參加一九九六年HPM研討會有感

                                                                                                    台灣師大數學系 洪萬生教授

    本文原發表於1996年9月15日《科技報導》。謹重刊於此，紀念英年早逝的 John Fauvel教授 (1947-2001)。他是HPM國際學界的最佳使者，由於他的前瞻視野與大力支持，才有『HPM 2000 Taipei』的誕生。我們永遠懷念他！

        HPM是國際數學教育委員會 (ICMI, International Commission on Mathematics Instruction)下屬的一個研究群，它的原名叫「數學史與數學教學之關係研究群」(International Study Group on the Relationships of History and Pedagogy of Mathematics)，目的是在結合數學史與數學教學，以便提升數學教育的成效。除了經常舉行比較小型的區域研討會之外，HPM還與ICME (International Congress on Mathematics Education) 同步，每四年暑假舉辦一次國際性大型研討會。

　　一九九六年的ICME-8（亦即第八屆ICME）月前已經在西班牙Sevilla市舉行（七月十四日∼七月二十一日），至於HPM（作為ICME的satellite meeting）則選在鄰近的葡萄牙舉行，時間是七月二十四日至七月三十日，地點則是葡國北部距離Porto海港五十多公里的山城Braga。由於該城曾是古羅馬人統治的重地，至今仍保存300多座天主教堂，因此，素有『葡萄牙的羅馬』之稱。

會議特色

　　本次研討會是HPM與「歐洲區大學暑期數學史與數學教育研習班」(European Summer University on History and Epistemology in Mathematics Education) 合併舉行，其特色是有很多中小學數學教師與會。由於負責籌辦的地主是Minho大學數學系與葡萄牙數學教師學會(The Portuguese Association of Teachers of Mathematics, APM)，因此，該小學數學教師以及師範體系學校的數學系學生，尤其踴躍參加，令人印象深刻。

　　總計大會報名有來自33個國家和地區的549人，其中葡國就占了311人；此外，以葡語為官方語言的巴西也報名了71人。不過，歐美主要國家如法國（37）、美國（19）、英國（15）、荷蘭（12）、西班牙（11）、義大利（10）、加拿大（7）、瑞典（7）與德國（5）等，都有具代表性學者參加（括弧所示數目為參加人數）。事實上，如Ubiratan D’Ambrosio、Evelyne Barbin、Gert Schubring、Alejandro Garciadiego、Paulus Cerdes、Otto Bekken、John Fauvel、June Barrow-Green、Leo Rogers、Jan van Maanen、Charles Jones、Frank Swetz、Victor Katz等，都是十分活躍的學者。

　　其中有多位還是Historia Mathematica 編委會同仁，我們1993年在西班牙Zaragoza慶祝該學報創刊二十週年時已經見過面，此次再會格外親切。譬如說吧，任教於莫三鼻給 (Mozambique) 教育大學的Paulus Gerdes，是非洲數學聯盟 (African Mathematical Union) 下屬數學史委員會 (Commission on the History of Mathematics in Africa) 主席，在民族數學 (ethno-mathematics) 的研究成績斐然，與巴西的Ubiratan D’Ambrosio同是第三世界的學界領袖，這次他特別帶來很多研究著作在會場展示。因為筆者向他表示將在台灣開展民族數學研究，所以，承他贈送所展示的英文著作。

會議過程

　　大會各項會程的安排，共有大會演講 (Plenary Lecture)、通俗演講 (Introductory Lecture)、論文發表 (Papers)、工作坊 (Workshops)、小組專題討論 (Panels) 與特別會議 (Special Sessions) 多種，其中大會演講只邀請里斯本科學院的F. R. Dias Agudo演講 “Pedro Nunes and the lessons of an epoch”。Nunes（1502~1578）是葡萄牙十六世紀的重要數學家，曾任教Coimbra大學，並在1532年出版Libro de Algebra。有異於同時代其他代數著作，Nunes完全以抽象化的方式處理代數。演講者以Nunes的業績作為歷史的教訓，藉以勉勵數學教育工作者應該努力的方向。

　　「通俗演講」除概述幾個文明的數學成就，介紹一些數學分支如三角、數論、機率、組合學、非歐幾何的歷史之外，也泛論了一些風雅的通識專題如數學與音樂、藝術乃至文化的關係。由於聽眾包括很多中小學教師，因此，演講者大都以導論的方式呈現。此次蕭文強（香港大學）應邀演講 ”Mathematics in Ancient China”，但因故無法出席，遂由他的弟子馮振業（香港教育學院）代打，表現出色。John Fauvel 與筆者極力慫恿他改行作數學史，看起來他是有一點心動。

　　至於筆者本人提交論文 ”Euclid versus Liu Hui : A pedagogical reflection”，則在「論文發表」這一項目中發表。在這一篇報告中，筆者以三個例子，分別是輾轉相除法、圓面積公式與錐體體積公式、對比歐幾理得和劉徽的不同但互補的進路，最後強調比較數學史可以在數學教學方面所帶來的啟發。由於拙文直接引述《幾何原本》與《九章算術》等典籍的第一手史料，一些與會學者遂跟筆者討論數學史在HPM中的份量或地位（status），筆者告訴他們說HPM可以算是數學史的應用；因此，只要對數學教育有任何幫助，數學史家應該都很歡迎教師分享他們的研究成果才是。事實上，牛頓是否被落地的蘋果打到？二十一歲的Galois是否在決鬥致死前夕完成不朽的論文？數學教師怎麼編造這些故事根本無傷大雅，要緊的是引起學生的學習動機或興趣。

