以中國文字為例，藉由象形、指事、會意、形聲、轉注、假借的六大造字技巧，文字的創造不僅可以綿延不絕，亦能保有文化傳承的特有雋美。如果花點心思探索文字的奧祕，將可發現每個字的成形背後饒富其趣；在了解每個成語、辭彙所隱含的歷史典故後，亦會令人發思古之情。當然我們更相信，一位肩負啟蒙教育的國文老師一定不會放過這些豐富的文化資產與歷史史料，相反地這些正是他們可以大書特書的教學資源。如此，我們可以預料學生在當下流行的雜誌、或傳播媒體上看到「
」字時，不需說明自當理解而莞爾。數 學 課 堂 上 的 另 類 話 題
台師大數學教學碩士班研究生
陳啟文
談到語言與文字，無庸置疑的，兩者不僅是人類的偉大資產，亦是歷史、文化傳承的重要利器；除了記錄過去人類祖先前仆後繼、可歌可泣的奮鬥史實外，也傳達了現在人與人溝通交流的意念與情感。
曾幾何時，英文字母的「Q」變成對食物很有咬勁、極富彈性的最佳寫照，無獨有偶地3Q也在某些非正式的場合出現，成了時下你我皆懂的俏皮話語﹖也不知道什麼原因使「大哥大」變成行動電話的代名詞，而「酷」字竟成為「cool」的新翻譯﹖於是，不管是對計程車司機文雅且貼切的「運將」稱呼，或是現在年輕人所謂「機車」的不雅話語等等，諸如此類林林總總的詞藻，皆是在特定的時空背景下，多元文化下的衝擊產物，凡此難免引起身處
”e”
世代的你我一定的好奇與注意。正如90年1/29的中國時報人間副刊上斗大的標題「不經一事、不長一字」一文所明示的一樣，在每個字的成形背後，的的確確有著許多故事情節，常能引人入勝，浸淫其中。作者在文中曾提到去年激烈的美國總統選戰「膠著」一詞，以美語來說就有standoff(相持不下)、dilemma(進退兩難)、gridlock(交通堵塞)等許多用法，而原表示打孔機上鑽出來的碎紙片chad這一罕見詞彙，竟也出籠，粉末登場，用來代替各州郡的選票設計不良、選舉人打錯候選人、或是手弱無力，在選票上打不出孔等問題，一時之間chad問題成為電視及報紙爭相採用的字眼。因此一個新詞彙的產生自必是另一股社會文化的注入下的結果，想要了解並使用此一新詞彙，唯有對語言、文字的發展脈絡多予推敲與思索，方有所得。
以中國文字為例，藉由象形、指事、會意、形聲、轉注、假借的六大造字技巧，文字的創造不僅可以綿延不絕，亦能保有文化傳承的特有雋美。如果花點心思探索文字的奧祕，將可發現每個字的成形背後饒富其趣；在了解每個成語、辭彙所隱含的歷史典故後，亦會令人發思古之情。當然我們更相信，一位肩負啟蒙教育的國文老師一定不會放過這些豐富的文化資產與歷史史料，相反地這些正是他們可以大書特書的教學資源。如此，我們可以預料學生在當下流行的雜誌、或傳播媒體上看到「
」字時，不需說明自當理解而莞爾。
再以英文來說，由於每個辭彙皆有其根源所在，或源自拉丁語系，或延續希臘語系…等等，在經過各種文化的洗禮、交流與淬鍊後，有些保有原來風貌，有些變得更精緻和貼切，因此想要記憶單字、片語，那麼透過對歷史文化的了解，來探討字根與字義將是每個想學好英文者的不二法門。若某位英文老師總是會將one
, tow , three , four,…與uni-,bi-,tri-,tetra-,…的不同，予以簡介，並引用名牌服飾unicorn的uni與corn，日常交通工具bicycle中的bi與cycle或是數學中triangle的tri與angle…等做說明，如此之目的無它！旨在教學課堂上希望引起學生的學習動機及興趣，傳授應有語言知識，並期望學生在日後遇見了看似相同的字形字根時，皆能主動出擊，利用工具書來區分其異同之處。話說數年前，猶記IBM與Apple這兩個眾所皆知的兩大電腦品牌中，「
IBM曾被用來檢示新出品的辭典或電子辭典是否如業者所標榜的最新版」，而「Apple一字也被安排在名片〈阿甘正傳〉中讓主角誤認其友人目前正經營蘋果生意，而引來觀眾笑聲」。若能在適當之課程中，將此類生活話題，引入教學情境，訴說其原委，相信對於教學與學習語言亦具裨益。
