與大學生談埃及數學在教學上的應用
台師大數學研究所碩士班研究生 林倉億
筆者在去年曾與目前任教於台北市立實踐國中的邱靜如老師合作，設計了一份利用埃及數學[1]來輔助國中一年級分數教學的教材，並由邱老師在她任課的班級中實驗了這份教材。實際教學之後，我們合作寫了一篇文章，『埃及數學在分數教學上的應用』，[2]介紹此份教材與設計理念、埃及的數學、教學心得與學生反應等等。而在不久之前，有個機會讓筆者與現在師大數學系四年級的同學（約四十位）分享埃及的數學史，筆者便以該篇文章為主體，與他（她）們分享一些小小的心得，除了希望能讓他（她）們對埃及的數學有初步地了解，並期待這樣的教學實驗報告能對他（她）未來的教職生涯有所裨益。結束之後他（她）們也寫了心得報告，本篇就是筆者閱讀他（她）們心得報告後的心得報告。
在進入本文的主題之前，有必要先介紹筆者當時所提供的內容與策略。講述的主要的內容簡介如下:
一、設計此份教材的動機與理念
分數的四則運算是國中數學第一冊第二章的主要教材內容，雖然該章重點是放在正、負分數的運算上，但由於與小學數學的重疊性大，所以我們決定引入不同風貌的數學─埃及的數學，除了增加上課內容的多樣性外，更讓學生有機會一窺數學的文化、歷史與人類活動面向。
二、埃及相關背景
包括地理、歷史背景的介紹，並以萊茵紙草（Rhind Papyrus）與莫斯科紙草（Moscow Papyrus）為主，簡略地介紹埃及的數學。
三、埃及的數碼、整數與分數
這裡是最主要的部分，除了介紹埃及人的算法外，還強調埃及整數、分數的表示方式與計算方法上的關係。由於埃及記數法是採取簡單累數制（simple grouping system），[3]所以只要知道逢十進一，透過簡單的畫一畫、數一數，便可以解決整數的加減問題；而主要透過加倍與減半的程序（對埃及人而言只要把數碼的個數加倍或減半即可），埃及人不用背九九乘法表就能解決整數的乘除問題。至於分數，其最大特色就是單位分數的使用，然而此一堅持，卻造成了在分數運算上的困難，不過利用加倍、減半與2/n表[4]的運用，埃及人一樣不需要九九乘法表就能夠解決分數的乘除問題。
四、實際使用的教材講義
主要是展示邱靜如老師在課堂上使用的教材講義，其中包含一張萊茵紙草第六十九題的投影片。
五、學生的學習情形與實施後的檢討
介紹當時學生不同的學習反應，包括正面與負面的，並加以分析，最後提出此份實驗教材的檢討與需要改進之處。
至於當時的主要策略，就是強調「不用背九九乘法也能做分數的乘除」，這句話挑起了這些數學高材生們的「戰鬥心」，筆者在那當下強烈地感受到被數十隻眼睛「敵視著」的滋味；此外，在講解過程中還時時提醒同學們不要忘記把自己假裝成埃及人來思考，否則將無法看到埃及數學的「真實」面貌。事後證明此一策略奏效，絕大多數的同學都能夠拋掉現代數學的「有色眼光」來欣賞、思考埃及的數學，以下是一些他（她）們在心得報告中的反應：[5]
從小就把九九乘法表背的滾瓜爛熟的我，實在很難想像只用加減法就可以解決四則運算，而且還不只整數，連分數也可以解決，實在太令人驚訝了！
在剛開始聽到埃及人只用加倍和減半的方法就能夠處理數字乘除的問題，還真是令人難以想像，起初以為埃及人不懂九九乘法表的話，那麼大概也只能用連加的方式算乘法（數字大一點不就會算到累死），用連減的方式算除法（那麼只能作帶餘除法，也不會有分數的出現，更別提解方程式了！）。
當我聽了這一個消息，真的覺得很令人驚訝，沒有想到沒有九九乘法表的世界，也能夠把這些我們利用乘法和除法的數學算法，也能夠解決。
