誰是牛頓–拉福生？

台師大數學研究所碩士班研究生 楊瓊茹

一、前言

所謂的牛頓–拉福生演算法 (Newton-Raphson Algorithm) 是指求解方程式 的根之疊代法，通常被稱為『牛頓方法』 (Newton’s Method)。

首先，我們令s為 的根， 是在區間[a,b]二次可微的實值函數，它在x=s的泰勒展開式為︰

,

其中 落在區間 [a,b]，c落在區間(a,b)。若h很小，我們可以忽略 這一項，則 。若 很接近s，則 比 更接近s 。依此類推，最後我們可以將此疊代算法公式化︰     

此一等式即為求解 的『牛頓方法』。然而，這個現代化公式涉及了微分的觀念，是比較適合學習過微積分的學生操作演算。但就數學歷史經驗來看，此方法不是必要的。底下，我們將分別引述牛頓、海龍以及拉福生的解根方法。

二、文本內容

1.          牛頓的方法

公元1669年夏天，牛頓 (Issac Newton,1642-1727) 在劍橋寫下了如何求解方程式 ︰

假設 是可解的︰並且令 小於所求的根，則取 並且將它代入方程式，結果產生新的方程式 ，此根p為所尋求被加到商數的數︰特別地(當 在說明為很小而被忽略時) 或 是非常接近真正的值；因此，我在商數的地方寫下0.1並且假設 ，將它代入 ，如同之前，產生 。而且因為 [=0]很接近實際的q或幾乎q= -0.0054，我在商數的最下面寫下-0.0054。同樣地，假設 ，如同之前的方法代換，繼續運算到滿意為止。

2.          海龍的平方根方法

亞歷山大里的數學家海龍 (Heron, 第一世紀)，在他的幾何學著作《度量學》(Metrica) 中有個求平方根的簡單算法︰

因為720無有理根，我們選取接近根的近似值。由於27的平方729最接近720，將27除720；得到 ；加上27；結果為 。取其一半；獲得 。因此，720的平方根將會很接近 。因為 自乘得 ；所以差為 。如果我們希望差值小於 ，將 取代729，同樣的方法，我們將得到一個差值不超過 的近似值。

3.          拉福生的方法

拉福生 (Joseph Raphson,1648-1715) 是倫敦皇家學會的會員，1690年代早期，曾在劍橋與牛頓接觸過，並且是當時牛頓與萊布尼茲 (Leibniz,1647-1716)微積分優先權論戰的牛頓支持者。在1690年，他所著作的《通用方程分析》(Analysis Aequationum Universalis)中，給出解方程式 的根a之方法︰

假設 ，所以， ，

因此 ，

因此 ，

由收斂定理，我們得到 ，並且兩邊加上g，產生 。但是這新的 比先前的g增加了x，比a少了 ，證明完畢。

三、結語

其實，牛頓和拉福生兩人的方法都沒有涉及微積分的概念。雖然拉福生所導出新的g值等於 ，和我們現代數學公式 是相容的，但拉福生本身並沒有洞察出這一點。直到1740年，數學家辛普森 (Thomas Simpson，1710-1761) 才指出用微積分表示的數學公式。對於教師而言，觀察牛頓和海龍這兩個的方法的共同點，也是件很有趣的事。兩者都是經由特定的數值例子，教導一般化的方法，相較之下，許多現代教科書的方法則是採用現代抽象化的代數式。但是，對某些學生而言，必須經由舉例練習和嘗試應用到其他的算術例子。並且，或許他們對這些處理步驟有能力提出代數式的解釋之後，才能達到比較深入的了解。

後記︰本篇文章主要摘譯自Fauvel, John (1998), “Algorithms in the Pre-calculus Classroom: Who
was Newton- Raphson? ”, Mathematics in School 27: 45- 47.

參考資料

Fauvel, John (1998), “Algorithms in the Pre-calculus Classroom: Who was Newton- Raphson? ”, Mathematics in School 27: 45- 47.

Cajori, Florian (1911), “Historical Note on the Newton-Raphson Method of Approximation”, The American Mathematical Monthly 18: 29-32.