同樣地，數學既是人類生活下的產物，所使用的詞彙自必和生活上的字彙一樣，無法與歷史文化切斷淵源；其蛻變亦必和歷史文化的演進並行而交織。在課堂上，學生面對新課程，新事物，正如數學家面臨新的問題一樣，唯一不同的是，前者是新手，而後者卻是專家，因此當他們在學習時，老師的介入是必要的。在此我們可以說，在適當之課程，引進數學詞彙，讓學生產生學習動機，並且把它當作接受數學訓練中的開端及探索，將是一項不錯的的教學策略。尤其透過師生同時分享數學詞彙的演進，將更能豐富學生的語言知識及對數學脈絡的認知。當然可能的話，也可以將數學辭彙與日常生活或其他學科之字辭相結合，例如：數學上的直線之斜率，若賦予單位，即是日常生活購物的「單價」，存款的「單利」，也是物理學上所謂的「速度」、「彈力常數」、「歐姆數」…等。如此，藉由語言文字的探討，學生在多了一條自然的學習路徑之餘，也能夠多些人文面向，以及對文化關懷，相信這對他們數學知識的建立以及人格的陶冶是正面的。
數學所蘊含的豐富詞彙，不勝枚舉，只要有心探索，自有斬穫，不僅能發現其引用之根源，亦能領悟其背後之哲學思維，例如，「代數學」一詞是1859年中國清代數學家李善蘭(1811~1882)和英國人偉烈亞力(A.Wylie,1815~1887)合譯棣莫甘(A.
De Morgan,1806~1871)的Elements of Algebra，所定名的。李善蘭認為這一門數學的特點是：「以字代數或不定數，或未知已定數。恆用之已知數或因太繁，亦以字代之。」。而在1873年清代數學家華蘅芳(1831~1902)與英國人傅蘭雅(J.Fryer,1839~1928)
亦在合譯的《代數術》卷首中指出：「代數之法，無論何數，皆可任以何記號代之。…」，因此現在「代數」一詞便是指運用文字符號來代表數字的一種方法。
而英文Algebra一字乃源自於阿拉伯帝國數學家阿爾．花拉子模(al-Khowarizmi)所寫的一本代數書的標題，其拉丁文的譯名為Hisab
al-jabr w’al muquabalah。其中ai-jabr一字在該書裡，意指還原或移項，即把方程式5x
–6
= 3 -2x兩邊同加2x變成7x -6
= 3，而w’al muquabalah則指兩邊對消，意思是把7x
–6
= 3變成7x = 9。由於後來w’al
muquabalah逐漸被人遺忘，而al-jabr便成為擁有阿拉伯文及拉丁文語源的algebra。值得一提的是al-jabr在被引進西班牙時被改寫為algebrista，意思是「接骨師」，到了十六世紀，義大利字的algebra還是指「接骨技術」，關於這一點，阿拉伯中世紀歷史學家Ibn
Khaldum曾比較「解代數方程式」和「接骨技術」時指出：「The
various elements are ‘ confronted’,
and ‘ broken’
portions are ‘
set ’ and thus become ‘
healthy ’」如果我們將algebra解讀為將兩頭物件加以結合處理的工作，那麼解方程式時，對等號兩邊做還原、對消的工作與接合斷裂成兩邊之骨頭的工作似乎就是一樣的動作，將使之變得更好更棒(‘healthy’)。是否合理﹖就不得而知了。
談到一元一次方程式，指的是僅含一個變數且其最高次數為一次的多項式方程式。回溯中國古代算數與代數，從一世紀東漢時期開始，中國古代數學家即能熟練地利用籌算處理加、減、乘、除、開平方及立方等運算，後來也提出了解聯立一次方程之解法，直到李冶(1192~1279)提出「天元術」方使解方程式更為便利。所謂的「天元術」中所謂的「元」，指「本來」、「原來」，如《春秋繁露．重政》「是以春秋變一謂之元，元猶原」。因此不難想像「天元術」中將未知數設為「元」來處理，即如現在的解問題一樣如：「立天元為一為某某」就是「設x為某某」的意思，然後根據題意所給的條件，列出等式，依籌算得到一端為零的方程式。
