『虛擬的演講稿』

利用『驢橋定理』探討國中教師之數學教學

                                   台灣師大數學研究所教學碩士班研究生 宜蘭縣國華國中 吳任哲老師

並不是所有的東西都能被證明，否則證明的過程將會永無止境。證明必須從某個地方起步，用以起步的這些東西是能得到認可的，但卻不是不可證明的。這些就是所有科學的第一普遍的原理，被人們稱之為公理，或常識。                    ~亞里斯多德~

首先，請先觀看現今『國中數學課本』中的幾條基本幾何學定理：

     １、三角形各內角之和等於180⁰。

     ２、過直線外一點，可做唯一一條直線與原直線平行。

     ３、平行線間等距。

     ４、圓的理論中涉及圓周角和圓心角的部份。

     ５、兩平行直線間的諸平行線段皆相等。

     ６、泰利斯定理 (Theorem of Thales)：由許多平行線與一直線所形成的諸線段和諸平行線與另一直線所形成的諸線段成比例。

     ７、由泰利斯定理所推演的平面三角學(如正弦、餘弦…等等)。

        這些基本定理在國中幾何學中，顯然都有舉足輕重的角色。只要缺少了其中一部份，那麼，整個國中幾何學就搖晃不已。但這些基本定理卻都是由歐幾里得公理所推演來的，可見歐幾里得公理在幾何學中是扮演一個多麼重要的角色。如果我們學校的課本中，不再接受歐幾里得公理，那麼所剩下的是多麼微不足道。換句話說，以目前我們國中的數學教育來看，我們數學教師皆是遵循歐幾里得《幾何原本》的結構來教學，所以身為國中數學教師的我們，能夠不對歐幾里得的《幾何原本》多認識一些嗎？

就如同亞里斯多德所指出的一樣，歐幾里得顯示出了偉大的洞察力和判斷力，他只選擇了五條設準、五條公論 (投影片1, 2)，卻依然推演出了整個幾何學系統的結構(雖然經後人修改才算有較完整的結構，但不並損其地位)，並且歐幾里得所選擇的設準和公論可被人立刻接受，但一點也不膚淺的導出了深刻的推論，而這也是《幾何原本》最大的優點。

精確的定義、清楚明白的設準與公論，以及嚴謹的證明，在幾何學的研究中，其必要性是與日俱增的。事實上，這也是我們身為數學教師所自豪的能力之一。但在數學教學過程中，我們是否犯了證明方法上的邏輯推論重大瑕疵而不自知呢？不管如何，且讓我們來看看有名的『驢橋定理』(投影片3)。

這個定理是指歐幾里得《幾何原本》第一冊的第五命題：『等腰三角形兩底角相等』。據說中世紀大學利用此一證法來作為大學生數學能力的門檻，這個定理被稱做『笨蛋的難關』 (pons asinorum) 或『驢橋定理』(bridge of asses)，即「驢橋在此，愚者莫過」之意。當然也有一種說法強調：由於歐基里得的圖形像一座支架橋 (trestled bridge)，只有步代像驢子一樣穩健的學生才走得過去。

請問各位教師，你（妳）是採用哪一種解題方法來教學呢？（約1至3分鐘後）

現在我們來調查看看各位老師的解題方法：(統計人數)

(1)作頂角平分線。

(2)頂點與底邊中點連線。

(3)頂點向底邊作垂線。

(4)其底角之兩外角相等。

(5)反身對稱。

(6)其它。

如前面所談的，就我們國中的數學教育來看，我們數學教師皆是遵循歐幾里得《幾何原本》的結構來教學。換句話來說，我們應該要有嚴謹的邏輯推論，來證明命題。現在，先讓我們在歐幾里得《幾何原本》中，看看和上述解題方法相關的十三個命題 (投影片4, 5)。

由以上的十三個命題中，我們知道「作頂角平分線」的方法 (投影片6)，被歐幾里得安排在命題9，至於它的證明須利用命題8，而命題8更進而依賴命題7，最後，命題7的證明則奠基於命題5。因此，在《幾何原本》的脈胳中，「作頂角平分線」的證法，犯了邏輯上的循環謬誤 (circular fallacy)。

若採用「頂點與底邊中點連線」的方法 (投影片7)，則必須利用命題10，而命題10之證明依賴了命題9，因而也逃不過命題5的支持，循環謬誤依然。

若採用「頂點向底邊作垂線」的方法 (投影片8)，則須利用命題8和命題10，當然也逃不過命題5的支持，循環謬誤依然。

若採用「其底角之兩外角相等」的方法，則顯然是用到了命題13 (投影片9)，至於它的證明則須利用命題11，而命題11更進而依賴命題8 (投影片10)，一樣逃不過命題5的支持，循環謬誤依然。

若採用「反身對稱」的方法，則圖形的運動需要通過第三維空間 (在《幾何原本》中，沒有規定此種運動是保距變換)。其實，歐幾里得在證明相關定理時，對於圖形的移動與疊合方面，也始終表現得十分掙扎。譬如《幾何原本》第一冊命題4固然利用到了圖形的移動與疊合，來證明SAS全等定理，但對於命題26的ASA全等命題，他卻不願意依樣畫葫蘆。不過，如果我們仍是堅持要用「反身對稱」的方法來證明命題5，則不妨採用Pappus所建議的方法，將等腰三角形由正反兩面來觀察，那麼，歐幾里得《幾何原本》中所提供的證明之複雜，應該可以完全避免 (投影片11)。

接下來，讓我們來看看歐幾里得在他的《幾何原本》中，對於命題5所提供的的證法 (投影片12)。

雖然前面四種方法，按照《幾何原本》邏輯順序的安排來說，的確都犯上了循環謬誤，但如果各位教師能將邏輯結構重新安排 (包括新「設準」的加入)，或許可以解此一困境。儘管如此，由於『驢橋定理』是被安排在《幾何原本》第一冊命題5，邏輯結構重新安排後，是否會帶來更多的難題呢？另外，如果我們找不到比《幾何原本》更好的邏輯結構安排，那麼，我們是否要對自己的教學方法做一次深刻的反思呢？否則當我們面對這種邏輯嚴密性方面的窘境時，我們又要如何教導學生時自圓其說呢？

最後，非常感謝各位教師的協助，讓我們彼此有機會澄清一些邏輯論證的相關問題。其實，『驢橋定理』的證明，只不過是其中一個例子而已，尚有一大堆相關的問題，等待著大家一起去發掘與討論，期待我們都能做到數學教育的本質–教導學生學習有趣、有用的數學知識。謝謝大家！

參考文獻

Bunt, Luca, N. H., Phillip, S. Jones, and Jack D. Beddient (1988). The Historical Roots of Elementary
Mathematics. New York: Dover Publications, INC.

洪萬生 (2000).〈貼近《幾何原本》與HPM的啟示：以『驢橋定理』證明為例〉，刊於台灣師大數學系『生活數學館』網頁。

洪萬生 (1999).《從李約瑟出發》，九章出版社。

李文林主編 (2000).《數學珍寶》，九章出版社。

Kline, Morris (張祖貴譯，1995).《西方文化中的數學》，九章出版社。

吳定遠譯 (1985).《非歐幾里得幾何學》，水牛出版社。