除了兔子之外---談斐波那契

                               台師大數學研究所博士班  蘇意雯

如果偶而我或多或少疏忽了任何適當或必要的事情，我懇求您的寬恕。因為沒有人能無過並在所有事物上都考慮周詳。—斐波那契

 斐波那契一直都不是「斐波那契」，他於1170年生於比薩，在他的著作《花朵》（Flos, 1225）中，他稱他自己為Leonardo Pisano Bigollo。沒有任何直接證據顯示他的正式名稱與「斐波那契」這個名字有關。以「斐波那契」代替Leonardo Pisano似乎是1838年由數學史家Guillaume Libri開始，此後便約定俗成，沿用至今。事實上，如果你在當時要尋找斐波那契這個數學家，必定是徒勞無功的。

世人對斐波那契所知非常有限，在獻給中世紀學者Michael  Scott的《算盤書》（Liber abbaci, 1202）的開頭裡，斐波那契給了我們一段簡短的自傳，它是這樣寫的：

在我的父親被祖國比薩派任到布吉亞（Bugia）的海關為常常到那裡的比薩商人辦事時，我跟隨他到了那兒。父親要我學習印度-阿拉伯數碼和演算。我非常沉迷於學習以致於後來當我商務旅行至埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地時，我仍持續地研讀數學並參與當地學者的討論和爭辯。回到比薩後我以十五章的篇幅組成了此書，這本書裡包含了印度、阿拉伯和希臘的方法中我所認為最好的。我也放進了證明讓讀者和義大利人民有更進一步的了解。如果偶而我或多或少疏忽了任何適當或必要的事情，我懇求您的寬恕。因為沒有人能無過並在所有事物上都考慮周詳。

在這本著名的《算盤書》中，斐波那契使用了一般的字母代替未知數，例如res代替未知數，census代替平方。雖然他並沒有用現代的方程式利用符號來運算，但隨著作品中的字句描述，我們可以直接轉換成現代的方程式，這讓人不禁對斐波那契在處理代數運算時所使用的心理視覺基模感到驚訝。同樣的，這種寫作方式也出現於另一本較少人知的著作《平方數之書》（Liber quadratorum）。斐波那契對不定方程式的興趣於《平方數之書》中展露無遺。《平方數之書》共含24個命題，斐波那契在1225年寫成並呈獻給神聖羅馬帝國皇帝—菲特烈二世（FrederickⅡ,1194-1250），史家認為這是斐波那契最高深的一本書，也足以代表斐波那契身為一位數學家的最偉大的成就（Sigler, 1987）。但是之後《平方數之書》就失傳了，人們只能從佩西歐里（Luca Pacioli）的《算術大全》（Summa, 1494）中看到書中的片段。一直到19世紀中葉史家才在米蘭的圖書館發現《平方數之書》的手抄本。

在《平方數之書》的序曲中，斐波那契首先說明了他寫這本書的緣由。當他回到比薩之後，遇到了宮廷哲學家John of Palermo，此人向他提了一個問題，也就是書上的命題17「找一個平方數，使其加5或減5都為平方數」。斐波那契找出問題的答案後，經過整理與反思，他發現解的本身以及很多其他的問題都可由平方數或與平方數有關的數產生。後來當他聽到宮廷那兒有消息傳來，那就是菲特烈二世對斐波那契的著作感到興趣（此書似為《算盤書》），曾加以閱讀並和學者討論。斐波那契馬上想起了前面的問題，並立刻著手寫成了《平方數之書》獻給菲特烈二世。這位帝王以好學著稱，他相當熱衷學術活動也予以大力贊助，所以在他的宮廷裡總是包圍著一大群飽學之士。在此，讀者不難想見斐波那契為何急於要獻書給皇帝了。

        在序曲的最後，有一個很有趣的地方，那就是斐波那契照例寫了下面的一段話「如果任何地方有些許的不恰當，我懇求您的寬容。因為能夠記得每一件事而且永不犯錯的是神而不是人，而且沒有人能無過並在每個地方都縝密周詳。」這種表達形式是斐波那契之個人風格或是當時的時尚，還有待做進一步的考證。

從HPM上來考量，由於《平方數之書》裡面的命題有些有前後的關連，有些過於艱深富技巧，因此若教師想運用此文本於課堂教學，必須做些篩選。譬如命題12：「若兩數互質其和為偶數，如果把兩數及其和三者的乘積再乘上大數減小數的值，所得到的數將是24的倍數」，筆者認為難度適中，就是個教學上不錯的選擇，謹供各位讀者參考。

參考文獻

洪萬生（2001），〈當斐波那契碰上孫子〉，《HPM通訊》第四卷第一期，頁1-2。

Fibonacci, Leonardo Pisano (1987), The Book of Squares. New York: Academic Press, Inc.

Grattan-Guinness, Ivor (1997), The Fontana History of the Mathematical Sciences. London: Fontana Press.

Sigler, L. E.（1987）,  “Introduction: A Brief Biography of Leonardo Pisano（Fibonacci）’, in Fibonacci (1987), pp. xv-xx.