以上圖兩個籌式為例，「元」字左側是一次項之係數，有時在常數項旁記一個「太」字即表示x2
+32x +252=0 。
至於「方程」中的「方」，猶併也；「程」，為度量之總稱，如《荀子．致仕》「程者，物之準也」；如果將兩字合併，則可當作設立一定的準式以為法則，如《管子．明法解》「法者，天下之程式也，萬事之儀表也」。數學史家郭書春認為「方程的本義就是併而程之。細言之就是把諸物之間的數量關係並列起來，考核其度量標準。」(郭書春，1998)，以其見地最為明確，可看出「方程」就是把每一個數量並列，如現在所列的線性聯立方程式，再利用現今所謂行運算加以求解，即得所稱之「方程術」。今舉一利用「方程術」解題如下：
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何﹖
籌算如下面七個步驟：
而最後得到的式子(7)，以現在方式表示為：
因此，
答曰：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗
之三
雖然在古中國將「equation」當成「相等式」，但由於清朝李善蘭與偉烈亞力在合譯棣莫甘的《代數學》時，將「equation」譯為「方程」，而華蘅芳與傅蘭雅在合譯《代數術》時，將「equation」譯為「方程式」，因而沿用至今。不過為何把解聯立方程之「方程」當譯名﹖可能是他們把解equation的還原對消與解聯立方程式的消「元」運算視為同樣技巧，而做這樣的譯名，相信這應是合理的猜測吧！
接著我們來看一看已為研究圖形之總稱：「幾何」一詞吧！該詞原見諸古算書典籍，如「九章算術」中：「今有田廣十五步，縱十六步，問田幾何﹖…」，該「幾何」為古代算數書上問題結尾常用的詞語，旨在詢問「數量多少」；而1606~1607年由義大利人利瑪竇(Matteo
Ricci,1552~1610) 以及上海人徐光啟(1562~1633)合譯的前六卷《幾何原本》中稱：「比例者，兩幾何以幾何相比之理」並解釋說：「兩幾何者，或兩數，或兩線，或兩面，或兩體，各以同類大小相比，謂之比例。」可見他們所謂「幾何」指的就是數和量。再由引言：「曰原本者，朋幾何之所以然。」，所以「幾何原本」意謂數與量的原理。因而清以後「幾何」一詞即流行至今成為專門的術語。
至於西方的數學Geometry一詞，原指埃及尼羅泥每年春季氾濫，埃及人為重新測量土地而發展出的方法，而這種技術傳到希臘，便由表示地球的Geo(earth)，以及表示測量的metron
(measure)，這兩二個字合併而成。只不過英國人艾約瑟(Joseph
Edkins 1825~1905) 猜想當時採用「幾何」一詞，可能與Geometry中的Geo之發音有關，其可靠性也就見仁見智。但為何他們會找到〝幾何原本〞來做書名，並以此表示該書之內容，乃以極為嚴密的邏輯，窮究數與量之原理﹖相信艾氏之看法是有其幾分道理，且耐人尋味！
中學課程中，圓錐曲線是十分重要單元，它是雙曲線、拋物線以及橢圓的幾何觀點與代數式的連結點。中文部分實可望文生義，了解物件之圖形表徵，但在英文部分hyperbola(雙曲線)、parabola(拋物線)以及ellipse(橢圓)
此三字，從字母表面根本看不出個玄虛，若單從一般從字典，亦只能發現Hyper-表「超過」、「多」之意；para-表「平行」之意；而ellipsis為「省略」之意。究其根源，我們可以知道hyperbola(雙曲線)、parabola(拋物線)以及ellipse(橢圓)這三個字是由對圓錐曲線十分投入的Apollonius所提出，不過他也是借用畢達哥拉斯學派當初處理矩形貼合於一線段之問題時，所使用「超過」、「重合」或「短於」的三個術語，即hyperbole、parabole及ellipsis，說得更朋白一些就是more、equal及less之意。