類似上述的觀點，在他（她）們的心得報告中比比皆是，因此，筆者相信他（她）們已經對埃及的數學有了較適當的認識。在這個基礎上，分析他（她）們的心得報告，發現了三個有趣的現象，筆者將在接下來的篇幅中，一一呈現。
第一個有趣的現象與這一群大四學生的背景有密切的關係。雖然現在台灣師大數學系的學生已經沒有當老師的義務了，但根據台灣師大數學系自行做的調查，仍有高達90%的學生將來準備從事教職，因此如何當一個受學生歡迎的數學老師，如何上不讓學生討厭的數學課，自然是許多大四學生的關懷所在，一位同學就表示：
我想，現在應該有很多老師，他們在意讓學生喜歡數學甚於學生的數學成績，希望未來有一天，數學不再是多數學生討厭的科目，數學老師也不再是討厭的老師排行第一名。
而筆者所介紹的又正是一個教學實驗，如預期的，在他們的反應中有許多是與數學教學直接相關的，例如：
雖然過程比較複雜，可是想法卻是相當的簡單，再加上沒有所謂的背誦、公式，相信這樣可以打破學生對數學的刻板印象，也可以發現數學的另一面，相信這對學生在數學上的學習是有所幫助的。
……比較現在利用九九乘法的方式，可以發現計算的過程變得十分快速，但學生學到的東西可能只是運算的方法而已，而不是其中所蘊含的意義。
最令筆者感到高興的，是有一位同學因此反省了自己的教學觀：
在剛開始聽學長說有關埃及的算術法時，心裏的疑問其實是跟學生的反應一樣的：為什麼要教學生這個？而且還花了兩堂課的時間；不是頂多作為一個引起興趣就好了嗎？……忽然發現自己竟然也陷入傳統的「以成績為依歸」的漩渦中，認為知道這樣東西為學生的分數沒有幫助，所以不用學。
暫且不論這些教育界的新血未來將如何表現，但至少抱持著比較「健康」[6]的心態離開校園，對我們的教育就是一種希望。
其次，也或許是有感於社會大眾對數學教育的期待與壓力，這些同學對能夠吸引學生、啟迪思考的教材教法，[7]接受程度相當地高：
當你使用這種兼具歷史知識與社會文化風情的教材時，數學不再是一般中學生刻板印象中那樣的枯燥乏味……而當學生們以愉悅的心情來上這堂課時，也正表示這份教材是成功的。
當學生講出：為什麼上老師課不像上數學課？我想這大概是身為一個數學老師最大的欣慰吧！
根據筆者自身的經歷，以及與幾屆大四同學交談的心得，雖然大四的同學都很渴望獲得具吸引力、啟發性的教材教法，但礙於某些因素，[8]往往不得其門而入，或者只是流於玩玩數學遊戲、秀一些花俏的東西而已，並未仔細照顧這些活動與教學內容間的連結，這就好比包著糖衣的藥丸般，縱使學生樂於吃糖衣，也不見得願意好好的吃藥丸。Wittmann認為：「教師在離開大學時的行李之中，應該有一組具有實質內涵的教學單元（substantial teaching units），[9]而這些單元呈現了教學的準則。」[10]（Wittmann，2000，頁99）筆者相信許多教師和筆者一樣，檢視自己離開大學時的行李，才發現十分缺乏這樣子的教學單元。雖然這份實驗教材仍有許多待改進的地方，但是筆者仍希望透過這種經驗分享，讓這一群大四同學在教學設計上有更細膩的安排，那麼，在他（她）們即將打包的行囊中，便又多了一項教學利器。
最後一個有趣的發現，就是不少同學眼中的數學「種類」增加了。筆者曾經訪談十四位大四同學（現已畢業），發現他（她）們在中、小學數學學習幾乎是以習題演算與獲得高分為核心，而進入數學系之後，所接觸的絕大多數是高度抽象化、形式化、以邏輯演繹為主的數學，也就是說，十幾年的數學學習經驗讓他（她）們認為數學是永恆、普遍並且具有絕對確定性的客觀真理。因此，當筆者介紹埃及數學時，他（她）們對之中的文化、歷史與人類活動面向展現了高度的注意，一位同學就表示：
