試評析John Fauvel  “Revisiting the History of Logarithms”一文

國立新店高中 蘇俊鴻老師

前言

本文要介紹的是John Fauvel 的文章“Revisiting the History of Logarithms”,收錄在由Frank SwetzJohn FauvelOtto BekkenBengt JohanssonVictor Katz所主編的《向大師學習》(Learn from the Masters!),由標題不難看出這是篇與對數的發展歷史有關的文章。文章一開頭,John Fauvel說明此篇文章寫作的動機:

我曾經向一位非數學出身的朋友談到我正在思考如何教「對數」,他的回答是“事實上沒有人再需要學習這個主題,現在我們已經有計算器和電腦。”“不,它仍然是非常重要。”我堅定地說,…

文中也反映「對數」這個主題在現今教學上所遭遇的困境,進而點出數學史在這個主題上可以著力的地方:

今天更進一步的困難是沒有計算器(calculator)或是電腦(computer)所無法處理的大數字,……從表面看來,對數發展時的那種最初的剌激已經從每個人的經驗中消失,教學上也難以再呈現。這可能導致教師在對數的教學上,切斷所有歷史性發展的定義,直接採用十八世紀數學家尤拉的定義,就是現在教科書上常見的定義:『給定一個正數當作底數,則一個數的對數,就是這個底數的次方與這個數相等時的指數/指標 (index) 。』(按:以現在的數學符號表示,就是 ,則 ) 但這樣的定義是無法帶給學生任何的啟蒙,利用這種定義方式解決上述的難題,卻至少造成兩種內在洞察的喪失:(1) 藉由級數的探索,更深一層地了解究竟對數是怎麼一回事;(2) 學習對數如何由實用性的 (practical) 工具奇妙地轉變成理論性 (theoretical)的工具

展讀至此,各位讀者想必也心有戚戚焉,在實際的教學上,現行教材中「對數」的定義就是採行前述尤拉的定義,對學生而言,除了留下『對數曾是在計算器或電腦未發明前,天文學家或是數學家所用來處理大數字運算的有用工具』的印象外,卻難以了解它是如何計算1,以及它是如何產生。換言之,我們很難說服學生為何必須學會這些早就被輔助的計算工具所取代的計算技巧。John Fauvel的文章試圖告訴我們,數學史在這個困境中可能的幫助。現在就讓我們一起來看看。2

內容簡介

文章共分成幾個小節來討論,目次如下:(1) 巴比倫式的對數?(Babylonian Logarithms)(2) 算術級數與幾何級數的進一步比較 (Futher Comparisons of Arithmetic and Geometric Progressions)(3) 插曲:為何要掌握大數字?(Interlude: Why Handle Big Numbers?)(4) 掌握天文學的/龐大的數字 (Handling Astronomical Number)(5) 幾何上的運動學 (Motion in Geometry)(6) 納皮爾的對數 (Napier’s Logarithms)(7) 從實用性的工具到理論性工具 (From Practical to Theoretical Tool)(8) 符號的角色 (The Role of Symbols)(9) 結論。由各小節主題的包羅萬象,不難看出作者本身的學識涵養相當豐富紮實;再從小節安排的順序,也能看出作者對於對數的歷史發展脈絡整理。讓人發覺在對數的討論上,我們可以切入的角度與面向,遠比我們所想像的多。接著來看看各個小節的內容吧!

 

 

 

首先登場的是一塊大約西元前1800年的巴比倫的古老泥板,它被發現上面具有「對數」意涵的『數對』,如 這些『數對』的目的何在?現在我們仍然無法知道確實的答案。根據對這個泥板解譯的學者NeugebauerSachs的猜測,可能與利息有關的財務計算 (而且利率非常地高)。因此,有些教師就將這塊泥板的內容當成一個課堂討論的主題,並且讓學生與對數的概念作一番比較。John Fauvel 卻認為在這個史料可以提供給學生觀察的,反倒是某些特殊情形的『數目類型 (number pattern) 之例子,如果遽而認為巴比倫人已經具備有對數的理論或概念,則未免過於輕率。3眾所周知,納皮爾的對數運算的關鍵想法,是將算術級數 (即等差級數) 與幾何級數 (即等比級數) 的項一一作配對,從而將乘除運算『轉換成』加減運算。John Fauvel接下來則告訴我們這個想法,阿基米德其實早在《沙之計算》(The Sand-Reckoner)一書中,已經提出一般性的敘述。但將這個想法用具體數字寫下的,則是文藝復興時期的法國數學家Nicholas Chuquet (d. 1487)。在1484年,Chuquet 將巴比倫人的級數成果延拓,將2的次方由 寫到 ,並且觀察出任兩個2的次方相乘的結果,會等於將指數相加所對應的數。4Fauvel在此處說明這個史料的啟發重點:兩個平行的級數之間運算關係的發現。我們改成以其他正整數為底數的例子仍然會成立,教師可以依照實際的需要來改寫。5

其實在十六世紀末期,人們最有效處理大數字乘法的方法,仍是借助三角學的幫忙,使用一種叫做prosthaphaeresis的技巧。這個技巧是將問題先轉換成三角函數的加減問題,利用和差化積與積化和差的關係來處理。Fauvel認為對於這個技巧處理過程的探索,能夠增進學生對三角函數如sincostangentsecant等更深刻的認識。而且這個技巧提供「如何利用加法來處理乘法」一個很好的示範,可以當成介紹對數主題的序曲。接著,就是納皮爾的對數理論的建立。1614年,納皮爾將他花二十年計算出的對數表發表在《對數的奇妙準則》,至於理論的部份,則是1619年在他死後才發表。Fauvel認為納皮爾受到三種概念的影響 (1)算術級數與幾何級數的比較;(2) 將乘法看成加法;(3) 運動學的幾何性質。6雖然對於納皮爾如何利用計算對數的過程有助我們的了解,但Fauvel並不贊成教師把太多心力,放在論述太多有關納皮爾如何利用建構出對數表的過程 (這樣會令學生恐懼不已!)。他希望將重點擺在納皮爾如何決定他的對數定義 (與後來尤拉的定義並不相同),如何受到上述三個因素的影響。