利用上圖可以看到：
(1) 當一截平面傾斜超過(more than)圓錐的傾斜角θ其截面為雙曲線，如圖一。
(2) 當一截平面傾斜等於(equal to)圓錐的傾斜角θ其截面為拋物線，如圖二。
(3) 當一截平面傾斜少於(less than)圓錐的傾斜角θ其截面為橢圓，如圖三。
若與亞里斯多德(Aristotle, 384~322 B.C))在修辭學上為演講之良窳，建立的三個標準加以比較：
(1) 演說內容離題或誇大即稱hyperbole。
(2) 演說內容與主題符合且貼切即稱parable。
(3)
演說太短或未掌握重點即稱elliptical。
除了呈現該字根之字義外，更可以說數學家在對物件命名上之哲學觀點，也頗值得推敲、玩味。
最後我們來談談影響人類最深遠的字π。在古中國很早以前就已知道圓周率為三的近似值，一般認為到了南北朝方由祖沖之(429~500)進一步求得約率
，密率
，自此後世史家莫不視之為偉大成就，且為文「歌功頌德」一番。而在西方，乃於1647年由Wiliam
Oughtred首次取古希臘字
(圓周)，
(直徑)第一個字母，在《數學指南》(Clavis Mathematicae,1631)
一書中以
代表圓周率，而在1706年英國人瓊斯(William
Jones, 1675~1746)，在《新數學引論》(Synopsis palmariorum matheseos,倫敦出版)243,263頁上首次創用π代表圓周率。(梁宗巨，1998)
其實，若能在數學課堂上「適當地」引用現有的眾多史料，介紹人類從過去採用實驗法、幾何法，到現在利用分析理論、計算機技巧，試圖揭開π的神秘面紗，一睹其風情萬種的面貌所做的努力，指陳「π」一詞如何的與人類生活密不可分，且與歷史、文化、及科技之演進並行，相信不僅教學相長，而且學生也會獲益匪淺。或許也可以課堂上詼諧的引用一則聲稱「感冒時打噴嚏發出來的〝哈啾〞聲，是「世界共通的語言」之廣告詞，告訴學生果真如此！那麼π更可以說是臨駕其上且當之無愧。
以上所談，僅為浩翰的數學辭藻之一環，其他尚有許多主題可供深究，例如，可公度量與有理數rational
number中ratio(比率)之關連；「函數」一辭與Function一字之原有面貌；坐標軸中四個「象限」與周易八卦之緣起；或如「Zeno」問題到無窮記號〝∞〞之故事…等等，俯拾皆是，均可當做本篇的標題所示「數學課堂上的另類話題」，如此，不僅可使學生望而生畏的數學活動更具人性化、生活化，而且也豐富了學生的數學知識，相信這對其學習其他學科亦能發揮應有之功效。
但是如何將古代文本與現有數學史料予以整合，以及如何將已熟悉的數學詞彙資源，配合學生已有的先備知識，將之融入於數學教學上，的確需要一些經驗及技巧的，不過，如果有更多的人願意投入這類的教學活動，並且分享心得，相信你我一堂傳統的數學課，將會增色不少。
參考資料:
李儼、杜石然(1997)，《中國古代數學簡史》，台北：九章出版社。
林聰源(1995)，《數學史-古典篇》，凡異出版社。
洪萬生(1999)，《孔子與數學》，台北：明文書局。
梁宗巨(1998)，《數學歷史典故》，台北：九章出版社。
郭書春(1998)，《九章算術》，遼寧：教育出版。
《大辭典》(1985)，台北：三民書局。
Rebenstein, Rheta N. and Randy K. Schwartz (2000), “Word Histories: Melding Mathematics and Meanings”, Mathematics Teacher 93 (8): 664-669