……比較比較大的衝擊是原來數學並不是一成不變的。
更進一步地，許多同學反思了自己的數學思維：
……也許是之前接受到了一些資訊之後，我們太習以為常，且並沒有去鼓勵去作其他的思考，有時候反而抑制了我們的一些新奇的思維。
……用一種不同的數學觀點去解釋四則運算，這讓我們對數學的包容性又加深了印象。我們常常會被某個框框限制住，用一種慣常的思考模式去進行例行性的思考，有時候我們都忘了，我們為什麼這麼想，不是嗎？
這種反思主要來自於認知到在不同的文化下，也可以生產出不一樣的數學系統，而這系統以適當的眼光來看，卻是充滿了趣味與前人的智慧。如一位同學所表示的：
……雖然過程不如所學的分數運算簡潔明瞭，不過整個運算就好像一種推理過程那樣有趣，得慢慢思考為什麼會這樣，不像我們的運算，很快速就能夠解答出來，卻反而減少些趣味性。
筆者認為倘若有人真的突破原本的思考框架，那麼她（他）面對未來的學生、教學等等，將能夠做出更好的對應，比如說能夠從不同的角度來思考學生的錯誤與學習障礙。
雖然邱靜如老師與筆者的學識與教學經驗都相當地不足，但在合作的過程中，我們的確學到了許多難得的經驗，也啟迪了許多的想法；而從這一群大四同學的回饋之中，筆者也獲得不少寶貴的建議，在此特地向他（們）致謝。在他們之中，筆者也看到了許多位都對教育充滿了熱忱與自信，倘若能在各方面持之以恆地精進，假以時日必能在教學中闖出一片天空。
參考文獻：
邱靜如、林倉億，〈埃及數學在分數教學上的應用〉，未發表。
林倉億、洪萬生，〈數學史教學與數學觀的改變〉，《第七次張昭鼎紀念研討會會議論文集》（2000），
頁23-45。
Wittmann, Erich Ch., (1998),
“Mathematics Education as a ‘Design Science’”, in Sierpinska, Anna and Kilpatric,附註：
[1] 在本文中章，埃及的數學指的是大約西元前３０００∼前１０００年間，在今天埃及這個地區所發展的數學活動。
[2] 此篇文章尚未發表。
[3] 參看梁宗巨【數學歷史典故】，1995，頁16-19。
[4] 此表將2/n這樣子的分數寫成單位分數的和，其中n從3到101。
[5] 本篇文章對聽者心得報告的摘錄已做局部地修改，但僅止於明顯的錯字、贅字或漏字的修正，例如「苦」瓜爛熟改正為「滾」瓜爛熟。
[6] 筆者所謂的健康，是相對於以成績為依歸的心態或其類似心態。
[7]「能夠吸引學生、啟迪思考的教材教法」並非指經過實際教學驗證的，或是得到理論支持的，指的是大四同學們自己對該教材教法的感覺。
[8] 這些因素包括：缺乏實際教學經驗、擁有的知識過於狹隘、眼界不夠寬廣、只求標新立異等等。
[9] Wittmann指的substantial teaching unit有兩個重要的面向，一是在每個單元背後都有重要的數學概念、數學結構；二是透過單元背後的數學結構，同一個單元可以用在不同的階段以幫助學生學習上的銜接。筆者在這裡著重於前者。
[10] 整句話的原文是：Teachers who leave the university should have in their baggage a set of substantial teaching units that represent the standards of teachings.