Andrew Wiles vs. 華蘅芳 : 治算心得的譬喻

                                           台灣師大數學系教授 洪萬生

        自從 Andrew Wiles （安德魯˙懷爾斯）在1994年成功地將『費瑪最後定理』 (Fermat’s Last Theorem) 變成為一個真正的『定理』之後，有關他的為學風格，便逐漸匯聚了科普寫作的焦點。出版界那兩本即時問世的《費瑪最後定理》，當然是大家耳熟能詳的例子，不過，兩書的作者卻不曾試圖比較懷爾斯與其他偉大數學家的風格。最近，Paul G. Shotsberger 在《數學教師》(Mathematics Teacher) Vol. 93, No. 8（2000年11月）中發表了一篇 “Kepler and Wiles: Models of Perseverance”，針對這兩位數學家的不畏挫折與堅持到底的勇氣，提供了一個簡單但十分深刻的對比， 值得一讀。

        在本文中，我們也打算『附庸風雅』，對比懷爾斯與華蘅芳 (1833-1902) 的治算心得。首先，讓我們先引述懷爾斯的一段極生動的自白，其中比喻了他孤獨地在證明『費瑪最後定理』七、八年間的艱苦摸索過程：

設想你進入大廈的第一個房間，裡面很黑，一片漆黑。你在傢俱之間跌跌撞撞，但是逐漸你搞清楚了每一件傢俱所在的位置。最後，經過六個月或再多一些的時間，你找到了電燈開關，打開了燈。突然，整個房間充滿了光明，你能確切地明白你在何處。然後，你又進入下一個房間，又在黑暗中摸索了六個月。因此，每一次這樣的突破，儘管有時候，只是一瞬間的事，有時候要一兩天的時間，但它們實際上是這之前的許多個月裡在黑暗中跌跌撞撞的最終結果。沒有前面的這一切，它們是不可能出現的。

另一方面，在一百多年前，中國晚清數學家華蘅芳在研讀李善蘭 (1811-1882)、偉烈亞力 (Alexander Wylie) 所譯的《代數學》 (Elements of Algebra，A. De Morgan原著) 時，也有一段『困而學之』的心路歷程。華蘅芳在接受李善蘭贈送的譯本之後，隨即「披閱數頁外，已不知其所語云何也！」他承認：「蓋其格格不入者，猶之初讀《（測圓）海鏡》時也。」（按《測圓海鏡》是中國十三世紀數學家李冶集大成『天元術』的經典作品。）於是，他向李善蘭請教，後者卻回應說：「此中微妙，非可以言語形容，其法盡在書中，吾無所隱也。多觀之，則自解耳，是豈旦夕之工所能通曉者哉。」在這種情況下，華蘅芳只有苦思冥索一途了：

余信其言，反覆展玩不輟，乃得稍有頭緒，譬如傍晚之星，初見一點，旋見數點，又見數十點、數百點，以致燦然布滿天空。是余之於代數，其明也以漸，非如天元之術，不悟則已，一悟則豁然開朗也。然後知代數之術，其層壘曲折多於天元，故其致用之處，亦比天元更廣。

誠然，比較上述這兩段自白，的確是有一點『不倫不類』，這是因為懷爾斯總結了二十世紀的數學風華，至於華蘅芳固然是晚清傑出數學家，然而，他的數學成就卻只能放在中國的歷史環境中來加以考察，才能呈現比較有趣的意義。不過，這兩位數學家對於最終領悟相關數學知識之精妙所用的比喻 (metaphor) － 『黑暗的大廈』與『傍晚之星』，卻有異曲同工之妙，值得我們共同來珍惜。

最後，華蘅芳何以能夠『頓悟』中國『天元術』，但卻只能『漸悟』西方『代數學』？我們迄今無從得知。『天元術』這種中國傳統列方程式的方法，從學習認知的觀點來看，是否在『認識論』層面上，根本不同於西方代數學，絕對是HPM無法迴避的重要問題，但願將來我們可以交出一點研究成績。

參考文獻：

Aczel, Amir D. (1998), 《費馬最後定理》（中譯本），台北：時報文化出版公司。

Singh, Simon (1998), 《費瑪最後定理》（中譯本），台北：台灣商務印書館。

洪萬生（待刊稿），〈華蘅芳學算心得的啟示〉。

華蘅芳 (1885)， 《學算筆談》。

Horng, Wann-Sheng (1993), “Hua Hengfang (1833-1902) and His Notebook on Learning Mathematics – Xue Suan Bi Tan”, Philosophy and the History of Science: A Taiwanese Journal 2(2): 27-76.