歐洲中世紀極少數的傑出數學家。一般人所以對他印象深刻，莫過於以他命名的「斐波那契數列」(Fibonacci sequence)。數學史家則多半對他的《算盤書》(Liber Abaci，1202) 非常注意，這是因為他在本書中所引進的印度－阿拉伯數碼及其演算法則，為中世紀數學的長期停滯與靜默帶來一線曙光。

        其實，斐波那契在繼承希臘數學，尤其是數論方面，也有可觀的貢獻。他的著作如《平方數之書》(Liber Quadratorum，1225)，討論了二次丟番圖方程 (Diophantine equation)，是丟番圖 (Diophantos) 與費馬 (Pierre Fermat) 之間，歐洲數學家在數論方面的經典作品。在有關『費馬最後定理』(Fermat Last Theorem) 的歷史論述中，本書罕少被提及，說明了歐洲中世紀數學之『長夜漫漫』，是一個很難破除的刻板印象。此外，他還有一本著作《花朵》(Flos，1225)，內容涵蓋了菲特烈二世 (Frederick II) 宮廷數學競賽問題，為十三世紀歐洲的數學與社會的互動，留下了極珍貴的見證。

        在《算盤書》中，斐波那契搜集了很多十分有趣的問題，譬如除了前述的「斐波那契數列」所關連的『兔子問題』之外，『雙假設法』(rule of double false positions)、『購鳥問題』以及『一次同餘組』等等，也都對數學在不同文化的交流研究上，提供很多想像的空間。事實上，『雙假設法』與中國《九章算術》（第七章）『盈不足術』的方法上的神似，『購鳥問題』與中國《張邱建算經》（南北朝時代）中的『百雞術』在佈題或提問上的雷同，都已經讓史家相信雙方交流的可能性，更何況『一次同餘組』與中國《孫子算經》（南北朝時代）中的『物不知數』題之『幾乎一致』了。

        底下，請容許我們引述這兩則文本。面對它們，讀者儘可『各自表述』，讓科學史上優先權爭辯的『想像力』任意馳騁。然而，我們也盼望讀者不要被任何一種『主張』沖昏了頭，而忘記欣賞這兩則文本在各自脈絡 (context) 中的歷史意義，以及它們的『對比』在數學上所呈現的認知趣味。

首先，請看《算盤書》中的『一次同餘組』：

設計一個數，除以3、除以5、也除以7，問每次除法各剩餘多少。對於除以 3所剩餘的每個單位 1，要記住 70；對於除以 5 所剩餘的每個單位 1，要記住21；對於除以7所剩餘的每個單位1，要記住 15，這樣的數如大於 105，則減去105，其剩餘就是所設計的數。例如：設一數除以 3 餘 2，記住 70 的 2 倍或140，其中減去 105，則剩餘 35，若除以 5 餘 3，記住 21 的 3 倍或 63，與上述 35 相加得 98。若除以 7 餘 4，記位 15 的 4 倍或 60，與上述 98 相加則得 158，減去 105，其剩餘是 53，這就是所設計的數。（李文林，2000，頁202-203） 

為了增加比較史學的趣味，我們也在此引述上文的英文版： 

Let a contrived number be divided by 3, also by 5, also by 7; and ask each time what remains from each division.  For each unity that remains from the division by 3, retain 70; for each unity that remains from the division by 5, retain 21; and for each unity that remains from the division by 7, retain 15.  And as much as the number surpasses 105, subtract from it 1105; and what remains to you is the contrived number.  Example: suppose from the division by 3 the remainder is 2; for this you retain twice 70, or 140; from which you subtract 105, and 35 remains.  From the division by 5, the remainder is 3; for which you retain three times 21, or 63, which you add to the above 35; you get 98; and from the division by 7, the remainder is 4, for which you retain four times 15, or 60; which you add to the above 98, and you get 158; from which you subtract 105, and thee remainder is 53, which is the contrived number. （Davis and Hersh, 1981, pp. 188-189）

接著，再看《孫子算經》中的『物不知數』題：

今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？

答曰：二十三。

術曰：“三三數之賸二”，置一百四十；“五五數之賸三”，置六十三；“七七數之賸二”，置三十。併之得二百三十三。以二百一十減之，即得。凡三三數之賸一，則置七十，五五數之賸一，則置二十一，七七數之賸一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。

經過仔細的比對之後，我們實在很難抗拒「抄襲」曾經發生的歷史猜測。由於《孫子算經》被認定最早問世於公元第四世紀，而《算盤書》是十三世紀初的作品，所以，斐波那契雖然沒有機會碰上孫子，但是，他『西』抄抄、『東』抄抄的結果，當然不無可能『抄』到《孫子算經》（拉丁文或阿拉伯文譯本？）上面來。如此一來，中介者的角色之存在對於歷史詮釋，就變得十分關鍵了。一旦找不到此一相關的直接證據，任何被認為合『情』入『理』的判斷，都不過是一種『想當然耳』！其實，這種處境也保護了另一邊的『民族情感』，試想現存的《孫子算經》最早文本（南宋印刷本）出現於公元1213年之後（唐代所謂的《孫子算經》文本則迄今不得見），所以，南宋版《孫子算經》的作者碰上斐波那契的可能性，當然也不能隨意地排除了。

        無論如何，在文化交流史上，除非有直接證據，否則『誰抄了誰』永遠是個很難搞定的糊塗帳！『教條』當然可以讓我們相信某一方的確受惠於另一方，而且信服得像呼吸空氣一樣自然而沒有感覺。只是，『一次同餘組』與『物不知數』有沒有可能是『人同此心、心同此理』的注腳呢，或許答案就在塵封的歷史之中吧。

參考文獻

李文林主編 (2000)，《數學珍寶》，台北：九章出版社。

孫子 (1980). 《孫子算經》，收入《宋刻算經六種》，上海：文物出版社。

張邱建 (1980). 《張邱建算經》，收入《宋刻算經六種》，上海：文物出版社。

Callinger, Ronald (1982). Classics of Mathematics. Oak Park, Illinois: Moore Publishing Company Inc.

Fibonacci, Leoonardo Pisano (1987). The Book of Squares (The Book of Squares). New York: Academic Press, Inc.

Kool, Marjolein (2000). ‘Two Pots and One Lid: The first arithmetic textbooks in the Netherlands before 1600’, in
         Horng, Wann-Sheng & Fou-Lai Lin (eds.), Proceedings of the HPM 2000 Conference (Taipei: National Taiwan
         Normal University), pp. 1-10.

Sigler, L.E. (1987). ‘Introduction: A Brief Biography of Leonardo Pisano (Fibonacci)’, in Fibonacci (1987), pp.
         xv-xx.