對數的概念與定義在納皮爾的提出後,由於有效滿足計算上的需求,因此大受歡迎。連帶地,對數性質的進一步研究與推廣,就成為重要的研究主題了。Fauvel便認為對數提供我們一個絕佳的範例,說明數學名詞的概念是可以發生根本上的變化,甚至後來的定義更為人們所接受。1650年代,曲線圖形底下的面積有對數的性質的這件事就被已被澄清,牛頓 (1642-1727) 便將這個研究結果寫在《Waste Book(1664-65)。如果我們將A(p)當成雙曲線 x軸所夾的面積 (x=1x=p),則A(pq)= A(p)+ A(q)7接著麥卡多 (Nicolaus Mercator, 1620-1687) 的對數研究,1668年他找到著名的對數級數 .8因此,對數有三個本質上可互相交換的定義可以使用:(1) 在納皮爾的方法中,對數可以看成是人造的數字(an artificial number)9(2) 可以看成雙曲線底下的面積;(3 ) 可以看成是無窮級數。至此,對數在現代數學中決定性的概念大致發展完成。接下就等尤拉 ( Leonhard Euler, 1707-1783) 對它的表示法作進一步的改良,1770年左右,尤拉在他最暢銷的代數教科書《代數的完整介紹》(Complete Introduction to Algebra) 就寫下現今所流傳的定義形式。在對數的歷史發展中,指數形式的納入,使學生更能全面性了解對數,這也告訴我們一個好的表示法 (notation) 是有助於助人們進行思考的。

在最後的結論中,Fauvel指出:對數的發展,一直延續到十八世紀與微積分掛鉤,我們能發揮的空間還有許多,可以因應學生的階層設計適合的題材。對數的歷史發展,所提供給我們的啟示是:在教學上,我們可以嘗試針對不同的學生,提供不同等價形式的對數定義,讓學生了解對數的概念。

結論

在這篇文章中,讓我們知道對數的發展脈絡,以及它與數學其他領域的連結。唯一美中不足的是,限於篇幅的緣故,在文中多為概略性的敘述,本文只能當成一個對數發展的導覽指引,若要對內容更進一步了解,必須要再參考其他相關書籍。筆者導讀此篇文章的心得,在於:它讓我們看見一位博識的數學家,為我們示範如何將數學史料應用在教學上,應該擁有的態度與思量。對John Fauvel來說,數學史在教學上最大的貢獻在於,它提供教學者對數學主題多元性的思考的範例。至於史料的價值,則首重它在教學上所展現的意義,接著才去考慮教學上我們如何運用。此外,他也告訴我們:教師不應原封不動地將史料呈現出來,不妨適當地剪裁,以能讓學生在過程得到啟發並且產生興趣才是。

參考文獻

Swetz, Frank, and Fauvel, John, and Bekken, Otto, and Johansson, Bengt, and Katz, Victor (eds.) (1995), Learn from the Masters. The Mathematical Association of America .

Katz, Victor (1995), “Napier’s Logarithms Adapted for Today’s Classroom”, Learn from the Masters.

Katz, Victor (1993), A History of Mathematics. HarperCollins College Publishers.

Edward. C. H. 著,水木耳譯(1986),《微積分的發展歷史》,凡異出版社。

Felex Klein著, 舒湘芹,陳義章、楊欽樑等譯(1996),《高觀點下的初等數學》第一卷,九
章出版社。

Maor, Eli著,鄭惟厚譯(2000),《毛起來說e》,天下遠見出版股份有限公司。 

附註:

1. 如何用對數來計算,有興趣的讀者不妨參閱《毛起來說e》,24-29頁,書中舉了個利用對數計算 的例子。

2. 對數學習的困難,Felix Klein在他的《高觀點下的初等數學》第一卷(九章出版社有中譯本,146~159)也曾討論過,他覺得現行中學的對數理論與大學的對數理論的講述形式差距過大,主要的原因自十九世紀開始,學校的數學教學與數學進展脫節。中學的對數講述便捷地採用尤拉的定義,忽略了對數理論的發展過程中與級數、複變數函數論、微積分等數學知識的牽連。他非常鼓勵由雙曲線下面積的探討中導出對數,他認為會更加簡單與清晰。當然他的說法有其時空背景的因素,但仍然可以當成一個參考意見。

3. Maor 也是持相同的看法,見《毛起來說e》,31-32頁。

4. 對於Nicholas Chuquet有與趣的讀者,不妨參閱Katz (1993), pp.320-322.

5. 此處Fauvel對於師資養成教育有著個人的期許,想進一步了解的讀者,請自行參閱。

6. 事實上,納皮爾的對數定義可以看成是兩個點沿著兩條不同的直線,各自做直線運動。請參閱Katz (1993), pp.380-381.或是Katz (1995).

7. 牛頓利用這個性質計算出一部份的整數的對數表。請參閱《微積分的發展歷史》,頁179-182

8. 牛頓也發現了對數級數,但由於牛頓個人的習慣使然,我們無法分辦究竟是誰最早發現。

9. 這個稱呼是納皮爾最早使用,後來才改成「對數」。