遺產問題與阿拉伯數學史

                               師大數學研究所博士班 蘇意雯

                          一、前言   

                                     遺產分配,是回教世界的一個特色。本文將依照題目難易,節錄三題有關阿拉伯遺產的問題。眾所周知,阿爾•花拉子米 (Al-Khowarizmi)在阿拉伯數學中佔有舉足輕重的地位。可是有關他的代數著作之譯本,通常都去掉了前面的序言,因為在前面的這些文句中,有一些回教的祈禱文,也描述了穆罕默德的預言。這對信奉基督教的翻譯者而言,真是情何以堪。在Rosen的阿拉伯文本的譯本中,除了序言的補足外,我們還看到了很多關於法律的問題。阿爾•花拉子米舉例說明了代數如何可以應用於其民族的遺產法則,又再一次的強調了代數的重要。以下就是這三題文本的介紹。

                          二、   文本及其解說

    第一個題目是簡單的遺產分配,只要考慮繼承人即可:

一位婦女過世,留下她的丈夫,一個兒子和三個女兒,本目標是要用分數表示每一位繼承人各能分得的資產。

阿爾•花拉子米把扣除掉丈夫所分得資產後後所剩下的 分成五個部分,兩份給兒子三份給女兒們。因為4和5的最小公倍數是20,所以這份資產可以分成20等份,丈夫得5份,兒子取6份,每個女兒分得3份。(Berggren,1986)

    第二題加入了把財產遺贈給陌生人的情況,請看下例:

一位婦女過世,留下她的丈夫,兒子和三個女兒,但是她也遺贈給一位陌生人總資產的 ,計算每一位繼承人各能分得的資產部分。

因為 ,所以可以直接分配。如前一個問題,所分得法定資產的公分母為20。在陌生人的部分( )取走之後,剩下 的資產。於是陌生人所得與家庭成員共得部分的比為 。因此,對於整個資產,陌生人將得到15份對比於自然繼承人的41份。為了計算方便我們把兩數都乘上20,所以總數為20(15+41)=20×56=1120份,而陌生人拿了20×15=300,繼承人共得了20×41=820。在這一部份,丈夫得了 ,就是205,兒子是 ,就是246,另外每一個女兒獲得123。(Berggren,1986)

第三題就更複雜了,因為這個問題還牽涉到了借貸的情況:

有一人過世,身後留下二子,並且要把資本的三分之一遺贈給一位陌生人。而他共留下了10 dirhems以及對於其中一子10 dirhems的要求(按:此意即其中有一子欠父親10 dirhems)。

計算:你要求的是從債務中所取得的總值,把此值(原文用thing來表示,用特定的文字代表未知數,這也是阿爾•花拉子米的一項特色)加上10 dirhems的資本,於是總和變成10+thing。減去總和的1/3,因為他把財產的 贈與出去,即 dirhems和 的thing,所以剩下 dirhems和 的thing。把這些分給兩個兒子,每一個人分到的部份是 dirhems和 的thing。這與剛才所要找的值相等。從thing裡減去其 ,剩下 的thing與 dirhems 相等。再來你只要藉著增加相同的 補足thing即可。因此,你增加了 dirhems 的 ,然後得到5 dirhems,這個就是代表從債務中取得的thing。”

    這個問題用現代的代數符號,可表示為 ,其中 是所遺留的財產總數(考慮留下的現金和可從債務中獲得的金額),x為每個兒子所能分得之遺產。所求出來的5,是可從債務中得到的最大數值。因為在這個問題中所含的法律觀點就是-如果一子欠父親的債務大於其所能分配之遺產,那麼在分家產時他並不需要再拿錢出來,讓兩者一筆勾銷即可,所以我們只需考慮所得之金額與償還之金額相等的情形。反之,在本題中,若兒子只向父親借4 dirhems 而不是10 dirhems,那麼他將可分得 dirhems的現金。因為 。而另一子和陌生人都可得 dirhems。(Karpinski, 1915)

