數學的語言－化無形為可見
台師大數學研究所博士班研究生
蘇意雯
一、前言
本文主要在於介紹Keith
Devlin的The language of
mathematics : making the invisible visible。本書由紐約W.
H. Freeman and Company於2000年出版，筆者是於美國舊金山機場書店購得。由於當時往拉斯維加斯的飛機誤點三小時，筆者有多餘時間在機場閒逛時翻閱到這本書。一看到本書的書名就激起了筆者的興趣，什麼是數學的語言？在任教的過程中，筆者發現有為數甚多的學生為數學所苦，在從小到大的數學學習中，他們找不到任何的趣味，甚至也看不到數學的任何用途。若真的要說數學有用，大概也是幫助考上理想大學的工具罷了。筆者認為，對於前述這些想法，本書就是一本相當好的解答，作者利用深入淺出的方式，把數學對人類生活上的運用及影響，以分門別類的方式，為讀者娓娓道來。
本書作者嘗試描述數學為人類文化一個豐富而生動的部分，因此他設定本書適於一般讀者，即閱讀本書的讀者不需要有任何的數學知識或背景。不過，由於書中免不了涉及了一些數學內容，因此筆者認為此書還是需要有高中程度的數學能力，對於即將進入大學的新鮮人而言，本書是再適合不過了。因為閱讀本書後，同學可對於大學以前所學的數學和之後所要學習的新知識做一番統整比較及預習。同樣的，對於中學數學教師而言，本書亦是一本很好的補充資料。這是一本優良的數學普及圖書，相當值得向各位讀者推介。
二、內容簡介及評論
作者Devlin主要是著眼於打破一般人對「數學就是探討『數』的一門學問」這種誤解。全書內容分為八章，分別是：
第一章
Why Numbers Count
第二章 Patterns of the Mind
第三章
Mathematics in Motion
第四章
Mathematics Gets into Shape
第五章 The Mathematics of
Beauty
第六章 What Happens When Mathematics Gets into
Position
第七章 How Mathematicians Figure the
Odds
第八章
Uncovering the Hidden Patterns of the Universe
以下筆者將為讀者一一簡要介紹各章的內容。
第一章主要是討論「數」，作者介紹了數的起源及遠古文明的計數，然後是符號的演進，畢氏定理、不可公度量數的發現進而質數的探討以及同餘概念的介紹，當然在探討數的歷史時無可避免的會提到費馬最後定理，作者也介紹了數學歸納法。簡而言之，第一章就是數論發展的簡介，作者以數學知識為主體，數學史為輔，在各主題之間穿插了一些讀者耳熟能詳的數學史和數學家。從第一章中，讀者就可領會作者充滿歷史旨趣的撰述風格。
第二章著重的是心靈的類型，當然就是邏輯的探討。於是由亞里斯多德的邏輯型式起始，到尤拉以尤拉圓對演繹法提供了幾何的思考方式，思考的型態逐漸變換到代數的型式甚至進入簡單的幾何型式，作者希望藉此讀者能再次感受到數學的威力。接著是布爾（George
Boole 1815-1864）的思維，他提出了運用代數到人類理性研究的方法。當時的數學家已逐漸明瞭代數的符號可支配數字以外之實體，以及代數的方法可被應用到普通算術之外的領域。布爾的貢獻讓人們再次感受到，在數學中，考慮的通常不僅僅是你對事件的看法，而是你說明它的方式。接下來的篇幅是邏輯的一些概念和進展，Hilbert計畫的源起和落幕，邏輯的黃金時期以及Chomsky對語言的革命性理論。Chomsky開啟了「尋找公理，以用來描述語言的句法結構」之先河，他運用代數捕捉語言的一些類型，展示出語法句子的抽象類型是數學化的，至少，可藉著數學作最佳的描述。除此之外，語言中還另有玄機，那就是在章末，作者所舉的例子---隱藏在我們文字章句中的另類指紋。
每個人的用字遣詞都有固定模式，因此當一篇文章不知作者為何許人時，只要給予足夠長的文章，數學家就可以判定出作者。1962年，美國數學家Frederick
Mosteller和David Wallace
就使用了這項技巧，解決了《聯邦主義者》(The Federalist)
各篇章由誰主筆的問題。這份文稿共含85篇文章，在1787年到1788年由Alexander
Hamilton、John Jay和James Madison所出版，他們的目標是要說服紐約州的人民認可新的憲法。這份文件對於憲法藍圖的架構，佔有舉足輕重的地位，但由於每一篇文章都沒有標明其作者為何，因此引起歷史學家的關注。最後，由歷史上的線索考察，大家同意其中的51篇由Hamilton所著，5篇由Jay執筆，14篇屬於Madison。剩下的15篇中有三篇公認為集體著作，另外的12篇卻始終無法辨別作者究竟為Hamilton或是Madison。這時，就輪到數學家上場了。Mosteller和
