斐波那契的數論研究
台師大數學研究所碩士班研究生
葉吉海
提到斐波那契就想到了兔子問題，但大家可能想不到他寫了一本有關數論的書―《平方數之書》。[1]
斐波那契在《平方數之書》中處理了許多代數的問題，他追隨阿拉伯人在算術的方法上建立起代數。本書共收集了24個命題，由於是文字敘述解題，所以大部分的命題篇幅都不小，有些還特別長。如：命題6、14、22、24等。斐波那契針對這些命題長篇敘述解題，真的很不簡單，但覺得讀者看完要懂可能就更不簡單了。
書中的命題論述夾雜著歐幾里得的風格，他以歐幾里得的幾何傳統呈現證明，且用一般的文字來表示不知道的量。雖然他沒有用現代的算式和符號來運算，但他的著作的內容卻可直接地轉譯成現代的算式。他處理論證所呈現的幾何表徵有線段和三角圖形等。至於使用的文字符號以「.□.」作為代表數目的幾何表徵，如：線段「.ab.」代表數目或直接以線段「.a.」代表數目；[2]三角形邊的比例關係表徵各數目間的比例關係。書中還有運用內含數字的圓形、菱形圖樣來「輔助」解題，如命題14、17，但為何斐波那契提供這些圖示，我們迄今無法得知。
命題14之輔助圖形
命題17的輔助圖形
這24個命題的題型有些與歐幾里得的《幾何原本》相似，如：命題3等。也有些與丟番圖（Diophantus）的《數論》（Arithemetica）相似，如：命題22等。整本書的命題可分好幾個主題。如下所示：
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兩平方數之和等於另一平方數 |
命題1、3、5、7、8、23 |
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兩數平方差關係 |
命題2、21 |
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某平方等於從1開始的奇數序列和 |
命題4 |
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恆等式(a2+b2)(g2+d2)=(ag+bd)2+(bg－ad)2
＝(ad+bg)2+(bd－ag)2的證明與應用 |
命題6、7、8、9 |
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平方和公式[3] |
命題10、11 |
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（m，n）＝1，mn(m+n)(m-n)是24的倍數 |
命題12 |
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平均數 |
命題13 |
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三數的平方congruous數 |
命題14、15、16、17、18、19、20、22 |
斐波那契以擁有極多的數學知識─自己的和前人的─而名噪一時，今日由這本書看來，的確名符其實。對於某些命題用丟番圖的方法即可解決，但他提供了另一種方法來解題，如命題14、22等。此外，對這24個命題他除了給出證明之外，有的還給出實例，如：命題4、5、9、20、22、24等。因此，這本書就像是一本教科書，斐波那契希望讀者透過他的陳述，能對數學有更深的了解和肯定。當然還包括對他提出挑戰的宮廷學者和神聖羅馬皇帝。
《平方數之書》在1225年完成，並題獻給神聖羅馬帝國皇帝腓特烈二世（FrederickⅡ,
1194-1250），這是斐波那契最有深度的一部著作，也足證明他是一個傑出數學家。乍讀這本書以為此書和歐幾里得的《幾何原本》一樣，有擦拭前人數學成果之嫌。但細讀過後，覺得此書可定位為一「數學珍寶」，其內容為利用前人的材料，加上自己獨特的見解，架構出獨樹一格的城堡。這也難怪斐波那契要將這本書視為「珍寶」獻給腓特烈二世。
雖然《平方數之書》並不像《算盤書》那麼的受人重視，但由此書的確可以證明斐波那契不愧為歐洲中世紀最偉大的數學家。
參考文獻
Fibonacci,
Leoonardo Pisano (1987). The Book of Squares.
New York: Academic Press, Inc.
.Heath,
T.L. Diophantus of Alexandria: a study in the
history of greek algebra.
New York:Dover
Publications,Inc.
Morris
Kline原著，洪萬生、林炎全、楊康景松譯(1983)，《數學史─數學思想的發展》上冊。台北：九章出版社。
Fibonacci,
Leoonardo Pisano (1987). The Book of Squares.
New York: Academic Press, Inc.
.Heath,
T.L. Diophantus of Alexandria: a study in the
history of greek algebra.
New York:Dover
Publications,Inc.
Morris
Kline原著，洪萬生、林炎全、楊康景松譯(1983)，《數學史─數學思想的發展》上冊。台北：九章出版社。
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名人櫥窗----Leonardo Pisano（Fibonacci） Leonardo
Pisano在1170年生於義大利的Pisa。他的父親是Guilielmo，Leonardo視自己為Bonaccio的繼承者。Bonaccio很有可能是Leonardo的祖先。1225年，在他的Flos這本書中，他自稱為Leonardo
Pisano Bigollo；1240年，在一個Pisa的官方酬庸他為財政顧問的檔案中，他也自稱為Leonardo
Pisano Bigollo。很多人想去解釋Bigollo的由來，但都徒勞無功。值得一提，是Fibonacci這個綽號，可能是源於數學史家Guillaume
Libri在1838開始對他如此稱呼。然而，沒有任何證據顯示Leonardo這樣稱呼他自己。 Leonardo在非洲受過教育並遍遊歐洲和小亞細亞，中年之後，定居於Pisa。西西里的腓特烈二世（Frederick
Ⅱ of Sicily，1194-1250）和宮廷裡的哲學家們都非常崇敬他，現存他大部分的著作都是題獻給他們的。 Leonardo在他的一部劃時代的鉅著《算盤書》（Liber
abbaci）中，提供了一段自傳，內容如下： 我和父親會合是在他被派任Pisa的海關官員事務時，他讓我習得不可思議的印度阿拉伯數碼及其計算。我非常地喜歡這個知識，以致於在我前往埃及、敘利亞、希臘、西西里島和羅馬帝國領土以外的土地做生意的途中，還繼續研讀數學，而且樂於和當地的學者討論和論辯數學。回到Pisa我編輯了十五章節的《算盤書》，內容包含了我認為最好的印度、阿拉伯、和希臘的方法。我還加上證明，以讓讀者和義大利人們能更瞭解其內容……。 Leonardo對於《算盤書》交代清楚的意圖，在於引進阿拉伯數碼和算術的方法到義大利。他認為阿拉伯數碼比羅馬數碼更優越運用於做生意和計算上。甚至在中東回教世界，阿拉伯數碼和計算只被數學家和科學家在他們的科學工作上使用。而不是被生意人和會計師所使用。史學家S.
Goitein指出，是歐洲人回過頭來教阿拉伯生意人，阿拉伯數碼和計算對於生意和會計的優越性。 除了《算盤書》（Liber
abbaci）(1202，1228) Leonardo的數學著作還有Practica
geometriae(1223) ，《花朵》(Flos ，1225)，Epsistola
ad Magistrum Theodorum(?)，《平方數之書》(Liber qudratorum
，1225)和一本已遺失有關貿易算術的著作Di minor guisa等。而有關Leonardo的後來的生活到死亡很不幸已不可考了。 |