三、阿拉伯的遺產律則

    回教的遺產分配制度,有一定的準則。阿拉伯世界存在把財產遺贈予陌生人的習俗,另外遺贈所得不可超過全部遺產的三分之一。如果超過了,則必須經過繼承人們的同意。萬一只有部分的人同意,那麼那些同意者便要平均分攤超出三分之一的部分。在扣除陌生人所得的遺產後,其餘的部分為配偶可分四分之一,剩餘的四分之三由兒子和女兒以2比1的比例分配。當遇到兒子向父親借貸的情形,在分配上,這個兒子最差的情況就是拿不到遺產,即是以所得遺產與借貸的錢數抵銷,並不需向其他繼承人償還不足的金額。

 

四、數學與中國文化

    像上述的遺產分配,對照於中國的古算書,並不曾出現過類似的問題,至於為何會有這種差異?筆者認為此應與文化脈絡有關。因為在中國,周朝繼承商朝確立的嫡長子制度,周天子由嫡長子世代相襲。至於在貴族方面,其政治身分雖是由長子繼承,但包括土地在內的家產,則由家中男嗣共分(沈大德、吳廷嘉,1998)。在戰國以前的農家頗多三代同居,而且兄弟不分家,同居共財。但在秦漢之後的家庭,成年已婚兄弟多在父母生前就各分家產,自立門戶。如何分產自是由長輩做主。在江蘇儀徵青浦的西漢末年墓,出土平帝元始五年(西元5年)的竹簡《先令券書》,就提到立券人朱凌之母對財產的分配是「公文年十五,去家自出為姓,遂居外,未嘗持一錢來歸。嫗予子真、子方自為產業。子女仙君、弱君等貧,毋產業」(按:朱凌、子真、子方、公文為其子,仙君、弱君為其女)。與漢代不同,唐朝家庭結構已婚兄弟同居共財為其特色,而父母過世後,兄弟幾都平分家產。唐之後亦然。這種慣例行之久遠,除非父母先立遺囑,但也不脫其窠臼,只不過有時長孫亦可算一份,或是嫡長子可得二份。例如在宣統辛亥增修《吳中葉氏族譜》卷六十四<雜誌丙故事>引《雍正舊譜》收錄的宋世分書云:

山頭巷住人葉廿八同妻某氏,請到親族楊三十一秀、徐十八秀、葉廿四秀等,寫立遺囑,老身正室某氏生長男葉椿、次男葉柏、三男葉桂、七男葉樞、側室某氏生四男葉槐、五男葉榆、六男葉梅。七男俱已娶妻完聚,不幸葉梅早卒無後,老身仰賴祖宗遺蔭,頗成家業,今將現在房屋山地家私什物作十分:除葉柏出贅外,葉椿嫡長得二分;餘四子各得一分;葉桂早卒,遺孫葉堂孤苦,同葉梅妻氏共又得一分;餘三分老身養贍送終并應門戶,待老身天年之後,所遺三分照前均分。此係出于至公,並無私曲,亦無更分不盡之財。既分之後,榮枯得失,聽由天命,所有家私明寫分書之上,永遠為照。(杜正勝,1992)

五、結語

由上述例子可見,數學問題離不開社會文化歷史脈絡。事實上,數學是某脈絡中的知識活動,也擁有豐富的歷史文化向度,在各類數學知識呈現的萬般風情之背後,正蘊含了深刻的歷史意義。教師授課時,若能讓學生體會到數學的這個面向,也就是朝著HPM的目標又邁進了一步。

參考文獻

李文林主編(2000),《數學珍寶-歷史文獻精選》,台北:九章出版社。

沈大德、吳廷嘉(1998),《中國傳統社會結構探析》,台北:南天書局。

杜正勝(1992),《古代社會與國家》,台北:允晨文化

洪萬生(2001),〈當斐波那契碰上孫子〉,《HPM通訊》第四卷第一期,頁1-2。

劉鈍(1997),《大哉言數》,瀋陽:遼寧教育出版社。

Berggren, J. L. (1986),  The Islamic Dimension: Problem of Inheritance, in Episodes in the Mathematics of Medieval Islam (New York:Springer-Verlag.), pp. .63-67.  .

Grattan-Guinness, Ivor (1997), The Fontana History of the Mathematical Sciences. London: Fontana Press.

Karpinski, L. C. (1915, Preface and Additions Found in the Arabic Text of Al-Khowarizmis Algebra, in Robert of Chesters Latin Translation of the Algebra of Al-Khowarizmi (New York: The Macmillan Company), pp. 45-48.