Wallace的目標是尋找書寫中的數字的類型。他們檢查了兩人在一個句子中平均的字數以及常用字如「by」、「to」、「this」等等使用之頻率，終於解開迷團，找出了作者Madison。由此可知，數學不僅如伽利略所觀察到的---是大自然的語言；數學也可以用於幫助人們了解自我。
平心而論，作者在本章中花了很多心思以及力氣，為讀者介紹邏輯這門學問。但對於一個邏輯的初學者或者是門外漢而言，可能就會覺得本章有些枯燥。由於第一章是大家耳熟能詳的數論，第二章就跳至略嫌艱深的邏輯，對這樣的安排，筆者覺得可以稍作修改。
第三章談的是在運動中的數學，這也是大家頗為熟悉的議題，因此整個內容又活潑起來。從Zeno的悖論到微積分的發展，作者對萊布尼茲和牛頓的「誰先發明」公案也有精采的描述。接下來是一些無窮級數的例子，其處理方式都是高中生相當熟悉的。斜率的介紹到微分的引進，作者也舉例說明了利用微分方程可描述相當多生命的本質。延續積分之後的是實數及複數的探討，關於這方面在數學史上也佔有舉足輕重的地位，但作者並沒有多所著墨，是美中不足之處。
第四章是探討形狀中的數學，很顯然的，本章就是以介紹幾何知識為主。因此從土地測量到《幾何原本》，柏拉圖五個正多面體的介紹以及圓錐曲線、三大幾何難題以及非歐幾何、射影幾何等作者都有詳盡的安排。第五章是美感中的數學，也就是對稱型式的數學研究。當然無可避免的，對稱群的觀念就適時的被引進了，接著是Galois登場，因為他發現了一個方程式是否可以根式求解在於此方程式之對稱性，對群論的發展貢獻相當卓越。再接下來就是堆垛的問題，從二維到三維，作者巨細靡遺的為大家介紹一些數學家對這問題的貢獻。由於本書的宗旨是在強調數學的實用性，因此與現實有關的雪花和蜂巢的型式也是介紹的重點。值得一提的是，本書隨著各章節的需要，附有許多精采的插畫及圖片，頗值得讀者欣賞及參考。
第六章是討論數學與位置之關係，主要是為讀者引進拓樸學的概念，從七橋問題到尤拉公式以及莫比爾斯帶（Möbius
band），作者都有清楚的介紹。還有，想知道在數學上，如何辨別咖啡杯和甜甜圈嗎？作者在本章中也會給你滿意的答案。第七章是有關機率問題的處理，這也是一般人對於為何數學與生活有關，最容易聯想到的部分。對於本章中的數學史部分，作者描述的相當精采，對於大數法則、貝氏定理、數學期望值等一些重要的機率觀念也有詳細的解說。唯一的瑕疵是巴斯卡三角形的介紹部分略顯不足，並沒有充分顯現此三角形的真義。但瑕不掩瑜，章末對於數學對日常生活的運用，以及一些現代數學家的理論，例如Black-Scholes公式，都能深深地吸引讀者的注意力。
Black-Scholes公式是由Fischer
Black和Myron Scholes 於1970年創造，而由Robert
C. Merton所發展。由於此貢獻，Scholes和Merton連袂獲得1997年的諾貝爾獎，此時Black已於1995年辭世。這個公式可以告訴投資人以何種價格投資金融衍生商品，例如國內現在最風行的股票。利用數學去評量金融衍生商品，這種概念相當具有革命性，因此Black
和Scholes在出版其研究成果時，著實也遇到不少困難。他們首次的嘗試是在1970年，卻被芝加哥大學的《政治經濟學期刊》及哈佛的《經濟和統計評論》雙雙拒絕。直到1973年，在芝加哥大學一些重量級人士施壓於編輯之下，《政治經濟學期刊》才出版了這份論文。
反觀企業界就不會如學術象牙塔般短視，在出版後六個月，德州儀器已經把這個公式納入其最新的計算機裡，並在《華爾街期刊》上，以半頁的廣告為這項新特色大作宣傳。於是，在現代危機管理上，包括保險、股票操作和投資等，人們已可用數學去預測未來。在金融市場上的名言是：你能承受的風險愈大，所能獲得的潛在利潤也愈高。運用數學沒有辦法規避風險，但是它能告訴你將承受多少風險，而幫助你決定一個合宜的價格。數學之用可見大矣！
最後一章是探討數學和宇宙的關係，這包含了天文學、力學、電磁學等等。就如同作者在文末所言，隨著宇宙的運行，數學也是一直前進的，而探討宇宙所蘊含的數學模式也將永不停歇。
綜觀全書，筆者認為，藉著本書作者的生花妙筆，可讓大家了解「數學是什麼？」、「數學何用？」。噴射機為何能在空中飛行？我們沒有看到任何支撐，是數學上白努利的方程式做了解釋。物體落下是因為重力，但重力只是一個空洞的名詞，必須藉著牛頓的數學賦與它意義。這就是本書副標題「化無形為可見」的意含。另外，Devlin在書中，也費了相當多的心思安排一些數學知識結構，因此，閱讀本書除了讓讀者領略數學之美外，在數學知識的增進上應也有所幫助。此外，作者在章內主題的探討上，以歷史進路安排，帶領讀者貼近數學文化的豐富樣貌，相當引人入勝，這種編排方式或也可對照於教師授課的參考，其實，這也正是HPM的目標。這樣的一本好書，讓我們期待它的中譯本儘速問世。