論文舉隅

　　在「論文發表」這一項目中，還有多篇報告值得介紹，其中如Amira Cooper的

“Integration of the Historical Development of Mathematics in Mathematics Teaching in the High School Using Individual Reading”，就提出了很容易模仿的研究方法。再如下列論文：

          1. Ian Algernon Issacs, “A Historical Approach to Developing the Cultural
           Significance of Mathematics amongst First Year Pre-service Primary School teachers”;

　　2. Greisy Winickiu Landman, “Regula Falsi: Some Reflections of Elementary
School Teachers”;

　　3. Indira Chacko, “Traditional Counting Systems and Its Places in the Papua New
Guinean Culture”;

　　4. Iran Abreu Mendes, “Conceptions and Attitudes of Mathematics Teachers
towards the History of Mathematics as a Pedagogical Device”;

　　5. Luis Radford. “Quadratic Equations: Re-inventing the Formula. a teaching
sequence based on the historical development of algebra”;

　　6. Abdulcarimo Ismael, “Traditional Games and the Concept of Probability:
Implications for teaching”;

         7. George Charles Krajesik, “Observations about Teaching Mathematical
          Definitions and Concepts to Nonnative Speakers of English in Papua New Guinca”;

　　8. Giuliano Testa. “Conies, a teaching experience”;

　　9. Coralie Daniel. “Teachers’ Responses to Students Who Discover Mathematics for
Themselves”.

等等也都是十分有趣的研究心得。不過，在「工作坊」這一項中有很多研究成果直接與HPM有關，所以，時間衝突時往往只有割拾前者。

　　就「工作坊」這一項中，筆者主要參加Franco Favilli, Jama Musse Jama的 ”Teaching Mathematics in Somalia” 與M. G. Koen M. Pillot的 ”How to Integrate the History of Mathematics in the Education of Teachers: Some examples”，前著介紹了索馬里亞的數學課程內容及其產生的文化衝擊，後者則呈現了荷蘭Katholieke Leergangen 訓練中學數學教師課程中的數學史教學實施情況。

　　此外，在即將結束之前，筆者也參加了Jan van Maanen 所主持的「特別會議」： “How can we be sure that HPM works?  Studying the effectiveness of history as a tool to teach mathematics”，這一議題對HPM的發展極為緊要。因為不如此，則國際學界的資源很難進一步整合或協調，同時教育主管部門也較容易輕忽HPM研究的意義。可惜，一個小時聽下來，筆者發現所謂的「實證研究」（empirical study）並不很多，儘管數學史對數學教學的幫助的確是有目共睹。不過，要求HPM的研究者提出比較有效或時髦的「證據」，則是呼聲愈來愈高。四年後的HPM研討或可望有更豐碩的成果出現。

與會心得

　　對筆者而言，HPM研討會是第一次參加。儘管多年來在台灣師大數學系教授「數學史」時，總是強調它與數學教育的關聯，然而，教學負擔與數學史專業研究占去太多時間，無暇分心關懷HPM課題。筆者1994年7月18~20日在國科會的贊助下，為本系籌辦「數學史與數學教學之關聯」研討會，邀請國外Joseph Dauben、Ivor Grattan-Guinness與蕭文強擔任講員，國內學者魏慶榮、張海潮、朱建正、蔡聰明、傅大為、徐光台、傅麗玉、郭重吉、邱守榕、張靜嚳、林炎全、林崇熙、周進洋，本校二、三十位同仁以及中學數學教師一百多位共襄盛舉。會後，同仁及中學教師無不反應熱烈，都盼望有機會再參加類似的學術活動。或許正是他們的鼓勵，遂激起我積極參與HPM活動的念頭。

　　此次與會最大的收穫，莫過於多方面了解HPM研究的一些具體策略。尤其是觀摩了很多可以應用在教學上的研究成果，印象十分深刻。譬如說吧，上述Amira Cooper的論文，就是研究以色列高中教師設計與課程有關的數學史材料充當課外讀物的教學策略，而發現到學期末學生對數學的態度有了顯著的改變。試觀國內學生數學表現無論優或劣，大部分都不約而同地痛恨數學，現在或許是我們提供一點學習動機的時候了。

　　最後，必須感謝國科會的旅費贊助。在出發前，John Fauvel（剛卸任的HPM主席）得知筆者已報名，一直希望我也前往Sevilla，在ICME-8中提交HPM相關學術報告。但筆者因暑修班有「數學史」課程，不能請假太久，無法答應。不過，事先倒未曾預料John Fauvel與Jan van Maanen（HPM新任主席）會與筆者商量公元2000年HPM的籌辦事宜。由於ICME-9已決定由日本立教大學（Pikkyo University）的公田藏（Osamu Kota）教授承辦，因此，在鄰近的台灣舉行它的衛星會議HPM是一個適當的選擇。筆者當時承諾John Fauvel與Jan van Maanen：如果國內同事、朋友以及相關政府部門都支持的話，那麼，筆者將責無旁貸接下這個任務。希望這件事儘快定案，好讓我們共同擬訂一些研究計畫，在四年後HPM研討會上爭一口氣。

　　這次研討會亞洲國家學者參加者寥寥可數，除公田藏、馮振業與筆者外，只有另一位來自馬來西亞的Mhaini Mohomed。至於原因究竟，或許與數學史家不成氣候有關，連帶地HPM也不可能受到應有的重視。因此，若公元2000年我們決定主辦HPM研討會，那麼，我們必須儘快鼓吹與贊助相關的研究，並努力在亞洲地區帶動風潮，以便四年後在我們自己搭建的學術舞台上，展現由我們所主導的研究成果。

後記：本文在此呈現的版本，已略有修訂。謝謝助理張靜宜小姐協助打字。